湖南省长沙市雅礼教育集团2020-2021学年八年级下学期期末数学试题

湖南省长沙市雅礼教育集团2020-2021学年八年级下学期期
末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．方程x 2+2x ﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( ) A ．1，2，3
B ．1，2，﹣3
C ．1，﹣2，3
D ．﹣1，﹣2，3
2．下列函数中，y 总随x 的增大而减小的是( ) A ．y ＝4x
B ．y ＝﹣4x
C ．y ＝x ﹣4
D ．y ＝x 2
3．已知平行四边形ABCD 中，∠B ＝2∠A ，则∠A ＝（ ） A ．36°
B ．60°
C ．45°
D ．80°
4．某超市销售A ，B ，C ，D 四种矿泉水，它们的单价依次是5元、3元、2元、1元．某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（ ）
A ．1.95元
B ．2.15元
C ．2.25元
D ．2.75元
5．若点P 在一次函数4y x =-+的图像上，则点P 一定不在（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
6．将抛物线y ＝﹣3x 2+1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线为（ ） A ．y ＝﹣3（x ﹣2）2+4 B ．y ＝﹣3（x ﹣2）2﹣2 C ．y ＝﹣3（x +2）2+4
D ．y ＝﹣3（x +2）2﹣2
7．在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x 个队参赛，根据题意，可列方程为（） A ．
()1
1362
x x -= B ．
()1
1362
x x += C ．()136x x -= D ．()136x x +=
8．比较A 组、B 组中两组数据的平均数及方差，一下说法正确的是（ ）
A ．A 组，
B 组平均数及方差分别相等 B ．A 组，B 组平均数相等，B 组方差大
C ．A 组比B 组的平均数、方差都大
D ．A 组，B 组平均数相等，A 组方差大
9．关于x 的一元二次方程2
(1)210k x x +--=有两个实数根，则k 的取值范围是( )
A ．2k ≥-
B ．2k >-
C ．2k ≥-且1k ≠-
D ．2k >-且
1k ≠-
10．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD ，若测得A ，C 之间的距离为6cm ，点B ，D 之间的距离为8cm ，则线段AB 的长为（ ）
A ．5 cm
B ．4.8 cm
C ．4.6 cm
D ．4 cm
11．已知二次函数23y x x m =-+（m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为()1,0，则关于x 的一元二次方程230x x m -+=的两实数根是（ ） A ．11x =，21x =- B ．11x =，22x =
C ．11x =，23x =
D ．11x =，
23x =-
12．如图，抛物线2
10
43y ax x =-
+与直线43
=+y x b 经过点()2,0A ，且相交于另一点B ，抛物线与y 轴交于点C ，与x 轴交于另一点E ，过点N 的直线交抛物线于点M ，
且MN y 轴，连接,,,AM BM BC AC ，当点N 在线段AB 上移动时（不与A 、
B 重合）
，下列结论正确的是（ ）
A ．MN BN A
B +< B ．BA
C BAE ∠=∠
C ．1
2
ACB ANM ABC ∠-∠=∠ D ．四边形ACBM 的最大面积为13
二、填空题
13．函数y
x 的取值范围为____________．
14．如果一组数据2，4，x ，3，5的众数是4，那么该组数据的中位数是___． 15．如图，BD 是矩形ABCD 的一条对角线，点E ，F 分别是BD ，DC 的中点．若AB ＝4，BC ＝3，则AE +EF 的长为_____．
16．函数2x 1x 2y 2x x 2⎧+≤=⎨⎩（）
（＞）
,则当函数值y=8时,自变量x 的值是_____.
