三角函数的计算-九年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)
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所以，塔高DE大约是81米．
方法总结
解决此类问题要了解角之间的关系，找到
与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中
没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直
角三角形．
当堂练习
1．在△ABC中，∠C=90°，若sinA= ，则cosB的值为（
A．
B．
C．2 D．
【详解】解：如图所示，∵∠C=90°，
它走过了200m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角
为∠α=16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？
（结果精确到0.01m）
在 Rt△ABC中，∠ABC=90°，
BC=ABsin∠α=200sin16°
试一试：你可以算出sin16°是多少吗？
讲授新课
知识点一 用计算器求三角函数值
1.求sin18°．
为∠α=16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？
（结果精确到0.01m）
在 Rt△ABC中，∠ABC=90°，
BC=ABsin∠α=200sin16°
你知道sin16°是多少吗？
BC=200sin16°≈55.12（米）
问题: 在本节一开始的问题中，当缆车继续由点B到
达点D时，它又走过了200m，缆车由点B到点D的行驶
−
）
【答案】D
【分析】将锐角三角函数值代入计算，再进行计算即可得出
答案．
【详解】解：sin60°·tan30°-sin45°·cos30°
×
= −
=
−
故选：D．
×
4．如图所示，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行
计算，其按键顺序如下：
按键
的结果为m，
按键
的结果为n，则下列判断正确
【详解】解：tan60°-sin45°= −
故答案为： −
．
，
6．在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C
的对边．已知c=2 ，b= ，那么∠A=__________．
【详解】解：由题意，画图如下：
在Rt△ABC中，∠C=90°，c=2 ，b=
∴cosA=
2
2
a a b
a b b
a b a b a b 2
a b
a b a b a a b
2
a
=
+
当α=sin45°= ，b= = 时，
原式
1
2
2 2
2
2
5 2
2
5
；
课堂小结
用计算器求锐
°＇″ 键，进一步得到
例2：已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角
∠A，∠B的度数(结果精确到0.1°)：
(1)sinA＝0.7，sinB＝0.01；
(2)cosA＝0.15，cosB＝0.8；
(3)tanA＝2.4，tanB＝0.5.
解：(1)由sinA＝0.7，得∠A≈44.4°；由sinB＝0.01，
第一步：按计算器 sin
键，
第二步：输入角度值18，
屏幕显示结果sin18°=0.309 016 994
（也有的计算器是先输入角度再按函数名称键）.
2.求 tan30°36'.
第一种方法：
第一步：按计算器 tan 键，
第二步：输入角度值30，按 °＇ ″ 键，输入36，按
°＇ ″ 键，最后按等号，屏幕显示答案：0.591 398 351；
知识点三 利用三角函数解决实际问题
例3：如图，课外数学小组要测量小山坡上塔的高度
DE，DE所在直线与水平线AN垂直．他们在A处测得塔
尖D的仰角为45°，再沿着射线AN方向前进50米到达B
处，此时测得塔尖D的仰角∠DBN＝61.4°，小山坡坡
顶E的仰角∠EBN＝25.6°.现在请你帮助课外活动小组
算一算塔高DE大约是多少米
第二种方法：
第一步：按计算器 tan 键，
第二步：输入角度值30.6 （因为30°36'＝30.6°）
屏幕显示答案：0.591 398 351.
典例精析
例1：用计算器求下列各式的值(精确到0.0001)：
(1)tan66°15′17''；
(3)cos25°18′；
(2)sin12°30′；
(4)sin18°＋cos55°－tan59°.
在Rt△ABC中，sin∠A=
BC 10 1
AC 40 4
那么∠A是多少度呢？
操作演示
已知sinA=0.5086，用计算器求锐角A可以按照下面方
法操作：
第一步：按计算器 2nd F
sin 键，
第二步：然后输入函数值0. 5086
屏幕显示答案： 30.57062136°
还以以利用 2nd F
∠A＝30°34'14 ".
