2024成都中考数学二轮复习专题 二次函数——阿氏圆、胡不归问题专项训练(含答案)

2024成都中考数学二轮复习专题
二次函数——阿氏圆、胡不归问题专项训练（学生版）
课中讲解
模型来源
“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.
模型建立
如图1所示，⊙O的半径为R，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知
2
5
R OB =，
连接PA、PB，则当“
2
5
PA PB
+”的值最小时，P点的位置如何确定？
解决办法：如图2，在线段OB上截取OC使OC=2
5R，则可说明△BPO与△PCO相似，
则有2
5PB=PC。

故本题求“PA+
2
5PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与
C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。

技巧总结
计算PA kPB +的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形
问题：在圆上找一点P 使得PA kPB +的值最小，解决步骤具体如下：
1.如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP ，OB
2.计算出这两条线段的长度比OP k OB
=3.在OB 上取一点C ，使得OC k OP
=，即构造△POM ∽△BOP ，则PC k PB
=，PC kPB =4.则=PA kPB PA PC AC ++≥，当A 、P 、C 三点共线时可得最小值
例1.已知：如图1，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y 轴交于点
C ，点
D 为顶点．
（1）求抛物线解析式及点D 的坐标；
（2）若直线l 过点D ，P 为直线l 上的动点，当以A 、B 、P 为顶点所作的直角三角形有．且只有三个时，求直线l 的解析式；
（3）如图2，E 为OB 的中点，将线段OE 绕点O 顺时针旋转得到OE '，旋转角为(090)αα︒<<︒，连接E B '、E C '，当12
E B E C '+'取得最小值时，求直线BE '与抛物线的交点坐标．
例2.如图，顶点为C 的抛物线2(0)y ax bx a =+>经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，连接OC 、OA 、AB ，已知2OA OB ==，120AOB ∠=︒．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）过点C 作CE OB ⊥，垂足为E ，点P 为y 轴上的动点，若以O 、C 、P 为顶点的三角形与AOE ∆相似，求点P 的坐标；
（3）若将（2）的线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE '，旋转角为(0120)αα︒<<︒，连接E A '、
E B '，求12
E A E B '+'的最小值．
过关检测
1.如图，直线:33
=-+与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线
l y x
224(0)
=-++<经过点B，交x轴正半轴于点C．
y ax ax a a
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M 的横坐标为m，ABM
∆的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值及此时动点M的坐标；
（3）将点A绕原点旋转得点A'，连接CA'、BA'，在旋转过程中，一动点M从点B出发，沿线段BA'以每秒3个单位的速度运动到A'，再沿线段A C'以每秒1个单位长度的速度运动到C后停止，求点M在整个运动过程中用时最少是多少？
2.如图，抛物线()20,y ax bx a b a a b =+--<、为常数与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于B 点，直线AB 的函数关系式为81693
y x =+．（1）求该抛物线的函数关系式与C 点坐标；
（2）已知点M (),0m 是线段OA 上的一个动点，过点M 作x 轴的垂线l 分别与直线AB 和抛物线交于D 、E 两点，当m 为何值时，△BDE 恰好是以DE 为底边的等腰三角形？
（3）在（2）问条件下，当BDE D 恰好是以DE 为底边的等腰三角形时，动点M 相应位置记为点M′，将OM′绕原点O 顺时针旋转得到ON （旋转角在0°到90°之间）；
i ：探究：线段OB 上是否存在定点P （P 不与O 、B 重合），无论ON 如何旋转，
NP NB 始终保持不变，若存在，试求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；
ii ：试求出此旋转过程中，34
NA NB 骣琪+琪桫的最小值．
学习任务
1.如图，抛物线2y x bx c =-++与直线AB 交于(4,4)A --，(0,4)B 两点，直线
1:62
AC y x =--交y 轴于点C ．点E 是直线AB 上的动点，过点E 作EF x ⊥轴交AC 于点F ，交抛物线于点G ．
（1）求抛物线2y x bx c =-++的表达式；
（2）连接GB ，EO ，当四边形GEOB 是平行四边形时，求点G 的坐标；
（3）①在y 轴上存在一点H ，连接EH ，HF ，当点E 运动到什么位置时，以A ，E ，F ，H 为顶点的四边形是矩形？求出此时点E ，H 的坐标；
②在①的前提下，以点E 为圆心，EH 长为半径作圆，点M 为E 上一动点，求
12AM CM +它的最小值．
2.如图1，抛物线2(3)3(0)y ax a x a =+++≠与x 轴交于点(4,0)A ，与y 轴交于点B ，在x 轴
上有一动点(E m ，0)(04)m <<，过点E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点P ，过点P 作PM AB ⊥于点M ．
（1）求a 的值和直线AB 的函数表达式；
（2）设PMN ∆的周长为1C ，AEN ∆的周长为2C ，若1265
C C =，求m 的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE '，旋转角为(090)αα︒<<︒，
连接E A '、E B '，求23
E A E B '+'
的最小值．
胡不归问题
课中讲解
故事介绍
从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）
而如果先沿着驿道AC
