湖南四大名校内部资料试卷-2019-2020-1长沙市一中高二上第一次月考

长沙市第一中学2019-2020学年度高二第一学期第二次阶段性检测
数 学
时量：120分钟 满分：150分
一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分)
1.已知全集U =R ，集合{}2A x x =<，(){}
lg 10B x x =->，则(
)U
A
B =( )
A.{}
12x x <<
B.{}
12x x ≤<
C.{}
2x x <
D.{
}1
x x ≤
2.命题“x ∀∈R ，2240x x -+≤”人否定为( )
A.x ∀∈R ，2240x x -+≥
B.x ∃∈R ，2240x x -+>
C.x ∀∉R ，2240x x -+≤
D.x ∃∉R ，2240x x -+>
3.某校为了解高三学生身体素质情况，从某项体育测试成绩中随机抽取n 个学生成绩进行分析，得到成绩频率分布直方图(如图所示)，已知成绩在[]90,100的学生人数为8，则n 的值为( )
A.40
B.50
C.60
D.70
4.已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则( )
A.a b c <<
B.a c b <<
C.c a b <<
D.b c a <<
5.设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()()2log 1,0,
,0
x x f x g x x +≥⎧⎪=⎨
<⎪⎩，则()3g -=( )
A.3
B.3-
C.2
D.2-
6.在明朝程大位的《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，则塔顶有( )盏灯.
A.2
B.3
C.4
D.5
7.设单位向量1e ，2e 的夹角为
2π
，122=+a e e ，1223=-b e e ，则b 与a 夹角的余弦值为( ) A.
465
65
B.465
65
-
C.
413
13
D.413
13
-
8.已知变量x ，y 满足约束条件0,
0,20,
x y x y x +<⎧⎪
-<⎨⎪+>⎩
则1y x +的取值范围为( )
A.31,22⎛⎤- ⎥⎝⎦
B.1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
C.31,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭
D.1,2⎛⎫-∞ ⎪
⎝
⎭ 9.如图在一个60的二面角的棱上有两个点A ，B ，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，并且都垂直于棱AB ，且1AB AC ==，2BD =，则CD 的长为( )
A.22
B.3
C.2
D.5
10.已知O 为坐标原点，F 为抛物线2
:4E y x =的焦点，A 、B 为抛物线E 在第一象限上的两个动点，且满足12OA OB ⋅=，则4AF BF +的最小值为( )
A.11
B.12
C.13
D.14
11.在如图所示的空间几何体中，下面的长方体1111ABCD A B C D -的三条棱长
4AB AD ==，12AA =，上面的四棱锥1111P A B C D -中11D E C E =，PE ⊥平面
111A B C D ，1PE =，则过五点A 、B 、C 、D 、P 的外接球的表面积为( )
A.
3119
π
B.
31118
π
C.
3139
π
D.
31318π
12.已知函数()()3sin f x x ωϕ=+，()
0,0ωϕπ><<，若03f π⎛⎫
-
= ⎪⎝⎭
，对任意x ∈R 恒有()3f x f π⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
，在区间,155ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且只有一个()13f x =，则ω的最大值为( )
A.
123
4
B.
111
4
C.
105
4
D.
1174
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分) 13.已知1x >-，则1
31
x x +++的最小值为__________.
14.若a 是从0，1，2，3四个数中任取一个数，b 是从1，2两个数中任取一个数，则关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=有实根的概率是__________.
15.如图，1F 、2F 是双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线
的左右两支分别交于点A 、B ，若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为__________.
16.已知ABC ∆中，60ABC ∠=，45ACB ∠=，D 为ABC ∆内一点，且满足
30DAC DBA ∠=∠=，则tan BCD ∠=__________.
三、解答题(本大题共6个小题，共70分) 17.(本小题满分10分)
在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知sin cos 6b A a B π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
. (1)求角B 的大小；
(2)设2a =，3c =，求b 和()sin 2A B -的值.
18.(本小题满分12分)
已知{}n a 是一个公差大于0的等差数列，且满足3545a a =，2614a a +=.
(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若数列{}n b 满足：12
2122
2
n n n
b b b a +++
=+，()*
n ∈N ，求数列{}n b 的前n 项和.
19.(本小题满分12分)
如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，AD AB ⊥，侧面PAB ⊥底面ABCD .
(1)求证：平面PAB ⊥平面PBC ；
(2)若2PA AB BC AD ===，且二面角P BC A --等于45，求直线BD 与平面PBC 所成角的正弦值.
20.(本小题满分12分)
已知动圆M 与y 轴相切，且与圆2
2
:40N x y x +-=外切.
(1)求动圆圆心M 的轨迹E 的方程；
(2)若直线l 过定点()3,0，且与曲线E 交于A 、B 两点，与圆N 交于C 、D 两点，若点N 到直线l 的距离为d ，求AB d CD
⋅的最小值.
21.(本小题满分12分)
已知椭圆2222:1x y E a b +=的离心率为1
2
，左、右顶点分别为A 、B ，过左焦点的直线l 交椭圆E 于C 、D
两点(异于A 、B 两点)，当直线l 垂直于x 轴时，四边形ACBD 的面积为6.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线AC 、BD 的交点为Q ；试问Q 的横坐标是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.
22.(本小题满分12分)
2018年11月5日至10日，
首届中国国际进口博览会在国家会展中心(上海)举行，吸引了58个“一带一路”沿线国家的超过1000多家企业参展，成为共建“一带一路”的又一重要支撑.某企业为了参加这次盛会，提升行业竞争力，加大了科技投入；该企业连续6年来的科技投入x (百万元)与收益y (百万元)的数据统计如下
根据散点图的特点，甲认为样本点分布在指数曲线2bc
y c =⋅的周围，据此他对数据进行了一些初步处理，如下表：
其中21log i z y =，6
1
6
i
i z
z ==
∑.
(1)(ⅰ)请根据表中数据，建立y 关于x 的回归方程(保留一位小数)；
(ⅰ)根据所建立回归方程，若该企业想在下一年的收益达到2亿，则科技投入的费用至少要多少(其中
2log 5 2.3≈)？
(2)乙认为样本点分布在二次曲线2
y mx n =+的周围，并计算得回归方程为2
0.9212.0y x =-，以及该回归模型的相关指数20.94R =，试比较甲乙两位员工所建立的模型，谁的拟合效果更好.
附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线方程v u αβ=+的斜率和截距的最
小二乘估计分别为()()
()
1
2
1
n
i
i i n
i
i u
u v v
u u β==--=
-∑∑，v u αβ=-，相关指数：()
()
2
2
1
2
1
1n
i
i
i n
i
i v v R v v ==-=-
-∑∑.。