【答案】1+
【分析】将各个锐角三角函数值代入即可求解．
【详解】解：原式=2×(
=1+ Βιβλιοθήκη 1+
．
) +
×
−
× ，
9．（1）计算：
2 cos2 45
tan 60 2
2
1
sin 60 1
2
b
a 2 ab
解：根据题意用计算器求出：
(1)tan66°15′17''≈2.2732；
(2)sin12°30′≈0.2164；
(3)cos25°18′≈0.9041；
(4)sin18°＋cos55°－tan59°≈－0.7817.
问题: 如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，
它走过了200m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角
sinA= ，
∴∠A=30°，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠B=60°，
∴cosB=cos60°= ．
故选：A．
）
2．若(tanA-1)2+|2cosB- |=0，则△ABC的形状是（
A．直角三角形
B．等边三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形
【详解】解：∵(tanA-1)2+|2cosB- |=0，
，
=
∴∠A=45°，
故答案为：45°．
7．如图，平面直角坐标系中，点A(0,1)，点B(0，-1)，以A
为圆心，AB为半径作弧交x轴于点C，连接AC，BC，分别
以A，C为圆心，大于 长为半径作弧，两弧交于点D，直
线BD交AC于点E，连接OE，则线段OE的长为_______．
【详解】解：∵点A(0,1)，点B(0，-1)，
(结果精确到个位)．
解：延长DE交AB延长线于点F，则∠DFA＝90°.
∵∠A＝45°，
∴AF＝DF.
设EF＝x，
∵tan25.6°＝
EF
BF
≈0.5，
∴BF＝2x，则DF＝AF＝50＋2x，
故tan61.4°＝
DF 50 2 x
BF
2x ＝1.8，
解得x≈31.
故DE＝DF－EF＝50＋31×2－31＝81(米)．
∴AB=1+1=2，OA=OB，
∵AB=AC，
∴OA= AC，
∴cos∠BAC=
，
=
∴∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
由题意得BD垂直平分线段AC，
∴AE=CE，
∴OE= AC=1，
故答案为：1．
8、计算：2sin245°+2sin60°-tan30°·tan45°
路线与水平面的夹角为∠β=42°，由此你还能计算
吗
在 Rt△BDE中，∠BED=90°，
DE=BDsin∠β=200sin42°
E
DE≈133.82（米）
知识点二 利用计算器由三角函数值求角度
为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在
10m高的天桥两端修建了40m长的斜道（如图）.
这条斜道的倾斜角是多少？
北师大版九年级下册
第一章 直角三角形的边角关系
1.3 三角函数的计算
新课导入
讲授新课
当堂检测
课堂小结
学习目标
1、学会用计算器求三角函数值，认识计算器上的按键，并能
够算出普通角度数的值；
2、学会用计算器求出三角函数值后再进行相关的实数计算；
导入新课
观察与思考
问题: 如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，
角的三角函数
值或角的度数
不同的计算器操
作步骤可能有所
不同
三角函数
的计算
利用计算器探
索锐角三角函
数的新知
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）.
的是（ ）
A．m＜n
B．m＞n
C．m=n
D．无法确定
【答案】A
9
9 1
3
m
2
cos
60
8
4
【详解】解：由题意知，
，
n 22 3 64 4 4 0
∴m＜n，
故选A．
2
2
2
5、计算：tan60°-sin45°=
【答案】 −
【分析】根据特殊角三角函数值的混合计算法则求解即可．
1
（2）先化简，再求值： a b a 2 b2 a 2 2ab b2
α=sin45°，b=
0
，其中
2
2
【详解】解：（1）原式=
（2）原式=
2
1
2
2 3 1 4 2 2 3 3 2 3
∴tanA=1,2cosB= ，
由特殊角的三角函数值可知此时∠A=45°，∠B=30°，
此时∠C=180°-45°-30°=105°，
则△ABC的形状是钝角三角形，
故选C．
）
3．计算sin60°·tan30°-sin45°·cos30°的结果是（
A．−
+
B．
+
C．−
+
D．
得∠B≈0.6°；
(2)由cosA＝0.15，得∠A≈81.4°；由cosB＝0.8，得
∠B≈36.9°；
(3)由tanA＝2.4，得∠A≈67.4°；由tanB＝0.5，得
∠B≈26.6°.
