小升初 和倍、差倍问题(教师版)

个性化教学辅导教案
学生姓名年级六年级学科数学
上课时间年月日教师姓名
课题第10讲和倍、差倍问题
教学目标1、掌握差倍问题的题型及解题方法。

2、加强巩固数形结合的能力。

教学过程
教师活动学生活动1、如图，AE＝ED，BC=3BD，S△ABC＝30平方厘米。

求阴影部分的面积。

连接DF，三角形ABC的面积=5倍三角形BDF的面积
30=
⨯
÷（平方厘米）
5
12
2
2、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形，（如图所示），已知两个三角形的面
积，求另两个三角形的面积是多少？
三角形DOC=4；三角形AOD=2
3、计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米，正方形边长4）。

÷
⨯（平方厘米）
4=
4
2
8
1、一个长方形操场，周长是78米，已知长是宽的2倍，这个操场长 26 分米，宽 13 分米．
2、甲除以乙的商是10，甲乙的和是77，甲是70 ，乙是7 ．
3、父亲现年50岁，女儿现年14岁，（ 5 ）年前，父亲的年龄是女儿年龄的5倍.
4、育才小学有教师108人，其中女教师人数是男教师的3倍．男教师有多少人？
男教师：108÷（3+1）=27（人）
答：男教师有27人。

5、一张桌子、一张椅子和一个熨斗共540元．已知一张椅子的价格比一个熨斗多60元，桌子单价是椅子的2倍．请问一张椅子多少元？
（540+60）÷（2+1+1）=150（元）
答：一张椅子是150元。

6、六年级学生参加课外活动，做游戏的人数比打球的人数的3倍多2人。

已知做游戏的比打球的多38人，打球和做游戏的各有多少人？
打球：（38－2）÷（3－1）=18（人）
做游戏：18+38=56（人）
答：打球的有18人，做游戏的有56人。

7、玩具厂二月比一月份多生产玩具2000个。

三月份比二月份多生产3000个，三月份生产的玩具个数是一月份的2倍，每个月各生产多少个？
一月份：（3000+2000）÷（2－1）=5000（个）
二月份：5000+2000=7000（个）
三月份：7000+3000=10000（个）
答：一月份生产5000个，二月份生产7000个，三月份生产10000个。

➢考点一：典型和倍问题
1、和倍问题概念：已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题。

2、和倍问题的特点是已知两个数的和与大数是小数的几倍，要求两个数，一般是把较小数看作1倍数，大数就是几倍数，这样就可知总和相当于小数的几倍了，可求出小数，再求大数。

3、和倍问题的数量关系式是：和÷（倍数+1）=小数；
小数×倍数=大数或和－小数=大数。

4、如果要求两个数的差，要先求一份数：一份数×(倍数－1)=两数差。

例1：甲班和乙班共有图书160本.甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？
线段图分析：
乙班：160÷（1+3）=40（本）
甲班：40×3=120（本）
答：甲班有图书120本，乙班有图书40本。

例2：甲班有图书120本，乙班有图书30本，甲班给乙班多少本，甲班的图书是乙班图书的2倍？（请同学们画出线段图，再作答）
线段图略
答案：（120+30）÷（2+1）=50（本）50－30=20（本）
答：甲班给乙班20本，甲班的图书是乙班图书的2倍。

例3：光明小学有学生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？女生：（760+40）÷（3+1）=200（人）
男生：760－200=560（人）
答：男生有560人，女生有200人。

方法总结：根据题目中所给的条件和问题，画出线段图，使数量关系一目了然，从而正确且迅速地列式解答。

变式1-1：一个长方形的周长是36厘米，长是宽的2倍，这个长方形的面积是多少平方厘米？
宽：36÷2÷（2+1）=6（厘米）长：6×2=12（厘米）
面积：6×12=72（平方厘米）
答：这个长方形的面积是72平方厘米。

变式1-2：两组学生参加义务劳动，甲组学生人数是乙组的3倍，而乙组的学生人数比甲组的3倍少40人，求参加义务劳动的学生共有多少人？
乙班：40÷（3×3－1）=5（人）
甲班：5×3=15（人）
全班人数：15+5=20（人）
答：参加义务劳动的学生共有20人。

变式1-3：毕业在即，六年级某班为纪念师生情谊，班委决花800元班费买两种不同单价的留念册，分别给50位同学和10位任课老师每人一本留作纪念。

其中送给任课老师的留念册的单价比给同学的单价多8元。

请问：这两种不同留念册的单价分别为多少元？
同学的单价：（800－8×10）÷（50+10）=12（元）
教师的单价：12+8=20（元）
答：这两种不同留念册的单价分别是12元和20元。

➢考点二：几个数的和倍问题
例4：果园里有桃树、梨树、苹果树共552棵。

桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，求桃树、梨树和苹果树各有多少棵？
线段图分析：
梨树：（552+20－12）÷（1+2+1）=140（棵）
桃树：140×2+12=292（棵）
苹果树：140－20=120（棵）
答：桃树有292棵，梨树有140棵，苹果树有120克。

