浙江省杭州市四校2023-2024学年高二上学期10月联考数学试题含解析

2023学年第一学期高二年级10月四校联考
数学学科试题卷（答案在最后）
考生须知：
1.本卷满分150分，考试时间120分钟；
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号（填涂）；
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1.直线10y +-=的斜率与y 轴上的截距分别为（）
A.
B. C.
1- D.1
-【答案】B 【解析】
【分析】根据直线方程求出斜率及截距即可.
10y +-=的斜率为令0x =，则1y =，
10y +-=在y 轴上的截距为1.故选：B .
2.如果一个复数的实部与虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数()2i i z a =-为“等部复数”，则实数a 的值为（）
A.1-
B.1
C.2
D.2
-【答案】C 【解析】
【分析】根据复数乘法及新定义即可得参数值.【详解】由题设2i z a =+为“等部复数”，即2a =.故选：C
3.平面α，β互相平行的一个充分条件是（）
A.α，β都垂直于同一平面
B.某一直线与α，β所成角相等
C.α，β都平行于同一直线
D.α，β都垂直于同一直线
【答案】D 【解析】
【分析】根据面面平行的判定定理及线面垂直的性质逐一分析判断即可.
【详解】对于A ，若α，β都垂直于同一平面，则平面α，β相交或平行，故A 错误；对于B ，若某一直线与α，β所成角相等，则平面α，β相交或平行，故B 错误；对于C ，若α，β都平行于同一直线，则则平面α，β相交或平行，故C 错误；对于D ，α，β都垂直于同一直线，则平面α，β互相平行，故D 正确.故选：D .
4.已知直三棱柱111ABC A B C -，90BAC ∠=︒，11
2
AB AC AA ==，那么异面直线1B C 与1A B 所成角的余弦值为（）
A.
10
B.
12
C.
5
D.
10
【答案】A 【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，由空间向量求解．【详解】如图所示建立空间直角坐标系，设1AB =，则11(0,0,2),(1,0,0),(0,1,0),(1,0,2)A B C B ，
1(1,0,2)A B =- ，1(1,1,2)B C =--
，
异面直线1B C 与1A B
所成角的余弦值为1111||30
10||||A B B C A B B C ⋅=⋅ ，
故选：A
5.设非零向量a 和b
的夹角为θ，定义运算：sin a b a b θ⨯= .已知()1,1a = ，()1,2b =- ，则a b ⨯=
（）
A.2
B.
7
C.3
D.
10
【答案】C 【解析】
【分析】先根据()1,1a = ，()1,2b =- 求得2a = 5b = ，10cos ,10a b =
，
进而可得0s 310,1in a b =
，进而由sin a b a b θ⨯= 可得.
【详解】由()1,1a =
，()1,2b =- 得：
22112a =+= ，()22
125b =-+ ，()11121a b =⨯-+⋅⨯= ，
故0co 1s 0,125a b a b a b
⋅===⨯⋅
，因[],0,π∈ a b ，故22
10310,1,11010sin cos a b a b ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭
由题意310sin 25310
a b a b θ⨯===
，
故选：C
6.点(),P x y 在圆221x y +=上运动，则434x y -+的取值范围（）
A.
[]
0,1 B.
[]0,9 C.[]
1,8 D.[]
1,9【答案】B 【解析】
【分析】根据直线与圆的位置关系以及圆心到直线的距离，计算可求得所求的范围.【详解】令434x y z -+=，则0z ≥，可得该直线方程为：
1:l 4340x y z -+-=或2:l 4340x y z -+--=，
设(0,0)到直线1l 和2l 的距离为1d 和2d ，得
141z d -=
≤或241z d --=
≤，解得19z -≤≤或91z -≤≤，又因为0z ≥，
所以，[]0,9z ∈.
故选B
7.在ABC 中，()1,0A -，()0,1B ，点C 在直线y x =上运动，则ABC 内切圆的半径的最大值是（）
A.3-
B.
2
6
C.
1 D.12
-
【答案】D 【解析】
【分析】易得直线AB 与直线y x =平行，设ABC 内切圆的半径为r ，利用等面积法可得
2ABC
S r AB AC BC
=
++ ，则要使ABC 内切圆的半径最大，只要AC BC +最小即可，求出点B 关于直线
y x =对称的点即可得解.