17．设a 、b 是方程220190x x +-=的两个实数根，则()()11a b --的值为_____． 18．飞机着陆后滑行的距离s （米）关于滑行的时间t （秒）的函数表达式是s =60t -1.5t 2，则飞机着陆后滑行直到停下来滑行了__________米．
三、解答题
19．解方程：232x x -=-
20．已知一次函数4y kx =-，当2x =时，2y =-，求它的解析式以及该直线与坐标轴的交点坐标．
21．为了解学生每天的睡眠情况，某初中学校从全校 800 名学生中随机抽取了 40 名学生，调查了他们平均每天的睡眠时间（单位： h ） ，统计结果如下：
9，8，10.5，7，9，8，10，9.5，8，9，9.5，7.5，9.5，9，8.5，7.5，10，9.5，8，9， 7，9.5，8.5，9，7，9，9，7.5，8.5，8.5，9，8，7.5，9.5，10，9.5，8.5，9，8，9. 在对这些数据整理后，绘制了如下的统计图表： 睡眠时间分组统计表 睡眠时间分布情况
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）m = ，n = ，a = ，b = ；
（2）抽取的这40 名学生平均每天睡眠时间的中位数落在组（填组别）；
（3）如果按照学校要求，学生平均每天的睡眠时间应不少于9 h，请估计该校学生中睡眠时间符合要求的人数．
22．如图，在□ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E ，F 分别为OB ，OD 的中点，延长AE 至G ，使EG ＝AE ，连接CG ．
（1）求证：△ABE≌△CDF ；
（2）当AB 与AC 满足什么数量关系时，四边形EGCF 是矩形？请说明理由.
23．某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元．设该工厂生产了甲产品x（吨），生产甲、乙两种产品获得的总利润为y（万元）．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）若每生产1吨甲产品需要A原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要A原料0.5吨．受市场影响，该厂能获得的A原料至多为1000吨，其它原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润．
24．在正方形ABCD中，连接BD，P为射线CB上的一个动点（与点C不重合），连接AP，AP的垂直平分线交线段BD于点E，连接AE，PE.
提出问题：当点P 运动时，∠APE 的度数是否发生改变？ 探究问题：
（1）首先考察点P 的两个特殊位置：
①当点P 与点B 重合时，如图1所示，∠APE =____________°
②当BP =BC 时，如图2所示，①中的结论是否发生变化？直接写出你的结论：__________；（填“变化”或“不变化”）
（2）然后考察点P 的一般位置：依题意补全图3，图4，通过观察、测量，发现：（1）中①的结论在一般情况下_________；（填“成立”或“不成立”）
（3）证明猜想：若（1）中①的结论在一般情况下成立，请从图3和图4中任选一个进行证明；若不成立，请说明理由.
25．已知抛物线()()2
431y x m x m =---+-与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于C 点．
（1）求m 的取值范围；
（2）若0m <，直线1y kx =-经过点A ，与y 轴交于点D ，且AD BD ⋅=抛物线的解析式；
（3）若A 点在B 点左边，在第一象限内，（2）中所得到抛物线上是否存在一点P ，使直线PA 分ACD ∆的面积为1:4两部分？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．
26．对于某一函数给出如下定义：若存在实数p ，当其自变量的值为p 时，其函数值等于p ，则称p 为这个函数的不变值．在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差q 称为这个函数的不变长度．特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度q 为零．例如，图1中的函数有0，1两个不变值，其不变长度q 等于1．
（1）分别判断函数3y x =-，22y x =-有没有不变值？如果有，请写出其不变长度；
（2）函数2
1y x bx =-+且13b ≤≤，求其不变长度q 的取值范围；
（3）记函数()2
3y x x x m =-≥的图像为1G ，将1G 沿x m =翻折后得到的函数图像记
为2G ，函数G 的图像由1G 和2G 两部分组成，若其不变长度q 满足04q ≤≤，求m 的取值范围．
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
找出方程的二次项系数，一次项系数，以及常数项即可．
【详解】
方程x2+2x﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，2，﹣3，
故选：B．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax2+bx+c＝0(其中a，b，c为常数，且a≠0)．解题关键在于找出系数及常熟项
2．B
【分析】
结合各个选项中的函数解析式，根据相关函数的性质即可得到答案.