先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？
模型建立
如图，一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，
A 、
B 为定点，点
C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21
AC BC V V +的值最小．问题分析
121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，记12V k V =，即求BC +kAC 的最小值．
问题解决
构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，即CH k AC
=，CH =kAC ．将问题转化为求BC +CH 最小值，过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于
H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．
模型总结
在求形如“PA +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“PA +kPB ”型问题转化为“PA +PC ”型．而这里的PB 必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB 的等线段．
例1.如图，抛物线223y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，过B 的直线交抛物线于E ，且
4tan 3
EBA ∠=，有一只蚂蚁从A 出发，先以1单位/s 的速度爬到线段BE 上的点D 处，再以1.25单位/s 的速度沿着DE 爬到E 点处觅食，则蚂蚁从A 到E 的最短时间是s ．
过关检测
1.如图，已知抛物线(2)(4)(8
k y x x k =+-为常数，且0)k >与x 轴从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线33
y x b =-
+与抛物线的另一交点为D ．（1）若点D 的横坐标为5-，求抛物线的函数表达式；
（2）若在第一象限内的抛物线上有点P ，使得以A ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似，求k 的值；
（3）在（1）的条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止，当点F 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？
2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(1,0)A -，(0,B ，
(2,0)C ，其对称轴与x 轴交于点D
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）若P 为y 轴上的一个动点，连接PD ，则12
PB PD +的最小值为；
（3）(,)M x t 为抛物线对称轴上一动点①若平面内存在点N ，使得以A ，B ，M ，N 为顶点的四边形为菱形，则这样的点N 共有个；
3.直线
4
3
y x
=与抛物线()2343
y x m
=--+交于A，B两点（其中点A在点B的左侧），
与抛物线的对称轴交于点C，抛物线的顶点为D（点D在点C的下方），设点B的横坐标为t
（1）求点C的坐标及线段CD的长（用含m的式子表示）；
（2）直接用含t的式子表示m与t之间的关系式（不需写出t的取值范围）；
（3）若CD＝CB．①求点B的坐标；②在抛物线的对称轴上找一点F，使
3
5
BF CF
+的值
最小，则满足条件的点F的坐标是．
学习任务
1.如图，抛物线212y x mx n =
++与直线132
y x =-+交于A ，B 两点，交x 轴于D ，C 两点，连接AC ，BC ，已知(0,3)A ，(3,0)C ．（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan BAC ∠的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：
（1）P 为y 轴右侧抛物线上一动点，连接PA ，过点P 作PQ PA ⊥交y 轴于点Q ，问：是否存在点P 使得以A ，P ，Q 为顶点的三角形与ACB ∆相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）设E 为线段AC 上一点（不含端点），连接DE ，一动点M 从点D 出发，沿线段
DE 以每秒一个单位速度运动到E 点，再沿线段EA 个单位的速度运动到A 后停止，当点E 的坐标是多少时，点M 在整个运动中用时最少？
2.如图1，二次函数21212
y x x =-+的图象与一次函数(0)y kx b k =+≠的图象交于A ，B 两点，点A 的坐标为(0,1)，点B 在第一象限内，点C 是二次函数图象的顶点，点M 是一次函数(0)y kx b k =+≠的图象与x 轴的交点，过点B 作x 轴的垂线，垂足为N ，且:1:48AMO AONB S S ∆=四边形．
（1）求直线AB 和直线BC 的解析式；
（2）点P 是线段AB 上一点，点D 是线段BC 上一点，//PD x 轴，射线PD 与抛物线交于点G ，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，PF BC ⊥于点F ．当PF 与PE 的乘积最大时，在线
段AB 上找一点H （不与点A ，点B 重合），使GH 的值最小，求点H 的坐标和22
GH BH +的最小值；
3.已知抛物线）0)(1)(3(≠-+=a x x a y ，与x 轴从左至右依次相交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，经过点A 的直线b x y +-=3与抛物线的另一个交点为D 。

（1）若点D 的横坐标为2，则抛物线的函数关系式为。

（2）若在第三象限内的抛物线上有一点P ，使得以A 、B 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标。

（3）在（1）的条件下，设点E 是线段AD 上一点（不含端点），连接BE ，一动点Q 从点B 出发，沿线段BE 以每秒1个单位的速度运动到点E ，再沿线段ED 以每秒
3
32个单位运动到点D 停止，问当点E 的坐标为多少时，点Q 运动的时间最少？
2024成都中考数学二轮复习专题
二次函数——阿氏圆、胡不归问题专项训练（解析版）
课中讲解
模型来源
“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.
