数理统计典型例题分析

典型例题分析
例1．分别从方差为20和35的正态总抽取容量为8和10的两个样本，求第一个样本方差是第二个样本方差两倍的概率的范围。

解 以21
S 和22
S 分别表示两个（修正）样本方差。

由22
22
12σσy x S S F =知统计量
22
2
1222175.13520S S S S F ==
服从F 分布，自由度为（7，9）。

1） 事件{}2
2
212S S =的概率 {}{}05.32035235
20222221222122
2
1
===⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⨯==⎭⎬⎫⎩⎨⎧===F P S S P S S P S S P
因为F 是连续型随机变量，而任何连续型随机变量取任一给定值的概率都等于0。

2） 现在我们求事件{}二样本方差两倍第一样本方差不小于第=A 的概率：
{}
{}5.322
221≥=≥=F P S S P p 。

由附表可见，自由度9,721==f f 的F 分布水平α上侧分位数),(21f f F α有如下数值：
)9,7(20.45.329.3)9,7(025.005.0F F =<<=。

由此可见，事件A 的概率p 介于0.025与0.05之间；05.0025.0<<p 。

例2．设n X X X ，，
， 21是取自正态总体),(2σμN 的一个样本，2s 为样本方差，求满足不等式
95.05.122≥⎭⎬⎫
⎩⎨⎧≤σS P 的最小n 值。

解 由随机变量2χ分布知，随机变量σ/12S n ）（-服从2χ分布，自由度
1-=n v ，于是，有
{}{}95.0)1(5.1)1(5.1)1(2,05.0222
2=≤≥-≤=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-≤-=v v v P n P n S n P χχχσ 其中2v χ表示自由度1-=n v 的2χ分布随机变量，2
,05.0v χ是自由度为1-=n v 的水
平05.0=α的2χ分布上侧分位数（见附表）。

我们欲求满足
2,05.015.1v n χ≥-）（
的最小1+=v n 值，由附表可见
2
26,05.0885.3839)127(5.1χ=>=-， 22505.0652.375.401265.1，）（χ=<=-。

于是，所求27=n 。

例3．假设随机变量X 在区间[]1,+θθ上有均匀分布，其中θ未知：
)(1n X X ，， 是来自X 的简单随机样本，X 是样本的均值，{}
n X X X ,,min 1)1( =是最小观察值。

证明
21ˆ1-=X θ 和 11ˆ12+-=n X ）
（θ 都是θ的无偏估计量。

解 由X 在[]1,+θθ上均匀分布，知2/)12(+==θEX EX i 。

1） 由
θθθθ=-+=-+=-=∑∑==2
121212221211ˆ111n i n i i n EX n E ， 可见1ˆθ是θ的无偏估计量。

2） 为证明2ˆθ是θ的无偏估计。

我们先求统计量)1(X 的概率分布。

{}⎪⎩
⎪
⎨⎧>+≤≤-<=≤=。

若，；若；若）（111,,0θθθθθx x x x X P x F
其密度为
⎩
⎨⎧+≤≤=。

其他，
若,01,1)(θθx x f
由于n X X ，，
1独立且与X 同分布，知)1(X 的分布函数为 {}{}{}x X x X P x X P x X P x F n >>-=>-=≤=,,111)1()1(1 ）
（）（ {}{}x X P x X P n >>-= 11 []n
x F )(11--=；
[])1()1()()(1)()(1
1
)1()1(+≤≤-+=-='=--θθθx x n x f x F n x F x f n n
于是，有
⎰
⎰
+-+-+==1
11)1()1()1()(θθ
θθ
θdx x x n dx x xf EX n
⎰
⎰
+-+-+++-+-+=111
)1)(1()1()1(θθ
θθ
θθθθdx x n x d x n n n
θθ++=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+++-=11111n n n n 。