【详解】
y＝4x中y随x的增大而增大，故选项A不符题意，
y＝﹣4x中y随x的增大而减小，故选项B符合题意，
y＝x﹣4中y随x的增大而增大，故选项C不符题意，
y＝x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项D不符合题意，
故选B．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质、正比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数和二次函数的性质解答．
3．B
【分析】
根据平行四边形的性质得出BC∥AD，推出∠A+∠B=180°，求出∠A的度数即可．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∴∠A+∠B=180°．
∵∠B=2∠A，∴∠A=60°．
故选B．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质的应用，关键是平行四边形的邻角互补．4．C
【分析】
根据加权平均数的定义列式计算可得．
【详解】
⨯+⨯+⨯+⨯=（元），解：这天销售的矿泉水的平均单价是510%315%255%120% 2.25
故选C．
【点睛】
本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
5．C
【分析】
根据一次函数的性质进行判定即可.
【详解】
一次函数y=-x+4中k=-1<0，b>0，
所以一次函数y=-x+4的图象经过二、一、四象限，
又点P在一次函数y=-x+4的图象上，
所以点P一定不在第三象限，
故选C.
【点睛】
本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握是解题的关键.
y=kx+b：当k>0，b>0时，函数的图象经过一，二，三象限；当k>0，b<0时，函数的图象经过一，三，四象限；当k<0，b>0时，函数的图象经过一，二，四象限；当k<0，b<0时，函数的图象经过二，三，四象限.
6．D
【解析】
【分析】
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】
将抛物线y ＝﹣3x 2+1向左平移2个单位长度所得直线解析式为：y ＝﹣3（x +2）2+1； 再向下平移3个单位为：y ＝﹣3（x +2）2+1﹣3，即y ＝﹣3（x +2）2﹣2． 故选D ． 【点睛】
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 7．A 【分析】
共有x 个队参加比赛，则每队参加（x-1）场比赛，但2队之间只有1场比赛，根据共安排36场比赛，列方程即可． 【详解】
解：设有x 个队参赛，根据题意，可列方程为：
1
2
x （x ﹣1）＝36， 故选A ． 【点睛】
此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键在于得到比赛总场数的等量关系. 8．D 【解析】 【分析】
由图象可看出A 组的数据为：3，3，3，3，3，-1，-1，-1，-1，B 组的数据为：2，2，2，2，3，0，0，0，0，则分别计算出平均数及方差即可. 【详解】
解：由图象可看出A 组的数据为：3，3，3，3，3，-1，-1，-1，-1，B 组的数据为：2，2，2，2，3，0，0，0，0
则A 组的平均数为：()11133333111199A x =
++++----=， B 组的平均数为：()111
22223000099
B x =++++++++=，
A 组的方差为：22
211111320351499981A
S ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=-⨯+--⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
，
B 组的方差为：222
2111111110424304999981B
S ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-⨯+-+-⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
， ∴22
A B S S >，
综上，A 组、B 组的平均数相等，A 组的方差大于B 组的方差 故选D ． 【点睛】
本题考查了平均数，方差的求法．平均数表示一组数据的平均程度；方差是用来衡量一组数据波动大小的量． 9．C 【分析】
利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k+1≠0且△=（-2）2-4（k+1）×（-1）≥0，然后求出两不等式的公共部分即可． 【详解】