模型建立
如图1所示，⊙O的半径为R，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知
2
5
R OB =，
连接PA、PB，则当“
2
5
PA PB
+”的值最小时，P点的位置如何确定？
解决办法：如图2，在线段OB上截取OC使OC=2
5R，则可说明△BPO与△PCO相似，
则有2
5PB=PC。

故本题求“PA+
2
5PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与
C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。

技巧总结
计算PA kPB +的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形
问题：在圆上找一点P 使得PA kPB +的值最小，解决步骤具体如下：
5.如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP ，OB
6.计算出这两条线段的长度比OP k OB
=7.在OB 上取一点C ，使得OC k OP
=，即构造△POM ∽△BOP ，则PC k PB
=，PC kPB =8.则=PA kPB PA PC AC ++≥，当A 、P 、C 三点共线时可得最小值
例1.已知：如图1，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y 轴交于点
C ，点
D 为顶点．
（1）求抛物线解析式及点D 的坐标；
（2）若直线l 过点D ，P 为直线l 上的动点，当以A 、B 、P 为顶点所作的直角三角形有．且只有三个时，求直线l 的解析式；
（3）如图2，E 为OB 的中点，将线段OE 绕点O 顺时针旋转得到OE '，旋转角为(090)αα︒<<︒，连接E B '、E C '，当12
E B E C '+
'取得最小值时，求直线BE '与抛物线的交点坐标．
【分析】（1）由抛物线的交点式可知抛物线的解析式为(1)(3)y x x =+-，通过整理可得到抛物线的解析式，然后利用配方法可得到抛物线的定点坐标；
（2）过点A 、B 分别作x 轴的垂线，这两条垂线与直线l 总是有交点的，即2个点Q ．以AB 为直径的G 如果与直线l 相交，那么就有2个点Q ；如果圆与直线l 相切，就只有1个点Q 了，以AB 为直径作G ，作QD 与G 相切，则QG QD ⊥，过Q 作QE GD ⊥，先求得点Q
的坐标，于是可求得l 的解析式，由图形的对称性可知点Q 的坐标还可以是(1+1)-，然后可求得另一种情况；（2问优秀，建议讲解）
（3）取M 使34OM =，连接ME '，接下来，证明OME ∆'∽△OE C '，从而可得到12
ME CE '='，故此当M 、E '、B 在一条直线上时，12E B E C '+
'有最小值，最后，依据勾股定理求得MB 的长度即可．
【解答】解：（1）抛物线2y x bx c =++与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，2(1)(3)23y x x x x ∴=+-=--．
2223(1)4y x x x =--=--，∴抛物线的顶点坐标为(1,4)-．
（2）过点A 、B 分别作x 轴的垂线，这两条垂线与直线l 总是有交点的，即2个点Q ．以AB 为直径的G 如果与直线l 相交，那么就有2个点Q ；如果圆与直线l 相切，就只有1个点Q 了．
如图所示：以AB 为直径作G ，作QD 与G 相切，则QG QD ⊥，过Q 作QE GD ⊥．
(1,0)A -，(3,0)B ，4AB ∴=．2QG ∴=．
又4DG =，1sin 2GDQ ∴∠=．1sin 2
GQE ∴∠=，1GE ∴=，
QE ∴=．∴点Q 的坐标为
(1-1)-．
设l 的解析式为y kx b =+，则4
(11
k b k b +=-⎧⎪⎨-+=-⎪⎩，解得：k =，4b =-+
∴直线l 的解析式为4y =+-．
由图形的对称性可知：当直线l 经过点(1+，1)-时，直线l 与
G 相切，则
4
(11k b k b +=-⎧⎪⎨++=-⎪⎩，解得：k =4b =--，
∴直线l 的解析式为4y =--
综上所述，直线l 的解析式为4y =+或4y =--．
（3）如图所示：取M 使34
OM =，连接ME '．
3OC =，32OE '=，34OM =，2OE OC OM ∴'=，∴OE OC OM OE '='
．又MOE E OC ∠'=∠'，OME ∴∆'∽△OE C '，∴
12ME OE CE OC ''=='．12ME CE ∴'='．12
E B E C BE ME ∴'+'='+'，∴当M 、E '、B 在一条直线上时，12
E B E C '+'有最小值，直线BE '的解析式为1344