例5：549是甲、乙、丙、丁4个数的和。

如果甲数加上2，乙数减少2，丙数乘以2，丁数除以2以后，则4个数相等。

求4个数各是多少？（请同学们尝试画出线段图，再作答）
线段图略
答案：变化后都等于：549÷（1+1+0.5+2）=549÷4.5=122
甲：122－2=120 乙：122+2=124 丙：122÷2=61 丁：122×2=244
方法总结：解决几个数的和倍问题时要确认一倍量和它的几倍量，并画线段图辅助，借助图形来解决实际问题。

变式2-1：甲、乙、丙三个小朋友共有73块巧克力，如果丙吃掉3块，那么乙和丙的巧克力就一样多；如果乙给甲2块巧克力，那么甲的巧克力就是乙的2倍，丙原有多少块巧克力？
乙=丙－3
（乙－2）×2=甲+2→2乙－4=甲+2→2（丙－3）－4=甲+2
2丙－甲=12
2丙－12+丙－3+丙=73→4丙-15=73→丙原来：（73+15）÷4=22（块）
甲乙
变式2-2：甲、乙、丙三所小学的学生人数的总和为1999。

已知甲校学生人数的2倍和乙校学生人数减去3人与丙校学生人数加上4人都相等。

问甲、乙、丙各校学生人数是多少？
甲校：（1999+4－3）÷（1+2+2）=400（人）
乙校：400×2+3=803（人）
丙校：400×2－4=796（人）
变式2-3：甲、乙、丙三数的和是188，甲数除以乙数，或丙数除以甲数，结果都是商6余2，乙数是（4 ）。

➢考点三：典型差倍问题
1、差倍问题的概念：已知大小两数的差，以及大小两数的倍数关系，求大小两数的问题。

2、和倍问题和差倍问题的特征和解题方法很相似，如果知道了两个数的差与两个数的倍数关系，要求各个数是多少，这一类题，我们则把它称为“差倍问题”。

3、差倍问题的基本关系式：差数÷（倍数－1）＝较小数；较小数×倍数＝较大数。

例6：甲班的图书本数比乙班多80本，甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？
线段图分析：
乙班：80÷（3－1）=40（本）
甲班：40×3=120（本）
答：甲班有图书120本，乙班有图书40本。

例7：有大小两个书架，大架上的本数是小书架上的4倍，如果从大书架上取出150本放到小书架上，这时，两架上的书的本数相等。

大小书架原各有多少本？
小书架：150×2÷（4-1）=100（本）
大书架：100×4=400（本）
答：大书架原来有400本书，小书架原来与100本书。

方法总结：首先要在题目中找到1倍数，被除数的数量和除数的倍数关系要相对应，相除后得到的结果是1倍数。

此外，还要充分利用线段图帮助分析数量关系。

➢考点四：差倍问题的变形
例8：仓库里存放大米和面粉两各粮食，面粉比大米多3900千克，面粉的千克数比大米的2倍还多100千克，问仓库有大米和面粉各多少千克？
线段图分析：
大米：3900－100=3800（千克）
面粉：3800+3900=7700（千克）
答：仓库有大米3800千克，面粉7700千克。

方法总结：正确找出当两数之间刚好满足“整倍数”的关系的时候对应的“差”是多少，然后再根据基本公式计算。

➢考点五：三个数的差倍问题
例9：育红小学买了一些足球、排球和篮球，已知足球比排球多7只，排球比篮球多11只，足球的只数是篮球的3倍。

足球、排球和篮球各多少只？
线段图分析：
篮球：（11+7）÷（3－1）=9（个）
排球：9+11=20（个）
足球：20+7=27（个）
方法总结：将三个量用线段的方式表示出来，分别标出两两之间的关系，转换成为两个数的差倍问题再进行列式计算。

1、甲、乙、丙三数之和是2013，甲数比乙数的2倍还少3，乙数是丙数的2倍，甲数是（ C ）。

A、288
B、576
C、1149
2、一个长方形操场，周长是78米，已知长是宽的2倍，这个操场长（26 ）分米，宽（13 ）分米。

3、鸡兔同笼，从上面数8个头，有22只脚，鸡有（ B ）只．
A、3
B、5
C、6
4、强强一次捐款175元，分别是20元和5元的，共有23张，其中5元的有（ B ）张．
A、4
B、19
C、13
5、水果店运来苹果和梨共310千克，运来的苹果是梨的61倍，运来苹果多少千克？梨：310÷（1+61）=5（千克）
苹果：310－5=305（千克）
6、两个数的和是616，其中一个加数的个位上是0，若把0去掉，就与另一个加数相
同，这两个数分别是多少？
616÷（10+1）=56
56×10=560
答：这两个数分别是56和560。

7、甲、乙、丙三个数的和是120，其中甲、乙两个数的和是丙的3倍，甲比乙多10。

三个数各是多少？
丙：120÷（3+1）=30
甲+乙=120－30=90 甲－乙=10
甲：（90+10）÷2=50
乙：（90－10）÷2=40
8、一支钢笔比一支圆珠笔贵6.6元，已知圆珠笔的单价是钢笔的
41。

