7.弹塑性力学--塑性本构关系

F
ij
2 f f
3 kl k2l2
2. 硬化材料的增量塑性本构关系
混合强化模型
f ij ,ij , k p F ij ij k p
f F
f F
ij ij
ij
ij
h
f kl
ij
p ij
f ij
f k
k p
f 1 k
2 f f 3 ij ij
h
4
1.理想塑性材料的增量本构关系
二、塑性理论
应力状态 多值关系、过程相关 应变状态
描述方法：过程跟踪 本构形式：增量型(应力增量、应变增量)
全量型(只在比例加载条件下可用)
5
1.理想塑性材料的增量本构关系
1)一般形式
d ij
d
e ij
d
p ij
d ij
Cijkl
d
e kl
d ij
Cijkl
d
kl
df
f
ij
d ij
f
ij
d ij
f k
dk
加载面的演化 内变量的演化
d
p ij
d
f
ij
dhijpdd
p
ij
fdijd2 ijf ijkfdf ikj
0
如果hd以kd累积pkf塑2ij d性p d32应ijdk变ijpddkfd2dijppkdpf作32p0为df内2变hd量f ij
2)Prandtl-Reuss模型(J2理论)
K
K
4
3 2
G G
K 2G 3
K 4G
K 2G 3
K 2G
0 0
0 0
0
0
3
3
3
Ce ijkl
K
2G 3
K 2G 3
K 4G 3
0
0
0
0
0
0
G
0
0
0
0
0
0
G
0
0
0
0
0
0
G
8
1.理想塑性材料的增量本构关系
2)Prandtl-Reuss模型(J2理论)
d
d
p kk
3d
d
1
9K 2
G
3Kd
kk
G J2
skl
d
kl
d
p d
d
p ij
q
d
p v
0
p
13
1.理想塑性材料的增量本构关系
D
d ij 0
d
e ij
d
p ij
d ij
Dep
f 0 f 0
f ij
d ij
0
f ij
d ij
0
f 0
f ij
d ij
0
14
1.理想塑性材料的增量本构关系
D
f g 相关联流动
塑性应变大小 塑性应变方向
对于强化材料
f
ij
d ij
0
d ij 在
f
ij
方向上的投影，反映了塑性应变增量的大小。
可假设：
d
1 h
f
ij
d ij
d
p ij
1 h
f
ij
f
kl
d kl
如何确定？
f
ij d ij
f ij k
17
2. 硬化材料的增量塑性本构关系
f ij ,ij , k 0
f g J2 k
Cep ijkl
ij kl
ik jl
il jk
k2
sij skl
d ij
C ep ijkl
d
kl
d x
d
y
d
d z d xy
d
yz
d zx
d x
d y
d
d d
z xy
d
yz
d zx
C ep ijkl
Ce ijkl
Cp ijkl
7
1.理想塑性材料的增量本构关系
F kl
ij
p ij
F ij
k p
2 F F 3 ij ij
随动硬化因素
等向硬化因素
23
1.理想塑性材料的增量本构关系 2.硬化材料的增量塑性本构关系 3.全量塑性本构关系
24
3. 全量塑性本构关系
比例加载条件
ij
0 ij
sij si0j
deij
1 2G
dsij
d sij
d kk
Gs
1 3
3 2
sij
sij
e
2 3
eij
eij
3 e
e e
ij
eij
1 3
ij
kk
3 2
ij
1 9K
2
kk
ij
ij
3 2
ij
1 3
ij
kk
Kij kk
3 2
ij
K
2 9
kk
ij
26
f
kl19
2. 硬化材料的增量塑性本构关系
各向同性强化模型(1)-应变强化
f ij,k p 0
h
f k
k
p
2 f f
3 ij ij
各向同性强化模型(2)-加工强化
f ij,k W p 0
h
f k
k W p
ij
f
ij
20
2. 硬化材料的增量塑性本构关系
随动强化模型(1)
荷载超过弹性范围之后材料的力学行为是变形过程和变形历史相关的如何描述
路德春 博士 副教授
13811035103
北京工业大学 岩土与地下工程研究所
1
1. 绪 论 2. 应力分析 3. 应变分析 4. 弹性本构关系 5. 塑性理论基础 6. 强度理论 7. 塑性本构关系 8. 简单弹塑性力学问题
d
p ij
0 d ij
d
p ij
Dep
f 0
f ij
Cijkl d kl
0
f 0
f ij
Cijkl d kl
0
f 0
f ij
Cijkl d kl
0
15
1.理想塑性材料的增量本构关系 2.硬化材料的增量塑性本构关系 3.全量塑性本构关系
16
2. 硬化材料的增量塑性本构关系
d
p ij
d
f
ij
H11H 23
H 22H 23
H 33 H12
H12H 23
H
2 23
H11 H 31 H 22H31