y x =-，由2134423y x y x x ⎧=-⎪⎨⎪=--⎩，解得30x y =⎧⎨=⎩或341516x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，直线BE '与抛物线的交点坐标为3(4-，1516
-．【点评】本题考查二次函数综合题、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是确定出12
E B E C '+'取得最小值的条件．6.如图，顶点为C 的抛物线2(0)y ax bx a =+>经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，连接OC 、OA 、AB ，已知2OA OB ==，120AOB ∠=︒．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）过点C 作CE OB ⊥，垂足为E ，点P 为y 轴上的动点，若以O 、C 、P 为顶点的三角形与AOE ∆相似，求点P 的坐标；
（3）若将（2）的线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE '，旋转角为(0120)αα︒<<︒，连接E A '、
E B '，求12E A E B '+'的最小值．
【分析】（1）根据2AO OB ==，120AOB ∠=︒，求出A 点坐标，以及B 点坐标，进而利用待定系数法求二次函数解析式；
（2）30EOC ∠=︒，由2OA OE =，23OC =12OP OC =或2OP OC '=时，POC ∆与AOE ∆相似；
（3）如图，取1(2Q ，0)．连接AQ ，QE '．由△OE Q OBE '∆'∽，推出12E Q OE BE OB ''=='，推出12E Q BE '='，推出12AE BE AE QE '+'='+'，由AE E Q AQ '+' ，推出12
E A E B '+'的最小值就是线段AQ 的长；
【解答】解：（1）过点A 作AH x ⊥轴于点H
，
2AO OB ==，120AOB ∠=︒，60AOH ∴∠=︒，1OH ∴=，3AH =A ∴点坐标为：(3)-，B 点坐标为：(2,0)，
将两点代入2y ax bx =+得：3420a b a b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得：33233a a b ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩
，∴抛物线的表达式为：2323y =-；（2）如图，
3(1,)3C -，3tan 3
EC EOC OE ∴∠==，30EOC ∴∠=︒，9030120POC ∴∠=︒+︒=︒，120AOE ∠=︒，120AOE POC ∴∠=∠=︒，
2OA OE =，233
OC =，∴当12
OP OC =或2OP OC '=时，POC ∆与AOE ∆相似，33OP ∴=，433
OP '=，∴点P 坐标为33或433．（3）如图，取1(2
Q ，0)．连接AQ ，QE '．
12
OE OQ OB OE '=='，QOE BOE ∠'=∠'，∴△OE Q OBE '∆'∽，∴
12E Q OE BE OB ''=='，12E Q BE ∴'='，12
AE BE AE QE ∴'+'='+'，AE E Q AQ '+' ，
12
E A E B ∴'+'的最小值就是线段AQ 22321()(3)22+=．
过关检测
1.如图，直线:33l y x =-+与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，抛物线
224(0)y ax ax a a =-++<经过点B ，交x 轴正半轴于点C ．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）已知点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，连接AM 、BM ，设点M 的横坐标为m ，ABM ∆的面积为S ，求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最大值及此时动点M 的坐标；
（3）将点A 绕原点旋转得点A '，连接CA '、BA '，在旋转过程中，一动点M 从点B 出发，沿线段BA '以每秒3个单位的速度运动到A '，再沿线段A C '以每秒1个单位长度的速度运动到C 后停止，求点M 在整个运动过程中用时最少是多少？
【分析】（1）根据题意可以求得点B 的坐标，从而可以求得抛物线的解析式；
（2）根据题意可以求得点A 的坐标，然后根据题意和图形可以用含m 的代数式表示出S ，然后将其化为顶点式，再根据二次函数的性质即可解答本题；
（3）根据题意作出点H ，然后利用三角形相似和勾股定理、两点之间线段最短即可求得t 的最小值．
【解答】解：（1）将0x =代入33y x =-+，得3y =，∴点B 的坐标为(0,3)，
抛物线224(0)y ax ax a a =-++<经过点B ，34a ∴=+，得1a =-，