θθ=+-=1
1
ˆ)
1(2n EX E ， 从而2ˆθ是θ的无偏估计。

在证2ˆθ的无偏估计时，先求估计量分布再求其数学期望。

此外，下面将看到，1ˆθ是矩估计量，)1(X 是最大似然估计量。

3） 有效性的验证，即验证两个无偏估计量哪一个更有效（方差较小），只需 计算它们的方差并加以比较，验证估计量的最小方差超出了本课程的要求。

读者只需了解一些常用的最小方差估计量。

例如，对于正态分布总体),(2σμN ，样本
均值X 和修正样本方差2S 相应为μ和2σ的最小方差无偏估计量；事件频率n p
ˆ
是它的概率p 的最小方差无偏估计量。

如果要求有效率，则用公式
)ˆ()(0θ
θD D 计算，其中()2
),(ln 1
)()ˆ(⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∂∂=≥θθθθx f nE D D ——称为罗.克拉美不等式。

例4．设总X 服从正态分布），（2
0σμN ，其中方差20σ为已知常数；关于未
知数学期望μ有两个二者必居其一的假设： 1100μμμμ==：，：H H ，
其中0μ和1μ都有已知常数，并且10μμ<。

根据来自总体X 的简单随机样本
n X X X ，，， 21，确定假设0H 的α水平否定域（即拒绝域），并计算第二类错误
概率。

解 取统计量 n
X U 0
σμ-=
做检验的统计量。

在假设00μμ=：H 成立的条件下，），（10~N U 。

由于
{}{}{}{}ααααα=≤=-≤=≥=≥-122u U p u U P u U P u U P 。

所以以下四种都是假设0H 的水平α的否定域： {}{}αα221u U V u U V ≥=≥=；； {}{}αα-≤=-≤=1423u U V u U V ；， 其中αu 是标准正态分布α水平双侧分位数（见附表）。

在假设11:μμ=H 成立的条件下，统计量)1,(~∆N U ，其中
001/)(σμμ-=∆n 。

因此，以)4,3,2,1(=i V i 为假设否定域的检验的第二类错误概率为：
{}{}⎰∆--
=
===i
V x i i dx e V P H V P 2
)(112
21
π
μμβ。

特别（设)(x Φ是标准正态分布函数）
1)()(21
21
2
2
)(12
2
-∆-Φ+∆+Φ==
=⎰⎰∆
-∆
---∆--
ααμπ
π
βαμα
α
u du e dx e
u u u u u x ；
)(21
22
)(222
∆-Φ==⎰∞
-∆--
αα
πβu dx e
u x ； )(21
22
)(322
∆+Φ==
⎰∞
+-∆--
αα
π
βu dx e
u x ；
)()(221
21112
)(2
)(412
12
∆-Φ-∆+Φ-=+
=
--∞
+∆--∞
-∆--
⎰⎰--ααμπ
π
βα
α
u dx e
dx e
u x u x 。

为了便于比较，设91101.0010=====n ；，，，σμμα，则
13.0,28.1,65.1,39.02.01.0====∆u u u 。

查附表并经计算，容易得到
9988.09999.00427.00855.04321====ββββ，，，。

计算结果表明，尽管四个检验的一类错误的概率都等于1.0=α，但它们的第二类错误的概率却不相同。

以2V 为否定域的检验的第二类错误的概率最小，为我们所选用。

例5．对二项分布),(p n B 作统计假设 3.0:,6.0:10==p H p H 。

假设0H 的否定域取为
{}{}21c c V n n ≥≤=μμ ，
其中n μ表示n 次试验中成功的次数。

对（1）;3,9,1,1021====n c c n μ （2）6,17,7,2021====n c c n μ，求显著性水平α和第二类错误的概率β。

解 （1）显著性水平α是第一类错误的概率，于是 {}{}6.00=∈=∈=p V P H V P n μμα
0479.04.06.04
.06.010
9
10101
1010
≈+=∑∑=-=-i i i i
i i
i
i C C 。

{}{}111H V P H V P n n ∈-=∈=μμβ {}3.01=∈-=p V P n μ 8506.07.03.07
.03.0110
910101
01010
≈--=∑∑=-=-i i i i
i i
i
i
C C 。