【详解】直线AB 的方程为
111
x y
+=-，即1y x =+，则直线AB 与直线y x =平行，
所以点C 到直线AB 的距离等于直线AB 到直线y x =的距离，
即点C 到直线AB 2
=
，
AB ==，
所以
11
222
ABC
S==
△
，
设ABC
内切圆的半径为r，
则()
11
22
ABC
S AB BC AC r
=++=
，
所以
r=，
则要使ABC
内切圆的半径最大，
只要AC BC
+最小即可，
设点B关于直线
y x=对称的点为()
1
,
B a b，
则
11
10
22
b
a
b a
-
⎧
=-
⎪⎪-
⎨
++
⎪=
⎪⎩
，解得
1
a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
，即()
1
1,0
B，
则12
AC BC AB
+≥=，
当且仅当1
,,
A C B共线时，取等号，
所以AC BC
+的最小值为2，
所以
r=
1
2
=-.
故选：
D.
8.在三棱锥A BCD
-
中，AB AD BD
===150
BDC=
∠︒，2
CD=，二面角A BD C
--的大小为
60︒，则该三棱锥外接球半径是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C 【解析】
【分析】根据题意，由三棱锥外接球的定义找到其球心位置，然后代入计算，即可得到结果.
【详解】
因为ABD △为等边三角形，所以ABD △的外心1O 为ABD △的重心，
连接1AO 并延长交BD 于点E ，则E 为BD 中点，记BDC 的外心为2O ，球心为O ，连接21,OO OO ，OE ，2O E ，2O B ，则1OO ⊥平面ABD ，2OO ⊥平面BCD ，球心与截面圆的圆心连线垂直于截面，因为BD ⊂平面ABD ，BD ⊂平面BCD ，所以1OO BD ⊥，2OO BD ⊥，因为12OO OO O ⋂=，12,OO OO ⊂平面12OO O ，所以BD ⊥平面12OO O ，而BD AE ⊥，1,AE OO ⊂平面AEO ，11AE OO O = ，所以BD ⊥平面AEO ，所以平面AEO 与平面12OO O 重合，即12,,,O O E O 四点共面，
所以2O E ⊂平面12OO O ，所以2BD O E ⊥，因为sin 6032
AE AB =⋅︒==，
所以12
3
AO AE =
2=，11O E =，BE =，因为2222cos 124
BC BD CD BD CD BDC =+-⋅⋅∠=+
22282
+⨯⨯
=，所以22sin BC O B BDC ==⋅∠，所以2O B =
25O E ==，
因为二面角A BD C --的平面角为2AEO ∠为60︒，
所以2
2
2
12121221
2cos 125215212
O O O E O E O E O E AEO =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，
即12O O =
1290OO E OO E ∠=∠=︒，所以12,,,O O E O 四点共圆且OE 为直径，
所以212sin OE AEO O O ⋅∠=
，所以
2OE =
=
所以1OO =
==，
所以OA ==
故选：C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知实数a b >，0c >，那么（）
A.22a b >
B.e e a b
> C.ac bc
> D.
c c b a
>【答案】BC 【解析】
【分析】对于A 、D 选项，利用作差法可知当a b >，0c >时，无法判断出大小，可知AD 错误；由指数函数单调性可得e e a b >，即B 正确；由不等式的性质即可得出C 正确.