归纳总结
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
方法总结
解决此类问题要了解角之间的关系，找到
与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中
没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直
角三角形．
当堂练习
1．在△ABC中，∠C=90°，若sinA= ，则cosB的值为（
A．
B．
C．2 D．
【详解】解：如图所示，∵∠C=90°，
它走过了200m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角
为∠α=16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？
（结果精确到0.01m）
在 Rt△ABC中，∠ABC=90°，
BC=ABsin∠α=200sin16°
试一试：你可以算出sin16°是多少吗？
讲授新课
知识点一 用计算器求三角函数值
1.求sin18°．
为∠α=16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？
（结果精确到0.01m）
在 Rt△ABC中，∠ABC=90°，
BC=ABsin∠α=200sin16°
你知道sin16°是多少吗？
BC=200sin16°≈55.12（米）
问题: 在本节一开始的问题中，当缆车继续由点B到
达点D时，它又走过了200m，缆车由点B到点D的行驶
−
）
【答案】D
【分析】将锐角三角函数值代入计算，再进行计算即可得出
答案．
【详解】解：sin60°·tan30°-sin45°·cos30°
×
= −
=
−
故选：D．
×
4．如图所示，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行
计算，其按键顺序如下：
按键
的结果为m，
按键
的结果为n，则下列判断正确
【详解】解：tan60°-sin45°= −
故答案为： −
．
，
6．在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C
的对边．已知c=2 ，b= ，那么∠A=__________．
【详解】解：由题意，画图如下：
在Rt△ABC中，∠C=90°，c=2 ，b=
∴cosA=
2
2
a a b
a b b
a b a b a b 2
a b
a b a b a a b
2
a
=
+
当α=sin45°= ，b= = 时，
原式
1
2
2 2
2
2
5 2
2
5
；
课堂小结
用计算器求锐
°＇″ 键，进一步得到
例2：已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角
∠A，∠B的度数(结果精确到0.1°)：
(1)sinA＝0.7，sinB＝0.01；
(2)cosA＝0.15，cosB＝0.8；
(3)tanA＝2.4，tanB＝0.5.
解：(1)由sinA＝0.7，得∠A≈44.4°；由sinB＝0.01，
第一步：按计算器 sin
键，
第二步：输入角度值18，
屏幕显示结果sin18°=0.309 016 994
（也有的计算器是先输入角度再按函数名称键）.
2.求 tan30°36'.
第一种方法：
第一步：按计算器 tan 键，
第二步：输入角度值30，按 °＇ ″ 键，输入36，按
°＇ ″ 键，最后按等号，屏幕显示答案：0.591 398 351；
知识点三 利用三角函数解决实际问题
例3：如图，课外数学小组要测量小山坡上塔的高度
DE，DE所在直线与水平线AN垂直．他们在A处测得塔
尖D的仰角为45°，再沿着射线AN方向前进50米到达B
处，此时测得塔尖D的仰角∠DBN＝61.4°，小山坡坡
顶E的仰角∠EBN＝25.6°.现在请你帮助课外活动小组
算一算塔高DE大约是多少米
第二种方法：
第一步：按计算器 tan 键，
第二步：输入角度值30.6 （因为30°36'＝30.6°）
屏幕显示答案：0.591 398 351.
典例精析
例1：用计算器求下列各式的值(精确到0.0001)：
(1)tan66°15′17''；
(3)cos25°18′；
(2)sin12°30′；
(4)sin18°＋cos55°－tan59°.
在Rt△ABC中，sin∠A=
BC 10 1
AC 40 4
那么∠A是多少度呢？
操作演示
已知sinA=0.5086，用计算器求锐角A可以按照下面方
法操作：
第一步：按计算器 2nd F
sin 键，
第二步：然后输入函数值0. 5086
屏幕显示答案： 30.57062136°
还以以利用 2nd F
∠A＝30°34'14 ".