（2）
{}{}6.00=∈=∈=p V P H V P n n μμα 0370.04.06.04
.06.020
17207
02020
≈+=∑∑==-i i i i
i i
i
i
C C 。

{}{}3.011=∈-=∈=p V P H V P n n μμβ 2277.07.03.07
.03.0120
1720207
02010
≈--=∑∑=-=-i i i i
i i
i
i
C C 。

例6．谋装置的平均工作温度据制造厂家称不高于190℃。

今从一个由16台装置构成的随机样本册的工作温度的平均值和标准差分别为195℃和8℃。

根据这些数据能否说明平均工作温度比制造厂所说的要高？设05.0=α，并假定工作温度服从正态分布。

解 设工作温度为X ，根据题设),(~2σμN X 。

考虑假设 190,190:10>≤H H μ 由于总体方差2σ未知，故用t 检验。

这里,151,16=-==n v n 对给定的05.0=α，查表得75.15.1,1.0,20==t t v 。

于是由表情形知假设0H 的否定域为
{}75.1≥=t V 。

由条件和0H 知8,195,1900===S X μ，因此
5.216
/8190195=-=
t 。

由于75.15.2>=t ，所以否定域假设0H ，说明平均工作温度比制造厂说的要高。

例7 某电话交换台在一小时（60分钟）内每分钟接到电话用户的呼唤次数
有如下纪录：
问统计资料是否可以说明，每分钟电话呼唤次数服从泊松分布？（）
05.0=α 解 设X 表示每分钟电话呼唤次数，需要检验的假设 X H ：0服从泊松分布。

泊松分布中未知参数λ的最大似然估计为
∑===6
2601ˆk k kv λ。

我们用
)6,,1,0(!
2ˆ ==-k e k p
k k k
估计概率{})6,,1,0( ===k k X P p k ；用)4,3,2,1,0(ˆ==k p
n E k k 估计{}k X =的期望频数。

为避免期望频数太小，将呼唤次数为5和6的情况，合并为5≥X 的情况，为第6组：其实际频数为2+1=3，期望频数为 16.3)(655=+=p p n E 。

计算结果列入下表：
所以统计量
1762.0)(5
02
2
=-=∑=k k
k k E E v χ。

统计量2χ的自由度16-
-=m v ，其中1=m 是用到参数估计值的个数，故4=v 。

对于， 05.0=α，查表得488.92
4,05.0=χ；假设0H 的否定域为
{}488.92≥=χV 。

由于2χ=0.1762<9.488,所以不否定假设0H ，即可以认为电话呼唤次数服从泊松分布。

例8 对200个电池左寿命试验，得如下统计分布：
试求所得统计分布与指数分布的拟合优度。

解 设X 表示电池的寿命，需要检验假设X H :0服从指数分布。

指数分布中未知参数λ需要用其最大似然估计X /1=λ来估计。

在这里
5)15.2725.2245.17155.12455.71335.2(200
1
=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
X 。

所以5/1ˆ=λ。

在5/1:0服从指数分布，参数为“X H ”
成立前提下，观察值落入各组的概率
{})6,,2,1(5
1ˆ5
5
5
111 =-==≤=-
-----⎰i e
e
dx e u X u P p
i i i
i u u u u x
i i i 。

计算结果列入下表：
所以统计量
∑=-=6279.1)(2
2
i
i i E E v χ。

统计量2χ的自由度4116=--=v ，查表得24,94.0χ=1.064，195.22
4,7.0=χ。

由于
1.064<1.6297<
2.195,的可得统计分布与指数分布的拟合优度不小于0.70。

例9设随机变量X 和Y 相互独立，),(~),,(~2
2
2211σμσμN Y N X 。

1621,,,X X X
是X 的一个样本，1021,,,Y Y Y 是Y 的一个样本，测得数据
∑∑∑∑========10
1
2101
161
216
1
72,18,563,84i i i i i i i i
y y x x
（1）分别求21,μμ的矩估计量；（2）分别求2
221σσ，的极大似然估计值； （3）在显著水平05.0=α下检验假设 22210σσ≤：H ，2
2211σσ>：H 。