H
33
H
31
H12H31
H12
H
31
H
2 31
12
1.理想塑性材料的增量本构关系
3)Drucker-Prager模型
f g I1 J2 k
d
p ij
d g ij
ij
sij 2 J2
f ij ,ij , k F ij ij k
h
F
kl
kl
p ij
F
ij
f F
ij ij
f F
ij ij
随动强化模型(2)-Prager强化模型
dij
cd
p ij
h c F F
ij ij
21
2. 硬化材料的增量塑性本构关系
随动强化模型(3)-Ziegler强化模型
dij d ij ij
dk
0
k k W p k dW p
hd f ij
ij
ห้องสมุดไป่ตู้
p ij
d
p ij
f k
k W p
dW
p
0
h
f
ij
ij
p ij
d
p ij
f k
k W p
dW p
d
dW
p
ij
d
p ij
d
p ij
d
f
ij
d dW p
ij
f
ij
h
f
ij
ij
p kl
f
kl
f k
k W p
kl
ij
kl
G
ik jl
il jk
1
9k 2
G
H ij H kl
Hij 3Kij
G J 2 sij
10
1.理想塑性材料的增量本构关系
3)Drucker-Prager模型
K
K
4
3 2
G G
K 2G 3
K 4G
K 2G 3
K 2G
0 0
0 0
0
0
3
3
3
Ce ijkl
K
2G 3
K 2G 3
2
1.理想塑性材料的增量本构关系 2.硬化材料的增量塑性本构关系 3.全量塑性本构关系
3
1.理想塑性材料的增量本构关系
一、弹性理论
应力状态
一一对应关系
应变状态
描述方法：状态对应
本构形式：全量型(应力、应变) 增量型(应力增量、应变增量)
问题： 荷载超过弹性范围之后，材料的力学行为是变形过程和变 形历史相关的，如何描述？必须发展弹塑性理论！
d
g
ij
df
f
ij
d ij
0
d
1 H
f
ij
Cijkl d kl
H
f
ij
Cijkl
g
ikl
d ij
C ep ijkl
d
kl
C ep ijkl
Cijkl
1 H
H
ij
H
kl
H
ij
Cijmn
g
mn
H kl
f
pq
C pqkl
6
1.理想塑性材料的增量本构关系
2)Prandtl-Reuss模型(J2理论)
d ad p
d
d
p ij
d p
d
f
ij
2 f f
3 ij ij
p
dij a ij ij d
d
p ij
p
d f 2 f f ij 3 kl kl
dij
f ij
a ij
ij
d
p
f ij
a ij
ij
d
p ij
2 f f 3 kl kl
h a ij ij
K 4G 3
0
0
0
0
0
0
G
0
0
0
0
0
0
G
0
0
0
0
0
0
G
11
1.理想塑性材料的增量本构关系
3)Drucker-Prager模型
H121
Cp ijkl
1
9K 2
G
H11H 22
H
2 22
对称
H11 H 33
H 22H33
H
2 33
H11H12 H 22H12 H 33 H12
H122
f
fij ij
ij
p ij
d
p ij
d
d
p ij
d
f k
k
p
d
d p
f
p
ij
0
3 ij ij
2 f f
3 ij ij
h
f
ij
ij
p ij
f
ij
f k
k
p
2 f f
3 ij 1ij8
2. 硬化材料的增量塑性本构关系
如果以塑性功 dW p 作为内变量
hd
f
ij
d ij
f k
sx2 sysx
Cp ijkl
G k2
szsx
sxy sx
s
yz
sx
szxsx
sxsy
s
2 y
szsy
sxy sy
syz sy
szx sy
sxsz
sysz
s
2 z
sxy sz
syz sz
szx sz
sx sxy
sy sxy
sz sxy
s
2 xy
syz sxy
szx sxy
sx syz
sy syz
sz syz
sxy syz
s
2 yz
szx syz
sx szx sy szx
sz szx
sxy szx
s
yz
szx
sz2x
9
1.理想塑性材料的增量本构关系
3)Drucker-Prager模型
f g I1 J2 k
d ij
C ep ijkl
d
kl
Cep ijkl
K
2G 3
1 2
E
d kk
kk
1 2
E
kk
eij
1 2G
si0j
0
d
si0j
0
d
1 2G
1
0
d
sij
1
1 1
d
2Gs 2G 0
eij
sij 2Gs
25
3. 全量塑性本构关系
比例加载条件
eij
sij 2Gs
2 3 eijeij
4 9
1 2Gs
2
3 2
sij sij
在单轴加载条件下，且泊松比 0.5 时