∴抛物线的解析式为：223y x x =-++；
（2）将0y =代入223y x x =-++，得11x =-，23x =，∴点C 的坐标为(3,0)，
点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，点M 的横坐标为m ，
03m ∴<<，点M 的坐标为2(,23)m m m -++，
将0y =代入33y x =-+，得1x =，∴点A 的坐标(1,0)，ABM ∆的面积为S ，
()2123313222
AOB BOM OAM AOB OAMB m m m S S S S S S ∆∆∆∆⨯-++⨯⨯∴=-=+-=+-四边形，化简，得2251525()2228
m m S m -=-=--+，∴当52m =时，S 取得最大值，此时258S =，此时点M 的坐标为5(2，74
，即S 与m 的函数表达式是252m m S -=-，S 的最大值是258，此时动点M 的坐标是5(2，74
；（3）如右图所示，取点H 的坐标为1(0,)3
，连接HA '、OA '，HOA A OB ∠'=∠'，13OH OA ='，13OA OB '=，OHA ∴∆'∽△OA B '，∴3BA A H '='，即3
BA A H '='，
A H A C HC '+'== ，3
t ∴，
即点M
2.如图，抛物线()20,y ax bx a b a a b =+--<、为常数与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于B 点，直线AB 的函数关系式为81693
y x =+．（1）求该抛物线的函数关系式与C 点坐标；
（2）已知点M (),0m 是线段OA 上的一个动点，过点M 作x 轴的垂线l 分别与直线AB 和抛物线交于D 、E 两点，当m 为何值时，△BDE 恰好是以DE 为底边的等腰三角形？
（3）在（2）问条件下，当BDE D 恰好是以DE 为底边的等腰三角形时，动点M 相应位置记为点M′，将OM′绕原点O 顺时针旋转得到ON （旋转角在0°到90°之间）；
i ：探究：线段OB 上是否存在定点P （P 不与O 、B 重合），无论ON 如何旋转，
NP NB 始终保持不变，若存在，试求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；
ii ：试求出此旋转过程中，34
NA NB 骣琪+琪桫的最小值．
学习任务
1.如图，抛物线2y x bx c =-++与直线AB 交于(4,4)A --，(0,4)B 两点，直线
1:62
AC y x =--交y 轴于点C ．点E 是直线AB 上的动点，过点E 作EF x ⊥轴交AC 于点F ，交抛物线于点G ．
（1）求抛物线2y x bx c =-++的表达式；
（2）连接GB ，EO ，当四边形GEOB 是平行四边形时，求点G 的坐标；
（3）①在y 轴上存在一点H ，连接EH ，HF ，当点E 运动到什么位置时，以A ，E ，F ，H 为顶点的四边形是矩形？求出此时点E ，H 的坐标；
②在①的前提下，以点E 为圆心，EH 长为半径作圆，点M 为E 上一动点，求
12
AM CM +它的最小值．
【解答】解：（1）点(4,4)A --，(0,4)B 在抛物线2y x bx c =-++上，
∴16444b c c --+=-⎧⎨=⎩，∴24
b c =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为224y x x =--+；（2）设直线AB 的解析式为y kx n =+过点A ，B ，
∴444n k n =⎧⎨-+=-⎩，∴24k n =⎧⎨=⎩
，∴直线AB 的解析式为24y x =+，设(,24)E m m +，2(,24)G m m m ∴--+，
四边形GEOB 是平行四边形，4EG OB ∴==，
224244m m m ∴--+--=，2m ∴=-(2,4)G ∴-．
（3）①如图1，
由（2）知，直线AB 的解析式为24y x =+，∴设(,24)E a a +，直线1:62AC y x =--，1(,6)2
F a a ∴--，设(0,)H p ，
以点A ，E ，F ，H 为顶点的四边形是矩形，
直线AB 的解析式为24y x =+，直线1:62
AC y x =--，AB AC ∴⊥，EF ∴为对角线，EF ∴与AH 互相平分，∴11(40)()22a a -+=+，111(4)(246)222
p a a -+=+--，2a ∴=-，1P =-，(2,0)E ∴-．(0,1)H -；
②如图2，
由①知，(2,0)E -，(0,1)H -，(4,4)A --，
EH ∴=AE =，
设AE 交
E 于G ，取EG 的中点P ，PE ∴=，连接PC 交E 于M ，连接EM ，
EM EH ∴==，∴122
PE ME ==，1
2ME AE =，∴12
PE ME ME AE ==，PEM MEA ∠=∠，PEM MEA ∴∆∆∽，∴12PM ME AM AE ==，12