【答案】1+
【分析】将各个锐角三角函数值代入即可求解．
【详解】解：原式=2×(
=1+ Βιβλιοθήκη 1+
．
) +
×
−
× ，
9．（1）计算：
2 cos2 45
tan 60 2
2
1
sin 60 1
2
b
a 2 ab
解：根据题意用计算器求出：
(1)tan66°15′17''≈2.2732；
(2)sin12°30′≈0.2164；
(3)cos25°18′≈0.9041；
(4)sin18°＋cos55°－tan59°≈－0.7817.
问题: 如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，
它走过了200m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角
sinA= ，
∴∠A=30°，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠B=60°，
∴cosB=cos60°= ．
故选：A．
）
2．若(tanA-1)2+|2cosB- |=0，则△ABC的形状是（
A．直角三角形
B．等边三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形
【详解】解：∵(tanA-1)2+|2cosB- |=0，
，
=
∴∠A=45°，
故答案为：45°．
7．如图，平面直角坐标系中，点A(0,1)，点B(0，-1)，以A
为圆心，AB为半径作弧交x轴于点C，连接AC，BC，分别
以A，C为圆心，大于 长为半径作弧，两弧交于点D，直
线BD交AC于点E，连接OE，则线段OE的长为_______．
【详解】解：∵点A(0,1)，点B(0，-1)，
(结果精确到个位)．
解：延长DE交AB延长线于点F，则∠DFA＝90°.
∵∠A＝45°，
∴AF＝DF.
设EF＝x，
∵tan25.6°＝
EF
BF
≈0.5，
∴BF＝2x，则DF＝AF＝50＋2x，
故tan61.4°＝
DF 50 2 x
BF
2x ＝1.8，
解得x≈31.
故DE＝DF－EF＝50＋31×2－31＝81(米)．
∴AB=1+1=2，OA=OB，
∵AB=AC，
∴OA= AC，
∴cos∠BAC=
，
=
∴∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
由题意得BD垂直平分线段AC，
∴AE=CE，
∴OE= AC=1，
故答案为：1．
8、计算：2sin245°+2sin60°-tan30°·tan45°
路线与水平面的夹角为∠β=42°，由此你还能计算
吗
在 Rt△BDE中，∠BED=90°，
DE=BDsin∠β=200sin42°
E
DE≈133.82（米）
知识点二 利用计算器由三角函数值求角度
为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在
10m高的天桥两端修建了40m长的斜道（如图）.
这条斜道的倾斜角是多少？
北师大版九年级下册
第一章 直角三角形的边角关系
1.3 三角函数的计算
新课导入
讲授新课
当堂检测
课堂小结
学习目标
1、学会用计算器求三角函数值，认识计算器上的按键，并能
够算出普通角度数的值；
2、学会用计算器求出三角函数值后再进行相关的实数计算；
导入新课
观察与思考
问题: 如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，
角的三角函数
值或角的度数
不同的计算器操
作步骤可能有所
不同
三角函数
的计算
利用计算器探
索锐角三角函
数的新知
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）.
的是（ ）
A．m＜n
B．m＞n
C．m=n
D．无法确定
【答案】A
9
9 1
3
m
2
cos
60
8
4
【详解】解：由题意知，
，
n 22 3 64 4 4 0
∴m＜n，
故选A．
2
2
2
5、计算：tan60°-sin45°=
【答案】 −
【分析】根据特殊角三角函数值的混合计算法则求解即可．
1
（2）先化简，再求值： a b a 2 b2 a 2 2ab b2
α=sin45°，b=
0
，其中
2
2
【详解】解：（1）原式=
（2）原式=
2
1
2
2 3 1 4 2 2 3 3 2 3
∴tanA=1,2cosB= ，
由特殊角的三角函数值可知此时∠A=45°，∠B=30°，
此时∠C=180°-45°-30°=105°，
则△ABC的形状是钝角三角形，
故选C．
）
3．计算sin60°·tan30°-sin45°·cos30°的结果是（
A．−
+
B．
+
C．−
+
D．
得∠B≈0.6°；
(2)由cosA＝0.15，得∠A≈81.4°；由cosB＝0.8，得
∠B≈36.9°；
(3)由tanA＝2.4，得∠A≈67.4°；由tanB＝0.5，得
∠B≈26.6°.
归纳总结
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）