解：根据题意得k+1≠0且△=（-2）2-4（k+1）×（-1）≥0， 解得：2k ≥-且1k ≠-． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根． 10．A 【解析】 【分析】
作AR ⊥BC 于R ，AS ⊥CD 于S ，根据题意先证出四边形ABCD 是平行四边形，再由AR=AS 得平行四边形ABCD 是菱形，再根据根据勾股定理求出AB 即可． 【详解】
解：作AR ⊥BC 于R ，AS ⊥CD 于S ，连接AC 、BD 交于点O ．
由题意知：AD ∥BC ，AB ∥CD ，
∴四边形ABCD 是平行四边形，
∵两个矩形等宽，
∴AR=AS ，
∵AR•BC=AS•CD ，
∴BC=CD ，
∴平行四边形ABCD 是菱形，
∴AC ⊥BD ，
在Rt △AOB 中，∵OA=3，OB=4，
∴AB=√32+42=5，
故选：A ．
【点睛】
本题考查菱形的判定、勾股定理，解题的关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形． 11．B
【分析】
先求出二次函数图象的对称轴，然后利用二次函数图象的对称性求出图象与x 轴的另一个交点坐标，最后根据二次函数与x 轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系即可得出结论．
【详解】
解：二次函数23y x x m =-+图象的对称轴为直线x=33212
--
=⨯ ∵图象与x 轴的一个交点为()1,0，
∴图象与x 轴的另一个交点坐标为（2,0）
∴关于x 的一元二次方程230x x m -+=的两实数根是11x =，22x =
故选B
【点睛】
此题考查的是求二次函数图象与x轴的交点坐标和求一元二次方程的根，掌握二次函数图象的对称性和二次函数与x轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系是解决此题的关键．12．C
【分析】
】（1）当MN过对称轴的直线时，解得：BN=25
6
，而MN=
5
6
，BN+MN=5=AB；
（2）由BC∥x轴（B、C两点y坐标相同）推知∠BAE=∠CBA，而△ABC是等腰三角形，∠CBA≠∠BCA，故∠BAC=∠BAE错误；
（3）如上图，过点A作AD⊥BC、BE⊥AC，由△ABC是等腰三角形得到：EB是∠ABC
的平分线，∠ACB-∠ANM=∠CAD=1
2
∠ABC；
（4）S四边形ACBM=S△ABC+S△ABM，其最大值为9
4
．
【详解】
解：将点A（2，0）代入抛物线y=ax2-10
3
x+4与直线y=
4
3
x+b
解得：a=2
3
，b=-
8
3
，
设：M点横坐标为m，则M（m，2
3
m2-
10
3
m+4）、N（m，
4
3
m-
8
3
），
其它点坐标为A（2，0）、B（5，4）、C（0，4），则AB=BC=5，则∠CAB=∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．
A、当MN过对称轴的直线时，此时点M、N的坐标分别为（5
2
，-
1
6
）、（
5
2
，
2
3
），
由勾股定理得：BN=25
6
，而MN=
5
6
，
BN+MN=5=AB，
故本选项错误；
B、∵BC∥x轴（B、C两点y坐标相同），
∴∠BAE=∠CBA，而△ABC是等腰三角形不是等边三角形，∠CBA≠∠BCA，
∴∠BAC=∠BAE不成立，
故本选项错误；
C、如上图，过点A作AD⊥BC、BE⊥AC，∵△ABC是等腰三角形，
∴EB是∠ABC的平分线，
易证：∠CAD=∠ABE=1
2
∠ABC，
而∠ACB-∠ANM=∠CAD=1
2
∠ABC，
故本选项正确；
D、S四边形ACBM=S△ABC+S△ABM，S△ABC=10，
S△ABM=1
2
MN•（x B-x A）=-m2+7m-10，其最大值为
9
4
，
故S四边形ACBM的最大值为10+9
4
=12.25，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合题，涉及到一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，以及等腰三角形、平行线等几何知识，是一道难度较大的题目．
13．x≥－1
【解析】
试题分析：由题意得，x+1≥0，解得x≥﹣1．故答案为x≥﹣1．
考点：函数自变量的取值范围．
14．4
【分析】
根据众数为4，可得x等于4，然后根据中位数的概念，求解即可．
【详解】
解：因为这组数据的众数是4，
∴x=4，
则数据为2、3、4、4、5，
所至这组数据的中位数为4，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