【详解】对于A 选项，易知()()2
2
a b a b a b -=-+，由a b >可得0a b ->，但a b +的符号不确定，
所以2a 与2b 的大小无法确定，即A 错误；
对于B ，由指数函数e x y =在x ∈R 上单调递增可得，当a b >时，可得e e a b >，所以B 正确；对于C ，由不等式性质可知若a b >，0c >，可得ac bc >，即C 正确；对于D ，
()c a b c c b a ab
--=，易知0a b ->，0c >，但ab 的符号无法确定，所以D 错误；故选：BC
10.已知圆台的上底半径为1，下底半径为3，球O 与圆台的两个底面和侧面都相切，则（）
A.圆台的母线长为4
B.圆台的高为4
C.圆台的表面积为26π
D.球O 的表面积为12π
【答案】ACD
【解析】
【分析】作出圆台的轴截面，设圆台上、下底面圆心分别为12,O O ，半径分别为12,r r ，球O 的半径为R ，连接,,OD OE OA ，利用平面几何知识得到2
123R r r ==，即可根据公式逐项计算求解．【详解】设梯形ABCD 为圆台的轴截面，则内切圆O 为圆台内切球的大圆，如图，
设圆台上、下底面圆心分别为12,O O ，半径分别为12,r r ，
球O 的半径为R ，则12,,O O O 共线，且1212,O O AB O O CD ⊥⊥，连接,,OD OE OA ，则,OD OA 分别平分,DAB ADC ∠∠，且OE AD ⊥故2211,DE DO AE O r A r ====，
2
π2π
,OA DA D O DOA ∠+∠=
∠=，由AOE ODE ，故
AE OE
OE DE
=，即2E O A E DE =⋅，
即2
123R r r ==，解得R =，母线长为124r r +=，故A 正确；
圆台的高为2R =，故B 错误；
圆台的表面积为()2
2
π1π3π13426π⨯+⨯+⨯+⨯=，故C 正确，
球O 的表面积为2
4π12π⨯⨯=，D 正确；
故选：ACD ．
11.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A =“第一枚正面朝上”，事件B =“第二枚正面朝上”，事件
C =“两枚硬币朝上的面相同”，事件
D =“两枚硬币朝上的面不同”，则（
）
A.事件A 和B 互斥
B.事件C 和D 互斥
C.事件A 和B 相互独立
D.事件C 和D 相互独立
【答案】BC 【解析】
【分析】根据相互独立事件和互斥事件的定义逐一判断即可.
【详解】对于A ，事件,A B 可能同时发生，故事件A 和B 不互斥，故A 错误；对于C ，事件A 和B 互不影响，故事件A 和B 相互独立，故C 正确；分别抛掷两枚质地均匀的硬币，
可能出现的情况有（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）四种情况，事件C 包含（正，正），（反，反）2种，事件D 包含（正，反），（反，正）2种，所以事件C 和D 互斥，故B 正确；
()()()()()2121
,,04242
P C P D P CD P C P D =
====≠，所以事件C 和D 不是相互独立事件，故D 错误.故选：BC .
12.过抛物线2144
x y =-上一点P 作圆C ：()2
211x y +-=的两条切线，切点为E ，F ，则（
）
A.使PE PF ⊥的点P 共有2个
B.EF 既有最大值又有最小值
C.使四边形PECF 面积最小的点P 有且只有一个
D.直线EF 过定点【答案】AC 【解析】
【分析】利用轨迹方程、直线与圆的位置关系、二次函数及复合函数最值、反证法分析推理运算即可得解.【详解】解：
对选项A ，如上图，要使PE PF ⊥，又由于,PE PF 为切线，
则CE PE ⊥，CF PF ⊥，1CE CF r ===，
所以四边形PECF 是正方形，且有PC =
所以，对于圆C ，使得切线PE PF ⊥的点P 构成的轨迹是
圆心为点C 、半径为PC =
的圆()2
2
12x y +-=（图中虚线圆）
，该圆与抛物线21
44
x y =-有两个交点()1,0±.
在()1,0-处，圆C 的两条切线圆0y =、=1x -相互垂直；在()1,0处，圆C 的两条切线圆0y =、1x =相互垂直；综上知，使PE PF ⊥的点P 共有2个，故A 正确；
连接PC 、EF ，如上图，由直线与圆的位置关系知，
PC EF ⊥，CF PF ⊥，1CE CF r ===.
设()00,P x y ，则200144
x y =-，即有2
0041x y =+，且014y ≥-，
又因为()0,1C ，所以()2
2
220000014121
PC
x y y y y =+-=++-+()220002211y y y =++=++，
由二次函数知当014y =-
时2
PC 取得最小值，此时对应抛物线顶点10,4⎛⎫- ⎪⎝
⎭，
即，当点P 位于抛物线顶点时2
PC 取得最小值.
对选项B ，因为在直角PFC △中，FQ PC PF CF ⋅=⋅，
所以22
PF EF FQ PC
====，
当2
PC 取得最小值时，EF 取得最小值；
但是随着点P 沿抛物线向上移动，2
PC 可以无限变大，
EF 无限接近于2，但没有最大值，故B 错误；
对选项C ，因为2PECF PCF S S PF CF PF ==⋅== 又知当点P 位于抛物线顶点时2
PC 取得最小值，
所以，使四边形PECF 面积最小的点P 有且只有一个，故C 正确；对选项D ，假设直线EF 过定点，则该定点必为EF 所在任意两条不同直线的交点，
当点P 位于点()1,0-时，EF 所在直线为y x =-；当点P 位于点()1,0时，EF 所在直线为y x =，这两条直线交点为()0,0.但是，当点P 位于点10,4⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
时，EF 所在直线不过点()0,0，这与假设矛盾，故假设不真，即EF 不过定点，故D 错误.故选：AC .