PM AM ∴=，∴12
AM CM +的最小值PC =，设点(,24)P p p +，
(2,0)E -，2222(2)(24)5(2)PE p p p ∴=+++=+，
2
PE =，255(2)4p ∴+=，52p ∴=-或32p =-（由于(2,0)E -，所以舍去），5(2
P ∴-，1)-，
(0,6)C -，2
PC ∴==，
即：122
AM CM +=．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，中点坐标公式，极值的确定，解（1）的关键是掌握待定系数法，解（2）的关键是利用平行四边形的对边相等建立方程求解，解（3）①的关键是利用中点坐标公式建立方程求解，解（3）②的关键是构造相似三角形，是一道中等难度的题目．
2.如图1，抛物线2
(3)3(0)y ax a x a =+++≠与x 轴交于点(4,0)A ，与y 轴交于点B ，在x 轴
上有一动点(E m ，0)(04)m <<，过点E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点P ，过点P 作PM AB ⊥于点M ．
（1）求a 的值和直线AB 的函数表达式；
（2）设PMN ∆的周长为1C ，AEN ∆的周长为2C ，若
126
5
C C =，求m 的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE '，旋转角为(090)αα︒<<︒，连接E A '、E B '，求2
3
E A E B '+'
的最小值．
【分析】（1）令0y =，求出抛物线与x 轴交点，列出方程即可求出a ，根据待定系数法可以确定直线AB 解析式．（2）由PNM ANE ∆∆∽，推出
6
5
PN AN =，列出方程即可解决问题．（3）在y 轴上取一点M 使得43OM '=，构造相似三角形，可以证明AM '就是23
E A E B '+'的最小值．
【解答】解：（1）令0y =，则2(3)30ax a x +++=，(1)(3)0x ax ∴++=，1x ∴=-或3
a
-，
抛物线2(3)3(0)y ax a x a =+++≠与x 轴交于点(4,0)A ，34a ∴-
=，34
a ∴=-．(4,0)A ，(0,3)B ，设直线AB 解析式为y kx
b =+，则340b k b =⎧⎨+=⎩，解得343
k b ⎧
=-
⎪⎨⎪=⎩，
∴直线AB 解析式为3
34
y x =-+．
（2）如图1中，
PM AB ⊥，PE OA ⊥，PMN AEN ∴∠=∠，PNM ANE ∠=∠，PNM ANE ∴∆∆∽，∴
6
5
PN AN =，//NE OB ，∴
AN AE AB OA =
，5
(4)4
AN m ∴=-，抛物线解析式为239
344
y x x =-++，
2239333(3)34444PN m m m m m ∴=-++--+=-+，∴23
36
455(4)4
m m
m -+=-，解得2m =或4，
经检验4x =是分式方程的增根，2m ∴=．（3）如图2中，在y 轴上取一点M '使得4
3
OM '=，连接AM '，在AM '上取一点E '使得OE OE '=
．
2OE '=，4343OM OB '=
⨯=，2OE OM OB ∴'='，∴OE OB
OM OE '=
''
，BOE M OE ∠'=∠''，∴△M OE ''∽△E OB '，∴
23M E OE BE OB '''=='，2
3
M E BE ∴''='，23AE BE AE E M AM ∴'+
'='+''='，此时2
3
AE BE '+'最小（两点间线段最短，A 、M '、E '共线时），
最小值2244
4()1033
AM ='=+=．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段AM '就是2
3
E A E B '+
'的最小值，属于中考压轴题．
胡不归问题
课中讲解
故事介绍
从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）
而如果先沿着驿道AC
先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？
模型建立
如图，一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21
AC BC
V V +的值最小．
问题分析
121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛
⎫++ ⎪⎝⎭
，记12V k V =，即求BC +kAC 的最小值．问题解决
构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，即
CH
k AC
=，CH =kAC ．将问题转化为求BC +CH 最小值，过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．