解 （1）用样本一阶原点矩估计总体一阶矩，即得1μ和2μ的矩估计值：
8.1101ˆ,25.5161ˆ10
1
21611=====∑∑==i i i i y x x μμ。

（2）正态总体),(~2σμN X 的参数2σ的极大似然估计量为
∑=-==n i i X X n 1
22
)(1ˆσ。

因此2
221σσ和的极大似然估计值为
625.716161)(161ˆ1611222
21
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-==∑∑==i n i i i x x x x σ
96.316101)(101ˆ1011222
22
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-==∑∑==i n i i i y y y y σ
（3）是21,μμ未知，双总体方差的假设检验。

待检假设2
2210σσ≤：H ；
2
2211σσ>：H ，是在05.0=α下的单侧检验。

因为4.4)(91,31.8)(1511
21221221
=-==-=∑∑==n i n i i y y S x x S 。

所以F 同机量得
值
847.14.415
.822
21===S S F
查F 分布表，得01.391505
.0=），（F .经比较知，01.3)9,15(847.105.0=<=F F ，故接 受0H ，认为2
221σσ不比大。

例10 有三台机器，生产同一种规格的铝合金薄板，测量三台机器所生产的 薄板厚度（单位：厘米），得结果如表所示。

机器1 机器2 机器3 0.236 0.257 0.258 0.238 0.253 0.264 0.248 0.255 0.259 0.245 0.254 0.267 0.243
0.261
0.262
试考察机器对薄板厚度有无显著的影响）
（05.0=α。

解 检验假设3210μμμ==：H 。

i μ是各台机器生产的薄板总体的均值。

经计算15,5,3321=====n n n n s ，
8102.4,8.3,963912.03
1
2315
1
2
===∑∑∑=⋅==j j j i ij
T T x。

3
001245.015
12
3
15
1
2
=-
=∑∑==T x S j i ij T ， 3
001053.015
151312
2 =-=∑=⋅j j A T T S , 000192.0=-=E T E S S S .
列出方差分析表如下
因为92.3293.821205
.0=<=比），（F F ，故拒绝0H ，认为各台机器生产的薄板厚度有显著差异。

在进行方差分析时，还常要对未知参数进行估计。

下面写出常用的几个估计：
①s
n S E
-=2ˆσ
是的无偏估计。

②j j x x ⋅==μμ
ˆ,ˆ分别是j μμ,的无偏估计。

③x x j j -=⋅σ
ˆ是j δ的无偏估计，且∑=0j j n δ。

④两总体),.(2σμj N 与),(2σμK N 的均差值k j μμ-的置信度为α-1的置信区间为
))11()((k j E k j n n S s n t x x +--⋅⋅α 。

例11 求上例中未知参数j j δμσ，，2的点估计及均值差的置信度为0.95的 置信区间。

解 000016.03
15000192
.0ˆ2=-=-=s n S E σ
， 262.0ˆˆ256.0ˆ240.0ˆ332211======⋅⋅⋅x x x μμμ
，，， 011.0ˆ253.0ˆ1
-=-===⋅x x x δμ，， 又由1788.2315025
.0=-）（t ， 36
10256.15
2
10
1611--⨯=⨯⨯=+k j E n n S （， 知0055.01112025.0=+k j E n n S t （）（，故323121μμμμμμ---及，的置信度为0.95的置信区间分别为
（0.242-0.256 0.0055）=（-0.0195，-0.0085）， （0.242-0.262 0.0055）=（-0.0255，-0.0145）， （0.256-0.262 0.0055）=（-0.0115，-0.0005）。