15．4
【解析】
【分析】
先根据三角形中位线定理得到EF 的长，再根据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到AE 的长，进而得出计算结果．
【详解】
解：∵点E ，F 分别是BD DC ，的中点，
∴FE 是△BCD 的中位线，
1 1.5290,3,4
5EF BC BAD AD BC AB BD ︒∴=
=∠====∴= . 又∵E 是BD 的中点，
∴Rt △ABD 中，1 2.52
AE BD ==， AE EF 2.5 1.54∴++＝＝，
故答案为4．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质以及三角形中位线定理的运用，解题时注意：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 16
．或4
【分析】
把y=8直接代入函数2x 1x 2y 2x x 2⎧+≤=⎨⎩
（）（＞）即可求出自变量的值． 【详解】
把y=8直接代入函数2y x 1=+
，得：x =
∵x 2≤，
∴x =
代入y 2x =，得：x=4，所以自变量x
的值为或4
【点睛】
本题比较容易，考查求函数值．
（1）当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；
（2）函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．
17．-2017
【分析】
根据根与系数的关系可得出1a b +=-，2019ab =-，将其代入
()()()111a b ab a b --=-++中即可得出结论．
【详解】
∵a 、b 是方程220190x x +-=的两个实数根，
∴1a b +=-，2019ab =-，
∴()()()111a b ab a b --=-++2019112017=-++=-．
故答案为：-2017．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于b a -，两根之积等于c a
”是解题的关键． 18．600
【分析】
将260 1.5s t t =-化为顶点式，即可求得s 的最大值．
【详解】
解：2260 1.5 1.5(20)600s t t t =-=--+，
则当20t 时，s 取得最大值，此时600s ，
故飞机着陆后滑行到停下来滑行的距离为：600m ．
故答案为：600．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，会将二次函数的一般式化为顶点式，根据顶点式求函数的最值．
19．x=1或x=2
【分析】
根据因式分解法即可求出答案．
【详解】
解：∵x 2-3x+2=0，
∴（x-1）（x-2）=0，
∴x=1或x=2；
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 20．该直线与x 轴交点的坐标是（4，0），与y 轴的交点坐标是（0，-4）．
【分析】
把x 、y 的值代入y=kx-4，通过解方程求出k 的值得到一次函数的解析式，根据直线与x 轴相交时，函数的y 值为0，与y 轴相交时，函数的x 值为0求出该直线与坐标轴的交点坐标．
【详解】
解：∵一次函数y=kx-4，当x=2时，y=-2，
∴-2=2k-4，解得k=1，
∴一次函数的解析式为y=x-4．
∵当y=0时，x=4；
当x=0时，y=-4，
∴该直线与x 轴交点的坐标是（4，0），与y 轴的交点坐标是（0，-4）．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征．正确求出直线的解析式是解题的关键．
21．（1）7，18，17.5%，45%；（2）3；（3）440人.
【解析】
【分析】
（1）根据40名学生平均每天的睡眠时间即可得出结果；
（2）由中位数的定义即可得出结论；
（3）由学校总人数×该校学生中睡眠时间符合要求的人数所占的比例，即可得出结果．
【详解】
（1）7≤t ＜8时，频数为m=7；
9≤t ＜10时，频数为n=18；
∴a=740×100%=17.5%；b=1840
×100%=45%； 故答案为7，18，17.5%，45%；
（2）由统计表可知，抽取的这40名学生平均每天睡眠时间的中位数为第20个和第21个数据的平均数，
∴落在第3组；
故答案为3；
（3）该校学生中睡眠时间符合要求的人数为800×18+440
=440（人）； 答：估计该校学生中睡眠时间符合要求的人数为440人．
【点睛】
本题考查了统计图的有关知识，解题的关键是仔细地审题，从图中找到进一步解题的信息． 22．（1）见解析；（2）2AC AB 时,四边形EGCF 是矩形，理由见解析.