模型总结
在求形如“PA +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“PA +kPB ”型问题转化为“PA +PC ”型．而这里的PB 必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB 的等线段．
例1.如图，抛物线2
23y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，过B 的直线交抛物线于E ，且
4
tan 3
EBA ∠=
，有一只蚂蚁从A 出发，先以1单位/s 的速度爬到线段BE 上的点D 处，再以1.25单位/s 的速度沿着DE 爬到E 点处觅食，则蚂蚁从A 到E 的最短时间是s ．
【分析】过点E 作x 轴的平行线，再过D 点作y 轴的平行线，两线相交于点H ，如图，利用平行线的性质和三角函数的定义得到4
tan tan 3
DH HED EBA EH ∠=∠=
=，设4DH m =，3EH m =，则5DE m =，则可判断蚂蚁从D 爬到E 点所用的时间等于从D 爬到H 点所用的
时间相等，于是得到蚂蚁从A 出发，先以1单位/s 的速度爬到线段BE 上的点D 处，再以1.25单位/s 的速度沿着DE 爬到E 点所用时间等于它从A 以1单位/s 的速度爬到D 点，再从D 点以1单位/s 速度爬到H 点的时间，利用两点之间线段最短得到AD DH +的最小值为AG 的长，接着求出A 点和B 点坐标，再利用待定系数法求出BE 的解析式，然后解由直线
解析式和抛物线解析式所组成的方程组确定E 点坐标，从而得到AG 的长，然后计算爬行的时间．
【解答】解：过点E 作x 轴的平行线，再过D 点作y 轴的平行线，两线相交于点H ，如图，
//EH AB ，HEB ABE ∴∠=∠，4
tan tan 3
DH HED EBA EH ∴∠=∠=
=，设4DH m =，3EH m =，则5DE m =，∴蚂蚁从D 爬到E 点的时间54()1.25
x
s =
=若设蚂蚁从D 爬到H 点的速度为1单位/s ，则蚂蚁从D 爬到H 点的时间44()1
m
s ==，∴蚂蚁从D 爬到E 点所用的时间等于从D 爬到H 点所用的时间相等，
∴蚂蚁从A 出发，先以1单位/s 的速度爬到线段BE 上的点D 处，再以1.25单位/s 的速度
沿着DE 爬到E 点所用时间等于它从A 以1单位/s 的速度爬到D 点，再从D 点以1单位/s 速度爬到H 点的时间，
作AG EH ⊥于G ，则AD DH AH AG + ，AD DH ∴+的最小值为AG 的长，当0y =时，2230x x --=，解得11x =-，23x =，则(1,0)A -，(3,0)B ，直线BE 交y 轴于C 点，如图，在Rt OBC ∆中，4
tan 3
CO CBO OB ∠=
=，4OC ∴=，
则(0,4)C ，设直线BE 的解析式为y kx b =+，把(3,0)B ，(0,4)C 代入得304k b b +=⎧⎨=⎩，解得434k b ⎧
=-
⎪⎨⎪=⎩，
∴直线BE 的解析式为4
43
y x =-
+，解方程组2234
43y x x y x ⎧=--⎪⎨=-+⎪⎩得30x y =⎧⎨=⎩或73649x y ⎧
=-
⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩，则E 点坐标为7(3-，649，649AG ∴=，∴蚂蚁从A 爬到G 点的时间64
649()19s ==，即蚂蚁从A 到E 的最短时间为64
9
s
．
【点评】本题考查了二次函数与x 轴的交点：把求二次函数2
(y ax bx c a =++，b ，c 是常
数，0)a ≠与x 轴的交点坐标化为解关于x 的一元二次方程．解决本题的关键是确定蚂蚁在DH 和DE 上爬行的时间相等．
过关检测
1.如图，已知抛物线(2)(4)(8
k
y x x k =
+-为常数，且0)k >与x 轴从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线3
3
y x b =+与抛物线的另一交点为D ．（1）若点D 的横坐标为5-，求抛物线的函数表达式；
（2）若在第一象限内的抛物线上有点P ，使得以A ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似，求k 的值；
（3）在（1）的条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止，当点F 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？
【分析】（1）首先求出点A 、B 坐标，然后求出直线BD 的解析式，求得点D 坐标，代入抛物线解析式，求得k 的值；
