人教A版数学选修4第二讲二圆锥曲线的参数方程课时训练(含答案解析).docx

1．若曲线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2pt y ＝2pt 2(t 为参数)上异于原点的不同两点M 1，M 2所对应的参数分别是t 1，
t 2，则弦M 1M 2所在直线的斜率是( )
A ．t 1＋t 2
B ．t 1－t 2
C.1t 1＋t 2
D.1t 1－t 2
答案：A 2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ＋1t －1y ＝t －1t
＋1所表示的曲线是( ) A ．双曲线
B ．椭圆
C ．抛物线
D ．圆 答案：A
3．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3t 2＋4y ＝t 2－2所表示的曲线是( )
A ．双曲线的一支
B ．线段
C ．圆弧
D ．射线 答案：D
4．若0<x <π，则函数y ＝2－cos x sin x
的最大值是( ) A ．3 B ．2 C. 3 D ．2－ 3
答案：C
5．动点(3＋2cos θ，cos 2θ)的轨迹的焦点坐标是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－12
B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫3，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，12 D.⎝
⎛⎭⎪⎫－3，－12 答案：A
6．若点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4t 2y ＝4t
(t 为参数)上，则|PF |＝( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
答案：A 7．双曲线⎩⎨⎧ x ＝23tan θy ＝32sec θ的焦点坐标是________，渐近线方程是________．
答案：(0，±30) y ＝±62
x 8．(2013·高考江西卷)设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标
系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．
解析：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ，y ＝t 2化为普通方程为y ＝x 2，由于ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，所以化为
极坐标方程为ρsin θ＝ρ2cos 2θ，即ρcos 2θ－sin θ＝0.
答案：ρcos 2θ－sin θ＝0
9．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos θ1＋cos θy ＝sin θ1＋cos θ
化为普通方程是________． 答案：y 2＝1－2x
10．已知实数x ，y 满足3x 2＋2y 2＝6x ，求x ＋y 的最大值．
解：由题意可知3x 2＋2y 2＝6x ，
∴(x －1)2＋2y 23
＝1， ∴参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋cos θy ＝32sin θ. 则x ＋y ＝1＋cos θ＋
32sin θ ＝1＋102
sin(θ＋φ)，tan φ＝23. ∴x ＋y 的最大值为1＋
102
. 11．已知A 为抛物线y 2＝2px (p >0)上的一个定点，BC 是垂直于x 轴的一条弦，直线AB
交抛物线的对称轴于D 点，直线AC 交抛物线的对称轴于E 点，求证：抛物线的顶点平分线段DE . 证明：设抛物线上的点B 的坐标是(t 22p ，t )，则点C 的坐标是(t 2
2p
，－t )，点A 的坐标是(a 2
2p
，a )， 于是AB 的方程是y －a ＝t －a t 2－a 22p
(x －a 2
2p
)， 即y －a ＝2p t ＋a (x －a 2
2p
)，
AB 与x 轴的交点为D (－at 2p
，0)， 同理直线AC 的方程是y －a ＝2p a －t (x －a 2
2p
)， ∴点E 的坐标为(at 2p
，0)， ∴抛物线的顶点平分DE .
12．在双曲线x 2－2y 2＝8上求一点P ，使它到直线x －y －1＝0的距离最小．
解：设点P 的坐标是(22sec θ，2tan θ)，其中θ∈[0,2π)．
点P 到直线的距离
d ＝|22sec θ－2tan θ－1|2
＝12
|2(2－sin θ)cos θ－1|. 令t ＝2－sin θcos θ
，则sin θ＋t cos θ＝2， 于是2t 2＋1≤1，解得t ≥1或t ≤－1.
则2t －1≥1或2t －1≤－3.
∴d 的最小值是12
， 此时sin θ＋cos θ＝2，θ＝π4
， ∴P 的坐标为(4,2)．。