例12 某工厂在生产一种产品时使用了三种不同的催化剂和四种不同的原 料，每种搭配都做一种试验，测的产品成品的压强（单位：兆帕）数据如下表：
试在05.0=α下检验不同催化剂和原料对压强有无显著影响。

解 设i α为因素A 在水平i A 的效应，j β为因素B 在水平j β的效应。

待检验 假设
032101===ααα：H ，
0432102====χβββ：H 。

因为43==s r ，，所以
67.984364
31159402
=⨯⨯-
=）（T S ， 17.2543643163466412
=⨯⨯-⨯=）（A S ，
34.693644
3147732312
=⨯⨯-⨯=）（B S ，
16.4=--=B A T E S S S S 。

列出方差分析表如下
因为35.3376.4)6,3(16.18145.62(05.005.0=<==<=比比，），
F F F F ，所以拒绝01H 和02H ，认为催化剂和原料的影响都是显著的。

例13 设关于某设备的使用年限x 和支出的维修费用（单位：千元）y 如下 所示：
求（1）关于x 的回归方程，2σ的无偏估计；
（2）检验回归是否显著，并求7=x 时，维修费用y 的0.95预测区间。

解 （1）左散点图（略），数据分布呈直线趋势。

列计算表：
并计算下列数据：
，
）（1020519012
112=⨯-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=∑∑==n i i n
i i
xx x n x l 3
.12252051
3.1121111=⨯⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑∑===n i i n i i n
i i i xy y x n y x l 78.15255178.14012
2
11
2=⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑==）（n i i n
i i yy
y n y l ，
解得 23.110
3.12ˆ===xx xy l l b
， 08.0423.15ˆ1ˆ1
=⨯-=-=∑=x b y n a
n
i i 。

所以，线性回归方程为
x y
23.108.0ˆ+=。

2σ的无偏估计为
8837.0)3.11223.178.140(3
1)ˆ(21ˆ2=⨯-=--=xy
yy l b l n σ。

（2）将70=x 代入回归方程得69.8ˆ0=y。

因为35.2)3(,5025.0==t n ，所以0y 的置信度为0.95的置信区间为
))(11ˆ)2(ˆ2020xx l x x n n t y
-++-±σα（ )893.11,487.5()45.194.035.269.8(=⨯⨯±=。

计算t 统计量
187.13908837
.023
.1ˆˆ===xx l b t σ。

因为187.131824.3)3(025.0=<=t t ，故知回归效果是显著的。

例14（单因素方差分析）下表给出了小白鼠在接种三种不同菌型伤寒杆菌后的存活天数，问
三种菌型的平均存活天数有无显著差异？ 表4-3
6
Ⅲ型（3A ） 7 11 6 6 7 9 5 10 6
67
计算：222.6,444.7,22.7,4321====X X X X
()()8889.66)168(27
1
44894225129691271)(9111224
53351517667
,65,3622
12
322211212
3219
12
3219
1
=-++=⎪
⎭⎫ ⎝⎛-++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==++=++=====⇒=∑∑∑∑∑=====r i i r i i r
i i
i
A j ij i j ij i S S S S S n n S Q SS SS SS x SS S S S x S
()6667.1788889.667778.1117778
.1112222.111253351517693
1
2
3
1=+=+==-++=-=∑∑==A E T i i i i E Q Q Q S SS Q 列成表格 如下，其中，27,3==n r 方差来源 平方和
自由度 均方 F 值 因素 8889.66=A Q
2 33.4445 7.1809 误差 7778.111=E Q
24 4.6574 总和
6667.178=T Q
26
657
.424
7778.1114445.332
8889
.6612
2==-===-=
r n Q S r Q S E E A A
1809.76574
.44445.33220===E A S S F ，查表 ()40.324,205.0=F
对给定的显著水平05.0=α，查表,40.3)24,2(05.0=F 因
40.3)24,2(1809.705.0=>=F F ，故拒绝0H ，即认为这三种不同菌型的伤寒杆菌
的平均存活天数有显著差异。