【点睛】1.圆的最值问题有代数法求最值、几何法求最值等方法；2.判断直线与圆的位置关系的方法：
（1）几何法：由圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系来判断；
（2）代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x （或y ）的一元二次方程，根据一元二次方程解的个数（也就是方程组解的个数）来判断.3.弦长的两种求法：
（1）代数法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式0∆>的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长；
（2）几何法：若弦心距为d ，圆的半径为r ，则弦长l =三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.在空间直角坐标系中，若(1,1,a = ，(1,1,)b x =- ，且a b ⊥
，则a b += _____.
【解析】
【分析】根据a b ⊥
列方程得到0x =，然后求模即可.
【详解】因为a b ⊥
，所以110a b ⋅=--= ，解得0x =，所以(2,0,a b += ，
a b +==r r
.
.
14.设0ω>，若函数()()cos f x x ω=在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有且仅有2个零点，则ω的取值范围是______.【答案】[3,5)【解析】
【分析】由题意可得
35222
πππω≤⋅<，解得可得答案.【详解】因为函数()()cos f x x ω=在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有且仅有2个零点，且当0x =时，00ω⋅=，所以
35222
πππω≤⋅<，解得35ω≤<.故答案为：[)3,5.
15.直线l ：y x =与圆C ：()()()22
2120x y r r -+-=>交A ，B 两点，若D 为圆C 上一点，且ABD
△为等边三角形，则r 的值为______.
【答案】【解析】
【分析】由圆的几何性质与点到直线距离公式求解．【详解】由题意得60ADB ∠=︒，则120ACB ∠=︒，
则圆心(1,2)C 到0x y -=
2
r
=
，得r =，
16.若关于x 的方程20ax x b --=；在[1,2]上有实数根，则22a b +的最小值是______.
【答案】417
【解析】
【分析】转化为点(,)a b 到原点的距离平方后由点到直线的距离公式求解．【详解】由题意得存在[1,2]m ∈，使得点(,)a b 在直线20m x y m --=上
故点(,)a b
=
[1,2]m ∈当2m =
时，取最小值
，此时22a b +的最小值为417，
故答案为：
4
17
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.如图，已知PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，2PA AB ==，M ，N 分别为AB ，PC 的中点
.
（1）求证：MN ⊥平面PCD ；
（2）求平面PMC 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）
6
6
【解析】
【分析】（1）根据中位线的性质的四边形AMNE 为平行四边形，得到//MN AE ，然后根据线面垂直的性质和正方形的性质得到PA CD ⊥，CD AD ⊥，即可得到CD ⊥平面PAD ，再利用线面垂直的性质得到
CD AE ⊥，等腰三角形的性质得到AE PD ⊥，即可得到⊥AE 平面PCD ，即MN ⊥平面PCD ；
（2）利用空间向量的方法求二面角即可.【小问1详解】
取PD 的中点E ，连接AE ，NE ，又N 为PC 的中点，M 为AB 的中点，
//EN CD ∴，12EN CD =，又//AM CD ，1
2AM CD =，
//AM EN ∴，AM EN =，
∴四边形AMNE 为平行四边形，∴//MN AE ，
∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，PA CD ∴⊥，又CD AD ⊥，PA AD A ⋂=，,PA AD ⊂平面PAD ，
CD \^平面PAD ，
∵AE ⊂平面PAD ，CD AE ∴⊥，
又PA AD =，E 为PD 的中点，AE PD ∴⊥，∵PD CD E =I ，,PD CD ⊂平面PCD ，
AE ∴⊥平面PCD ，MN ∴⊥平面PCD .