【分析】
（1）由平行四边形的性质得出AB=CD ，AB ∥CD ，OB=OD ，OA=OC ，由平行线的性质得出∠ABE=∠CDF ，证出BE=DF ，由SAS 证明△ABE ≌△CDF 即可；
（2）证出AB=OA ，由等腰三角形的性质得出AG ⊥OB ，∠OEG=90°，同理：CF ⊥OD ，得出EG ∥CF ，由三角形中位线定理得出OE ∥CG ，EF ∥CG ，得出四边形EGCF 是平行四边形，即可得出结论．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD ，AB ∥CD ，OB=OD ，OA=OC ，
∴∠ABE=∠CDF ，
∵点E ，F 分别为OB ，OD 的中点，
∴BE=12OB ，DF=12
OD ， ∴BE=DF ，
在△ABE 和△CDF 中，
AB CD ABE CDF BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()ABE CDF SAS ∴≅
（2）当AC=2AB 时，四边形EGCF 是矩形；理由如下：
∵AC=2OA ，AC=2AB ，
∴AB=OA ，
∵E 是OB 的中点，
∴AG ⊥OB ，
∴∠OEG=90°，
同理：CF ⊥OD ，
∴AG ∥CF ，
∴EG ∥CF ，
∵EG=AE ，OA=OC ，
∴OE 是△ACG 的中位线，
∴OE ∥CG ，
∴EF ∥CG ，
∴四边形EGCF 是平行四边形，
∵∠OEG=90°，
∴四边形EGCF 是矩形．
【点睛】
本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
23．（1）0.11000y x =-+；（2）工厂生产甲产品1000吨，乙产品1500吨时，能获得最大利润.
【解析】
【分析】
（1）利润y （元）＝生产甲产品的利润+生产乙产品的利润；而生产甲产品的利润＝生产1吨甲产品的利润0.3万元×甲产品的吨数x ，即0.3x 万元，生产乙产品的利润＝生产1吨乙产品的利润0.4万元×乙产品的吨数（2500﹣x ），即0.4（2500﹣x ）万元．
（2）由（1）得y 是x 的一次函数，根据函数的增减性，结合自变量x 的取值范围再确定当x 取何值时，利润y 最大．
【详解】
（1）()0.325000.40.11000y x x x =⨯+-⨯=-+.
（2）由题意得：()0.2525000.51000x x ⨯+-⨯，解得1000x .
又因为2500x ≥，所以10002500x .
由（1）可知，0.10-<，所以y 的值随着x 的增加而减小.
所以当1000x =时，y 取最大值，此时生产乙种产品250010001500-=（吨）. 答：工厂生产甲产品1000吨，乙产品1500吨，时，能获得最大利润.
【点睛】
这是一道一次函数和不等式组综合应用题，准确地根据题目中数量之间的关系，求利润y 与甲产品生产的吨数x 的函数表达式，然后再利用一次函数的增减性和自变量的取值范围，最后确定函数的最值．也是常考内容之一．
24．（1）①45；②不变化；（2）成立；（3）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）①②根据正方形的性质、线段的垂直平分线的性质即可判断；
（2）画出图形即可判断，结论仍然成立；
（3）如图2-1中或2-2中，作作EF ⊥BC ，EG ⊥AB ，证Rt △EAG ≅Rt △EPF 得∠AEG=∠PEF.
由∠ABC=∠EFB=∠EGB=90°知∠GEF=∠GEP+∠PEF=90°.继而得
∠AEP=∠AEG+∠GEP=∠PEF+∠GEP=90°.从而得出∠APE=∠EAP=45°.
【详解】
解（1）①当点P 与点B 重合时，如图1-1所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠APE=45°
②当BP=BC时，如图1-2所示，①中的结论不发生变化；故答案为：45°，不变化.
(2) （2）如图2-1，如图2-2中，结论仍然成立；
故答案为：成立；
(3)证明一：如图所示.
过点E作EF⊥BC于点F，EG⊥AB于点G.
∵点E在AP的垂直平分线上，
∴EA=EP.
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD平分∠ABC.
∴EG=EF.
∴RtΔEAG≌RtΔEPF.
∴∠AEG=∠PEF.
∵∠ABC=∠EFB=∠EGB=90°，
∴∠GEF=∠GEP+∠PEF=90°.
∴∠AEP=∠AEG+∠GEP=∠PEF+∠GEP=90°.
∴∠APE=∠EAP=45°.
证明二：如图所示.
过点E作EF⊥AD于点F，延长FE交BC于点G，连接CE.
∵点E在AP的垂直平分线上，
∴EA=EP.
∵四边形ABCD为正方形，
∴BA=BC,∠ABE=∠CBE，
∴ΔBAE≌ΔBCE.