例15.（正交试验）为了制造轴承，寻求新钢种最佳等温淬火工艺。

考察试验指标是径向抗压负荷与硬度，对试验指标有影响的主要因素：加热温度（单位：
C 0
）
，等温温度 （单位：C 0），淬火返修次数（单位：次），将因素列如下表。

因为是3元素3水平，选择正交表)3(49L 合适。

制定试验方案表
确定试验方案 在上表中，每一个横行就代表了一个试验条件，共有9个试验条件。

等1号试验条件是：加热温度是900C 0（1A ），等温温度是250C 0（)1B ，返修次数是2次（3C ），记作为 311C B A ，类似地第2号试验条件是 ,112C B A ，第9号试验条件是333C B A 。

试验方案的实施 按正交表中的试验条件严格操作。

将各次的试验结果记录
下并列如下表中。

其中 jk T ——第j 列因素水平)3,2,1(=k k ，3
jk jk T T =——第j 列因素水平k 的
3次试验指标的平均
例 ,6.194.87.55.5)(11=++=负荷T 对因素B ，有硬度25.573/)325.57(23=⨯=T 。

2.633
1==∑=k jk j
T S （负荷）——各因素的3个水平的负荷之和 15.5831)(3
1==∑=k jk j T S 硬度——各元素的3个水平平均硬度。

)(负荷j R ={}{}3
13
1min max ≤≤≤≤-k jk jk k T T
j R （硬度）={}{}jk k jk k T T 3
13
1min max ≤≤≤≤-
正交试验结果的分析
1. 直接看：（1）比较9次试验的负荷：抗压负荷最高的试验条件是232C B A ， 即第8号试验，其次是131C B A （第7号试验），123C B A （第6号试验），112C B A （第2号试验）。

（2）再比较9次试验的硬度是：硬度的高低主要取决于等温温度，加热温度和返修次数对硬度无明显影响。

综合考虑，等2号试验的条件较好。

2. 计算分析；（1）负荷
因素A 平均负荷是C T 01288067.7→= 因素B 平均负荷是27.823=T 因素C 平均负荷是87.731=T
由此分析出132C B A 是最好的试验条件。

但这个条件在表中没有出现。

类似 （1）硬度——C AB 1
根据每个因素对试验指标的影响不同，区分出主次。

由上表可见 主——————— 次
负荷⎩⎨
⎧C
C A
C B 008800270次水平
因素
硬度⎩⎨⎧各水平
各水平水平因素
250C
C
A B
用极差大小来区分主次：若某因素的极差越大，则该因素对指标的影响就越 大。

结果可以看出是因素B 。

综合平衡考虑：硬度不能低于)(58HRC 。

在这一条件下高负荷的好水平组合为122C B A 。

试验结果的分析分别在正交 表中进行。

3. 方差分析
这是3元素3水平的无重复试验设计问题。

其效应模型为
是相互独立
各约束条件ijk ijk k k j j i i
ijk
k j i ijk N Y εσεγβα
εγβαμ),,0(~0,0,023
1
31
3
1
--===++++=∑∑∑===
设921,,,Y Y Y 表示从第1号试验到第9号试验的试验指标。

具体效应模型表示如下
9
33398232871317612365322542214321332112213111εγβαμεγβαμεγβαμεγβαμεγβαμεγβαμεγβαμεγβαμεγβαμ++++=++++=++++=++++=++++=++++=++++=++++=++++=Y Y Y Y Y Y Y Y Y 检验假设 0
:0:0
:321033210232101=========γγγβββαααH H H
总离差平方()∑∑===-=4
1
9
1
2
j j i i t SS Y Y SS
其中j SS ——第j 列的离差平方和，由于正交表具有均衡分散性和综合可比性的
特点，所以2
91312
9
1)(913133∑∑∑===-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-=i i i jr r jr
j Y T Y T SS ()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++⎪⎭⎫
⎝
⎛-++=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑∑===29
19632918
522917412
132
122
1119139139133]
333[3i i i i i i Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y E Y T
Y T Y T E SS E =()22
322
2123σααα+++ 同理 ()()2232221223σβββ+++=SS E
()()22
322
21323σγγγ+++=SS E ()242σ=SS E
记 A SS SS =1——为因素A 的平方和
B SS SS =2——为因素B 的平方和
C SS SS =3——为因素C 的平方和。