【小问2详解】
以A 为原点，分别以AB ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间坐标系，
则(0,0,2)P ，(2,2,0)C ，(1,0,0)M ，()2,2,2PC =- ，()1,0,2PM =-
，
平面ABCD 的法向量2(0,0,1)n =
，设平面PCM 的法向量1(,,)n x y z =
，
112220
20
n PC x y z n PM x z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩
，令1z =，则2x =，1y =-，所以()12,1,1n =- ，121212
16cos ,661n n n n n n ⋅<>==⨯u r u u r
u r u u r u r u u r ，
∴平面MPC 与平面PAD 所成锐二面角的余弦值为
6
.18.在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2
cos 3
co 2os s 4
c A B A B --=.（1）求角C ；
（2）若2c =，求AB 边上高的最大值.【答案】（1）π
3
C =
（2【解析】
【分析】（1）根据题意，由三角恒等变换化简即可得到结果；（2）根据题意，由余弦定理结合三角形的面积公式即可得到结果.【小问1详解】
因为2
cos 3
co 2os s
4c A B A B --=，则()113cos cos cos 224
A B A B +--=，所以111
cos cos sin sin 224A B A B -+=，即()1cos 2
A B +=-，
故1
cos 2
C =，且()0,πC ∈，则π3C =.
【小问2详解】
由（1）及余弦定理得：2242a b ab ab +=+≥，4ab ∴≤，
1
sin 2
ABC S ab C ∴=
≤△a b =时等号成立，
设AB 边上的高为h ，又1
2
ABC S c h h =⋅= △，h ∴≤.
即AB 边上高的最大值为19.已知奇函数f (x )＝()
1()
m g x g x -+的定义域为R，其中g (x )为指数函数，且过定点(2，9)．
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)若对任意的t ∈[0，5]，不等式f (t 2＋2t ＋k )＋f (－2t 2＋2t －5)>0恒成立，求实数k 的取值范围．
【答案】（1）13()13x
x
f x -=+.
（2）k <1.【解析】【分析】
【详解】解：（1）设()(0,1),x g x a a a =>≠则29,3a a =∴=或3a =-（舍），
3()3,()13x x
x
m g x f x -∴==+又()f x 为奇函数，33
()(),1313
x x
x x
m m f x f x ----∴-=-∴=-++，整理得(31)31x x m +=+1
m ∴=13().
13x
x
f x -∴=+（2）132
()=1,()1313
x x x
f x y f x -=-∴=++ 在R 上单调递减.要使对任意的22[0,5],(2)(225)0t f t t k f t t ∈+++-+->恒成立，即对任意的22[0,5],(2)(225)t f t t k f t t ∈++>--+-恒成立.
()f x 为奇函数，22(2)(225)f t t k f t t ∴
++>-+恒成立，
又()y f x = 在R 上单调递减，
222225t t k t t ∴++<-+当[0,5]t ∈时恒成立，22
45(2)1k t t t ∴<-+=-+当[0,5]t ∈时恒成立，
而当[0,5]t ∈时，2
1(2)
110t ≤-+≤， 1.
k ∴<20.文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[)40,50，[)50,60，…，[]90,100得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）求样本成绩的第75百分位数；
（3）已知落在[)50,60的平均成绩是56，方差是7，落在[)60,70的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数z 和总方差2s .【答案】（1）0.030a =（2）84（3）平均值64，方差23
【解析】
【分析】（1）根据每组小矩形的面积之和为1列方程求a ；（2）根据第75百分位数的定义计算；
（3）根据平均数公式和样本方差计算总体方差公式计算.【小问1详解】
利用每组小矩形的面积之和为1可得，
0.0050.0100.0200.0250.010101a +++++⨯=，解得0.030a =.
【小问2详解】
成绩落在[40,80)内的频率为(0.0050.0100.0200.030)100.65+++⨯=，落在[40,90)内的频率为(0.0050.0100.0200.0300.025)100.9++++⨯=，
设第75百分位数为m ，由0.65(80)0.0250.75m +-⨯=，得84m =，故第75百分位数为84.【小问3详解】
由图可知，成绩在[50,60)的市民人数为1000.110⨯=，成绩在[60,70)的市民人数为1000.220⨯=，故10562065
z 6230
⨯+⨯==；
由样本方差计算总体方差公式可得总方差为
{}
222
1s 107(5662)204(6562)2330
⎡⎤⎡⎤=
+-++-=⎣⎦⎣⎦.21.设抛物线23y x =-与两坐标轴的交点分别记为M ，N ，G ，曲线C 是经过这三点的圆.（1）求圆C 的方程.