∴EC=EA=EP，∠EAB=∠ECB.
∴∠EPC=∠ECP=∠EAB.
又∵∠BPE+∠EPC=180°，
∴∠BPE+∠EAB=180°.
又∵∠EAB+∠ABP+∠BPE+∠AEP=360°,∠ABP=90°，
∴∠AEP=90°.
∴∠APE=∠EAP=45°.
【点睛】
本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、中垂线的性质等知识点
25．（1）m≠-2；（2）y=-x2+5x-6；（3）点P（1
2
，-
15
4
）或（2，0）．
【分析】
（1）由于抛物线与x轴有两个不同的交点，可令y=0，则所得方程的根的判别式△＞0，可
据此求出m的取值范围．
（2）根据已知直线的解析式，可得到D点的坐标；根据抛物线的解析式，可用m表示出A、
B的坐标，即可得到AD、BD的长，代入AD×，即可求得m的值，从而确定抛物线的解析式．
（3）直线PA分△ACD的面积为1：4两部分，即DH：HC=1：4或4：1，则点H（0，-2）或（0，-5），即可求解．
【详解】
解：（1）∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴△=（m-4）2+12（m-1）=m2+4m+4=（m+2）2＞0，
∴m≠-2．
（2）∵y=-x2-（m-4）x+3（m-1）=-（x-3）（x+m-1），
∴抛物线与x轴的两个交点为：（3，0），（1-m，0）；
则：D（0，-1），
则有：AD×=，
解得：m=2（舍去）或-1，
∴m=-1，
抛物线的表达式为：y=-x2+5x-6①；
（3）存在，理由：
如图所示，点C（0，-6），点D（0，-1），点A（2，0），
直线PA分△ACD的面积为1：4两部分，
即DH：HC=1：4或4：1，则点H（0，-2）或（0，-5），
将点H、A的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线HA的表达式为：y=x-2或y=5
2
x-5②，
联立①②并解得：x=
12或2， 故点P （12
，-154）或（2，0）． 【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
26．（1）不存在不变值；存在不变值，q=3；（2）（3）
32
≤m≤4 或m ＜-0.5． 【分析】
（1）由题意得：y=x-3=x ，无解，故不存在不变值；y=x 2-2=x ，解得：x=2或-1，即可求解；
（2）由题意得：y=x 2-bx+1=x ，解得：x= ()12
b +±，即可求解；
（3）由题意得：函数G 的不变点为：2m-1+ 2m-1- 0、4；分x=m 为G 1的左侧、x=m 为G 1的右侧，两种情况分别求解即可．
【详解】
解：（1）由题意得：y=x-3=x ，无解，故不存在不变值；
y=x 2-2=x ，解得：x=2或-1，故存在不变值，q=2-（-1）=3；
（2）由题意得：y=x 2-bx+1=x ，
解得：x=()12
b +，
1≤b≤3，
解得：；
（3）由题意得：y=x 2-3x 沿x=m 对翻折后，
新抛物线的顶点为（2m-32
，-94）， 则新函数G 2的表达式为：y=x 2-（4m-3）x+（4m 2-6m ），
当y=x 时，整理得：x 2-（4m-2）x+（4m 2-6m ）=0，
即G 2的不变点是和
G 1的不变点是：0和4；
故函数G的不变点为：、0、4，
这4个不变点最大值的可能是4，最小值可能0，----当x=m为G1对称轴x=的左侧时，
①当最大值为
当最小值为时，
即：0≤2m-1+-（≤4，
解得：0≤m≤3
2
；
当最小值为0时，
同理可得：0≤m≤3
2
；
②当最大值为4时，
最小值为0，符合条件），
即0≤4-（≤4，
解得：m=3
2
；
综上：0≤m≤3
2
；
----当x=m为G1对称轴x=3
2
的右侧时，
同理可得：3
2
≤m≤
5
2
；
故：3
2
≤m≤4 或m＜-0.5．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到方程和不等式的求解，其中（3），不等式求解难度非常大，并要注意分类求解，避免遗漏．。