4SS ——1C SS
则
χ
σχσ~),
13(~2221
C C
SS SS -)13(~),
13(~),
19(~22
22
22
---χσχσχσB
A
t
SS SS SS
)13(~22-χσC SS ，)13(~221-χσC SS
当01H 为真时，检验统计量)2,2(~2
/2
/1F SS SS F C A A =分布；
当02H 为真时，检验统计量)2,2(~2
/2
/1F SS SS F C B B =
分布；
当03H 为真时，检验统计量)2,2(~2
/2
/1F SS SS F C C C =
分布。

若给定显著系性水平α，拒绝域()2,2αF F ≥， 当拒绝01H ，则认为因素A 对试验指标有显著影响； 当拒绝02H ，则认为因素B 对试验指标有显著影响； 当拒绝03H ，则认为因素C 对试验指标有显著影响；
利用正交表进行方差分析时，要确定自由度可以用如下方法。

t SS n f =-=1）总试验组数（总；
正交表每列的自由度
正交表总的自由度1-=该列数字种数列f
即每个因素平方和的自由度1-=该因素水平数因素f 正交表总的自由度=各自由度之和，即∑=列总f f ； 正交表空白列的自由度=误差平方和的自由度。

若无空白列，则将最小的离差平方和作为误差平方和，即 {}j k
j C SS SS ≤≤=1min 1。

将例7的关于抗压负荷的方差列如下表
方差分析表
效应是未知参数，应先求效应估计值，效应估计值大的所对应的水平是好水平。

前面已经分析过因素C A ,对试验指标的影响不显著，可以认为
0,0321321======γγγααα，所以 ()()()()()()3
987232654221
32121333333βμ
βμβμ+=++=+=++=+=++=Y Y Y E T E Y Y Y E T E Y Y Y E T E 由于Y =μ
ˆ 所以 Y T Y T Y T -=-=-=ˆ,3ˆ,3ˆ23
3222211βββ， 比较 321ˆ,ˆ,ˆβββ的大小，只需比较232221,,T T T 的大小，得出80.2423=T 最大，故因素B 的3水平是好水平。

结合直接看和计算分析，确定好的工艺条件为132C B A
例16 设关于某设备的使用年限X 和所支出的维修费用，有如下统计资料：
1） 建立关于),(Y X 的统计数据的散点图，并确定Y 对X 的统计相依关系的
特点；
2） 假设Y 对X 有一元线性回归的统计相依关系，求回归系数b a ,和2σ得无
偏估计；
3） 假设Y 对X 有一元正态线性回归的统计相依关系，试检验回归效果的显 著性；对于7=X ，求维修费用Y 的0.95预测区间。

1） 将点（2，2.2），（3，3.8）,(4，5.5)，（5，6.5）,(6，7.0)标在坐标系 中，得散点图
由散点图可见，所给数据具有模型的特点。

2) 由散点图可见，可以用模型描述维修费用与使用年限的统计相依关
系，为估计b a , 和2σ，首先作如下计算：
x
Y
2x
xY Y ˆ 2)ˆ(Y Y
- )ˆ(Y Y
- 2 2.2 4 4.4 2.54
6.0516 0.1156 3 3.8 9 11.4 3.77 1.5129 0.0009 4 5.5 16 22.0 5 0 0.2500 5 6.5 25 32.5 6.23 1.5129 0.2700 6 7 36 42.0
7.46 6.0516
0.2116
20 25
90
112.3
15.1290 0.8481
将结果代入，得a 和b 得无偏估计。

23.14
5905
453.112ˆ2
2
2
=⨯-⨯⨯⨯=
--=∑∑x
n x Y
x n xY b
；
08.0423.15ˆˆ=⨯-=-=x b Y a。