钢笔和圆珠笔的单价各是多少元？
圆珠笔单价：6.6÷（4－1）=2.2（元）
钢笔单价：2.2×4=8.8（元）
9、某农具厂第三季度比第二季度多生产2800套轴承，第一季度比第二季度少生产1200套。

第三季度生产的是第一季度的3倍。

求每季度各生产多少？
第一季度：（2800+1200）÷（3－1）=2000（套）
第二季度：2000+1200=3200（套）
第三季度：3200+2800=6000（套）
1、理解并熟记公式：和÷（倍数+1）=小数
小数×倍数=大数
或 和－小数=大数
2、为了帮助我们理解题意，弄清两种量彼此间的关系，常采用画线段图的方法来表示两种量间的这种关系，以便于找到解题的途径。

3、除了列式计算外，也可用列方程的方法解决和倍问题。

4、差倍问题是大数、小数、倍数以及大小数之差四者之间发生的问题，所有的问题都离不开三个基本公式：两数差÷（倍数-1）=小数（一倍数）；
小数×倍数=大数（几倍数）；
小数+两数差=大数（几倍数）。

5、为了更好的弄清楚题意，通常采用画线段图的方法。

6、除了列式计算外，必要时也可用列方程的方法解决差倍问题。

1、两个自然数的和是286，其中一个数的末位数是0，如果把这个零去掉，所得的数与另一个数相同，那么原来两位数的积是（6760 ）。

2、两个数的和是194.5，较大数除以较小数商是4，余数是12，这两个数分别是（158 ）和（36.5 ）。

3、一个数的小数点向右移动一位，则新数比原数大56.34，则原数是（ 6.26 ）。

4、甲对乙说：“你给我l30元，我的钱将比你多1倍．”乙回答：“你只要给我20元，我的钱就比你多2倍．”甲原来有（110 ）元，乙原来有（250 ）元。

5、校园里有桃树和杏树共112棵，其中杏树105棵，杏树的棵数是桃树的几倍？
105÷（112－105）=15
答：杏树的棵数是桃树的15倍。

6、图书馆有文艺书和故事书共960本，其中文艺书的本数是故事书的3倍，买来故事书多少本？
故事书：960÷（3+1）=240（本）
7、两根电线的长相差30米，长的那根的长是短的那根的长的4倍。

这两根电线各长多少米？
短：30÷（4－1）=10（米）
长：10×4=40（米）
8、甲、乙二工程队，甲队有56人，乙队有34人。

两队调走同样多人后，甲队人数是乙队人数的2倍。

问：调动后两队各有多少人？
都调走：（34×2－56）÷（2－1）=12（人）
调动后甲队：56－12=44（人）
调动后乙队：34－12=22（人）
（第1天）
1、小明和小强共有画片200张，小明的张数比小强的张数的2倍还多20张，则小强有（60 ）张画片。

2、有两层书架，共有书173本，从第一层拿走38本书后，第二层的书是第一层的2倍还多6本，则第二层有（92 ）本书。

3、甲乙两数之差是79.2，甲数的小数点向左移动一位后，正好和乙数相等，甲数是（88 ）。

4、小阳期中考试时语文和数学的平均分数是96分，数学比语文多8分．语文是（92 ）分，数学是（100 ）分。

5、李大伯家的猪场里有母猪和小猪共84头，其中小猪的头数是母猪的3倍．母猪和小猪各有多少头？
母猪：84÷（3+1）=21（头）
小猪：21×3=63（头）
6、小云比小雨少20本书，后来小云丢了5本书，小雨新买了11本书，这时小雨的书比小云的书多2倍。

问：原来两人各有多少本书？
后来小云：（20+5+11）÷2=18（本）
原来小云：18+5=23（本）
原来小雨：23+20=43（本）
（第2天）
1、三块布共长220米，第二块布长是第一块的3倍，第三块布长是第二块的2倍，第一块布长（22 ）米。

2、今年哥俩的岁数加起来是55岁，曾经有一年，哥哥的岁数与今年弟弟的岁数相同，那时哥哥的岁数恰好是弟弟的2倍，哥哥今年（33 ）岁。

3、一个人用140元买了一件外衣、一顶帽子和一双鞋，外衣比帽子贵90元，外衣和帽子共比鞋贵120元，一双鞋（10 ）元。

4、今天食堂买回四种菜，包菜和花菜共53千克，花菜和白菜共40千克，白菜和菠菜共28千克，包菜和菠菜共（41 ）千克，四种菜共（81 ）千克。

5、果园里有桃树和梨树共340棵，梨树的棵数比桃树的3倍还多20棵，果园里有桃树、梨树各多少棵？
桃树：（340－20）÷（3+1）=80（棵）
梨树：80×3+20=260（棵）
6、李师傅生产的零件个数是徒弟的6倍，如果两个人各再生产20个，那么李师傅生产零件的个数是徒弟的4倍，两人原来各生产零件多少个？
徒弟原来：（20×4－20）÷（6－4）=30（个）
师傅原来：30×6=180（个）。