（2）因为点P 在第一象限内的抛物线上，所以ABP ∠为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是ABC APB ∆∆∽或ABC PAB ∆∆∽．如答图2，按照以上两种情况进行分类讨论，分别计算；
（3）由题意，动点M 运动的路径为折线AF DF +，运动时间：1
2
t AF DF =+．如答图3，作辅助线，将1
2
AF DF +
转化为AF FG +；再由垂线段最短，得到垂线段AH 与直线BD 的交点，即为所求的F 点．【解答】解：（1）抛物线(2)(4)8
k
y x x =+-，
令0y =，解得2x =-或4x =，(2,0)A ∴-，(4,0)B ．
直线3y x b =+经过点(4,0)B ，403b ∴-+=，解得3
b =
，
∴直线BD 解析式为：y =+
．当5x =-时，y =，(5D ∴-，．
点(5D -，在抛物线(2)(4)8
k
y x x =+-上，
∴
(52)(54)8
k
-+--=9k ∴=．
∴抛物线的函数表达式为：2)(4)y x x =
+-．即2y =--
（2）由抛物线解析式，令0x =，得y k =-，(0,)C k ∴-，OC k =．因为点P 在第一象限内的抛物线上，所以ABP ∠为钝角．
因此若两个三角形相似，只可能是ABC APB ∆∆∽或ABC PAB ∆∆∽．①若ABC APB ∆∆∽，则有BAC PAB ∠=∠，如答图21-所示．设(,)P x y ，过点P 作PN x ⊥轴于点N ，则ON x =，PN y =．tan tan BAC PAB ∠=∠，即：22k y x =
+，2
k
y x k ∴=+．(,
)2k P x x k ∴+，代入抛物线解析式(2)(4)8
k
y x x =+-，得(2)(4)82
k k
x x x k +-=+，整理得：26160x x --=，解得：8x =或2x =-（与点A 重合，舍去），(8,5)P k ∴．
ABC APB ∆∆∽，∴AC AB
AB AP =
=k =
．②若ABC PAB ∆∆∽，则有ABC PAB ∠=∠，如答图22-所示．设(,)P x y ，过点P 作PN x ⊥轴于点N ，则ON x =，PN y =．tan tan ABC PAB ∠=∠，即：
42
k y
x =
+，
42
k k y x ∴=
+．
(,
)42k k P x x ∴+，代入抛物线解析式(2)(4)8
k
y x x =+-，得(2)(4)842
k k k
x x x +-=+，整理得：24120x x --=，解得：6x =或2x =-（与点A 重合，舍去），(6,2)P k ∴．ABC PAB ∆∆∽，
AB CB
AP AB
=
，
∴
=
，解得k =0k >，k ∴=，
综上所述，k =
或k =（3）方法一：
如答图3，由（1）知：(5D -，，
如答图22-，过点D 作DN x ⊥轴于点N ，则DN =，5ON =，459BN =+=，
tan 93
DN DBA BN ∴∠=
==
，30DBA ∴∠=︒．过点D 作//DK x 轴，则30KDF DBA ∠=∠=︒．过点F 作FG DK ⊥于点G ，则1
2
FG DF =
．由题意，动点M 运动的路径为折线AF DF +，运动时间：1
2
t AF DF =+，t AF FG ∴=+，即运动的时间值等于折线AF FG +的长度值．
由垂线段最短可知，折线AF FG +的长度的最小值为DK 与x 轴之间的垂线段．过点A 作AH DK ⊥于点H ，则t AH =最小，AH 与直线BD 的交点，即为所求之F 点．
A 点横坐标为2-，直线BD 解析式为：33
y x =-+
，
(2)33
y ∴=-
-+=，(2F ∴-，．
综上所述，当点F 坐标为(2-，时，点M 在整个运动过程中用时最少．
方法二：
作//DK AB ，AH DK ⊥，AH 交直线BD 于点F ，30DBA ∠=︒，30BDH ∴∠=︒，sin 302
FD
FH DF ∴=⨯︒=
，∴当且仅当AH DK ⊥时，AF FH +最小，
点M 在整个运动中用时为：12
AF FD
t AF FH =+=+，
:BD l y =+
，
2X X F A ∴==-，(F ∴-．
【点评】本题是二次函数压轴题，难度很大．第（2）问中需要分类讨论，避免漏解；在计算过程中，解析式中含有未知数k ，增加了计算的难度，注意解题过程中的技巧；第（3）问中，运用了转化思想使得试题难度大大降低，需要认真体会．
例2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数2
y ax bx c =++的图象经过点(1,0)A -，(0,B ，
(2,0)C ，其对称轴与x 轴交于点D
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）若P 为y 轴上的一个动点，连接PD ，则1
2
PB PD +的最小值为
；
（3）(,)M x t 为抛物线对称轴上一动点
①若平面内存在点N ，使得以A ，B ，M ，N 为顶点的四边形为菱形，则这样的点N 共有个；。