2σ的无偏估计为
212
25317.02827.02
58481.0)ˆ(21==-=--=∑=n j j
j e
Y Y n s ， 其中)5,4,3,2,1(23.108.0ˆˆˆ=+=+=j x x b a Y j
j j 。

3）为检验回归效果，计算统计量F 。

5161.532827
.01290
.153/===
e R Q Q F 。

查表，得13.10)3,1()2,1(05.0==-F n F α。

由于 )3,1(13.105161.5305.0F F =>=， 可见回归效果显著。

于是，可以利用回归防城建立使用年限为7=X ，应支付维修费用的预测区
间：69.87ˆˆˆ7
=⨯+=b a Y ，则 2
2
3
,05.0)(11)(x
e nS x x n t S x -++=δ， 其中4(18.35317.02827.053,05.0=====x t S n e 附表）；；，，
245
901)(1212212
2=-=
-=-=∑∑==n j j n j j x
x x n x x n S 。

将相应数据代入上式，得
2)5(1253.0-+=x x ）（δ，
12.2)57(1253.0)7(2=-+=δ 。

于是，使7年应支付费用的0.95预测区间为
），（））（），（（12.269.812.269.87ˆ7ˆ7
7+-=+-δδY Y ），（81.1076.5=。

例17 假设X 是一个普通变量，Y 是一个随机变量，且与X 有形如一元线 性回归的统计相依关系。

在X =0.25，0.37，…，0.95，1.00的条件下，独立地分别对Y 进行观察，得如下数据：
1） 求Y 对X 的经验回归方程； 2） 求DY =2σ的无偏估计；
3） 假设观测误差)17,,2,1( =j e j 服从正态分布),0(2σN ，（1）检验回归效 果是否显著；（2）求观测值Y 的0.95的预测区间；（3）问欲以不小于0.95的概率，把Y 值控制在区间（1.08，1.67），应把X 的值控制在何范围内？
解 由回归系数的估计，得22
20.0,58.1,70.0===X
s Y x ；回归系数a 和b 得罪小二乘估计07.2ˆ,03.3ˆ-==b a。

1） 经验回归方程为
X Y
07.203.3ˆ-=。

2）2σ无偏估计是按均方残差计算的，见下表：
于是，2σ的无偏估计值
217
1
22
04.0)07.203.3(2171=+--=∑=j j j E
x Y S 。

3）由条件知，所给数据符合模型。

由上面计算结果，可见
97.258.117ˆ)58.1ˆ(ˆ17
1
2217
1
217
1
2=⨯-=-=-=∑∑∑===j j
j j j j R Y Y Y Y Q ）（。

（1） 检验回归效果，由统计量公式，则
25.186204.097.2)2/(2
2===-=
e R e R S Q n Q Q F 。

由附表知，86.8)15,1(01.0<F 。

可见
01.086.825.1862F F >>=，
说明回归效果非常显著。

（2） 预测区间。

这里，
13.2,2.0,04.0,7.0,05.0,1715,05.022
22======t S S x n x e α。

将上列数据代入，得
22
)7.0(72.0103.04.017)7.0(171104.013.2-+⨯=⨯-++⨯⨯=x x x ）（δ。

于是，对于任意结合给定e bx a Y x ++=,的0.95预测区间为
))(07.203.3,)(07.203.3(x x x x δδ+---。

（3）为使Y 值以不小于0.95的概率处在区间（1.08，1.67）内，应将x 控制在区间),(21x x 之内，其中1x 和2x 相应为下列二个方程得解： 2)7.0(72.003.107.203.307.1-+--=x x , 2)7.0(72.003.107.203.307.1-++-=x x .
由第一个方程，得51.01≈x ，由第二个方程，得03.12≈x 。

于是，欲将Y 的值以不小于0.95的概率控制在区间（1.06，1.68）之内，应将x 控制在区间（0.51，1.03）之内。