（2）过()1,0P -作直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，（i ）用坐标法证明：PA PB ⋅是定值.（ii ）设()0,2Q -，求2
2
QA QB +的最大值.【答案】（1）22(1)4
x y ++=
（2）（i ）证明见解析；（ii
）12+【解析】
【分析】（1）根据题意，设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，由待定系数法，代入计算，即可得到结果；（2）（i ）根据题意，讨论直线l 的斜率存在与不存在，联立直线与圆的方程，结合韦达定理代入计算，即可得到结果；
（ii ）根据题意，联立直线与圆的方程，结合韦达定理，由基本不等式即可得到结果.【小问1详解】
设抛物线与x 轴分别交于,M N ，交y 轴于点G ，令0y =，
则x =，
即
)()
,M N ，令0x =，
则=3y -，则()0.3G -，
设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，
将点的坐标代入可得3030930F F E F ⎧+=⎪⎪++=⎨⎪-+=⎪⎩
，解得0
23
D E F =⎧⎪
=⎨⎪=-⎩，
则22230x y y ++-=，化为标准式为()2
214x y ++=.
【小问2详解】
（i ）当直线l 的斜率不存在时，则l 方程为=1x -，
联立()2
2141x y x ⎧++=⎪⎨=-⎪⎩
，可得11x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩
或11x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，
即(
)()
1,1,1A B --
，则1PA =
，1PB =，则2PA PB ⋅=；
当当直线l 的斜率存在时，设l 方程为()1y k x =+，设()()1122,,,A x y B x y ，
联立直线与圆的方程()()2
2114
y k x x y ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩，消去y 可得()()()2222
12230k x k k x k k +++++-=，由韦达定理可得()2212122
2223,11k k k k x x x x k k -++-+==
++，
且
PA =
=
，
PB =
=
则()()()
2
1
2
111PA PB k x x
⋅=
+++
()()()
()223
2
2
12
1
2
2
22311111k k k k k k
x x x x k k -+++-++=++++=++()2
2
2121k k
-=+⨯
=+；
综上所述，2PA PB ⋅=是定值.
（ii ）由（i ）可知，当直线
l 的斜率不存在时，(
)(
)
1,1,1A B ---，且()0,2Q -，则
()
)
2
2
2
11
5QA =-+
=+(
)
()
2
2
2
11
5QB =-+=-，则
22
10QA QB +=；
当当直线l 的斜率存在时，设l 方程为()1y k x =+，则()()()()
2
2
2
222
112222QA QB x kx k
x kx k +=+++++++()()()()222
22121212428
k x x k x x k =+++++++()()()()()222222
2
22224223122428
111k k k k
k k k k k
k
k k ⎡⎤
⎡⎤
+-++-⎢⎥⎢
⎥=+-⨯++⨯++⎢⎥++⎢⎥+⎣
⎦
⎣⎦()()()22
2
4144
14141411121211k k k k k k k -=+=
+=+++-+-+--()
4
1414122
121
k k =
+≤
=+-+
+-.
当且仅当()2
11
k k
-=-时，即1=±k 时，等号成立，
所以(
)
22
max
12QA QB
+=+22.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，90BAD ACB ∠=
∠=︒，
36AB CD ===，PA BC ⊥，在锐角三角形PAC 中，4PC =.
（1）点E 满足PE PD λ=uur uu u r
，试确定λ的值，使得直线//PB 平面ACE ，并说明理由.（2）当PA 的长为何值时，直线AD 与平面PBC 所成的角的正弦值为2
3
.【答案】（1）3
4
λ=，理由见解析（2）23【解析】
【分析】（1）由线面平行的判定定理证明，（2）建立空间直角坐标系，由空间向量求解．【小问1详解】
34
PE PD =
时，//PB 平面ACE ，
证明如下：连接BD ，BD 与AC 交于O 点，因为1
,3
OD DC OB AB ==，故
OD DE
OB EP
=，所以//PB OE ，OE ⊂面ACE ，PB ⊄面ACE ，所以//PB 平面ACE .
【小问2详解】
如图建立空间直角坐标系则(0,23,0)A ，(26,0,0)B ，2CD =，3cos 3DCA ∠=，故2623(,,0)33
D -，,BC AC BC PA ⊥⊥，,PA AC ⊂平面PAC ，BC ⊥平面PAC ，点P 在yCz 平面上，设(0,,)P p q ，则(0,,),(26,0,0)CP p q CB == ，面PBC 的一个法向量为(0,,)n q p =- ，2643,,033DA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
直线AD 与平面PBC 所成的角记作θ，
则224323sin 322q p q
θ==+，得222q p =，4PC =，2216q p +=解得433p =，463
q =，所以2346(0,,)33PA =- 所以432||02333PA =++= ，PA 的长为23。