广东省深圳罗湖区2019--2020学年九年级上学期12月月考数学试卷(一)(Word详解版)

2019---2020学年广东深圳罗湖区初三上12月月考卷（一）详解
一.选择题（每小题3分共36分） 1. x ²-1=0的解是（ ）
A. 0
B. 1
C. 1或-1
D. 0或1
2.如图是一个空心圆柱，其俯视图是（ D ）
3.下列四幅图形中，表示两棵圣诞树在同一时刻阳光下的影子的图像可能是（ ）
4.在Rt △ABC 中，∠C=90°,BC=4,AC=3,则sinB=( ) A. 3
7
B. 4
5
C. 3
5
D. 3
4
5.二次函数y=mx ²+2x+1与x 轴有两个不同的交点，则m 的取值范围是（ ） A. m<1且m ≠0 B. m ≤1且m ≠0 C. 0<m<1 D. m<0
6.在一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的m 个小球，期中5个黑球，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，之后把它放回袋中，搅匀后再继续摸出一球，以下是利用计算机模拟的摸球试验次数不愉快
7.如果矩形的面积为8，那么它的长y 与宽x 的函数关系式的大致图像表示为（ ）
8.如图，矩形ABCD 是由三个矩形拼接成的，如果AB=8,阴影部分的面积是24，另外两个小矩形全等，设BC=x ，则下列方程正确的是（ ）
A. x(2x-8)=24
B. x(2x+8)=24
C. 8x-x(8-x)=24
D. 8x+2x(8-x)=24
9.下列命题中，不正确的是（ ） A.正方形的对角线垂直
B. 相似的两个三角形面积相等，那么这两个三角形全等
C.反比例函数y=1/x 中，y 随x 的增大而减小
D.若两个三角形任意一组对应顶点A,A`所在直线都经过同一点O ，且有OA=kOA`（k ≠0）,那么这两个三角形位似
H
G F E
A
B
C D
C
B
10.
如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，
重合部分构成一个面积为4√2的四边形，当∠ABC=45°时，则纸条的宽度是（ ） A. 2 B. 2√2 C. √2 D. 4
11.二次函数y=ax ²+bx+c 的图像如图所示，下列结论正确的是（ ） A. abc<0 B. 2a+b=0 C. 3a+c<0 D. ax ²+bx+c-3<0
12.如图，四边形OABC 是平行四边形，对角线OB 在y 轴上，位于第一象限的点A 和第二象限的点C 分别在双曲线y=k1/x 和y=k2/x 的一支上，分别过点A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，则下列结论中正确的是（ ） ①ON=OM ；②△OMA ∽△ONC ；③阴影部分面积是（k1+k2）/2；④若|k1|:|k2|=4:9,则AM:CN=4:9 A. ①②④ B. ②③ C. ①③④ D. ①④
二.填空题（每小题3分共12分） 13.若a:b=1:2，则（b+2）：（a+1）=________ 14.抛物线y=-3(1-x)²+5的顶点坐标为____________
15.如图，在等边△DEF 内作等边△EFD ，若∠FDB=90º，则S △ABC ：S △DEF=_________
16.如图，在Rt △ABC 中，∠B=90º，∠DAC=45º，AB=3，DC=5，则BD=_______
三.解答题
17.（5+4分）计算：|√2−1|−cos45°+(12
)−2−(−√2018)0 （2）解方程：x 2+2x =8
18.（2+4分）小明家客厅里装有一种开关，分别控制着A （楼梯）、B （客厅）、C （走廊）三盏灯，按下任意一个开关均可打开对应的一盏灯，因刚搬进新房不久，不熟悉情况。

（1）若小明任意按下一个开关，小明打开走廊灯的概率是______；1/3 （2）若任意按下一个开关后，再按下另两个开关中的一个，刚好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明。

19.（6分）老师带领同学们去测量学校旗杆CD 的高度，他们首先在A 处安置侧倾器，测得旗杆顶端C 的仰角为21º，然后往旗杆方向前进12米，到达B 处，此时仰角是37º，已知侧倾器高1.5米，请你计算出旗杆的高度。

（参考
数据：sin37º≈3/5,tan37º≈3/4,tan21º≈3/8）
如
133x
21
A
B
D E F
C F E E A
B
C
D
D
C
B A
C
F G
E
D B
20.（3+4分）如图，直线y=x-2与反比例函数y=k/x的图像在第一象限内交于点A，点A的横坐标为4.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设直线y=x-2与y轴交于点C，过点A作AE⊥x轴于点E，连接OA、CE，求证四边形OCEA是平行四边形.
21.（3+4分）某商店销售一款进价为每件40元的护肤品，调查发现，每件销售单价不低于40元且不高于80元时，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间存在一次函数关系，当销售单价为44元时，日销售量为72件；当销售单价为48元时，日销售量为64件。

（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设该护肤品的日销售利润为W（元），当销售单价x为多少时，日销售利润W最大，最大日销售利润是多少？
22.（2+3+3分）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（但不全等），我们把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”。

（1）如图1，已知R△ABC在正方形网格中，请你在网格上找到一点D，使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形.（标出字母，画出图形，不写做法，至少找出3个）；
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=80º，∠ADC=140º，对角线BD平分∠ABC，AD≠DC，求证：BD是四边形ABCD 的“相似对角线”；
（3）如图3，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”，∠EFH=∠HFG=30º，连接EG，若△EFG的面积为2√3，求FH 的长。

23.（3+3+3分）抛物线y=ax²+bx-4与x轴的交点坐标为A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是第一象限抛物线上一点，且S△ABC=S△BCP，求点P的坐标；
（3）抛物线上是否存在一点Q，使得点Q到y轴的距离等于点Q到直线BC的距离，如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。

答案解析
1. 解析：选C ， x ²=1，解得x=±1；
2. 解析：选D ，空心圆柱的俯视图是圆环；
3. 解析：选A.选项A ：影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子；选项B “影子的方向不相同；选项C:影子的方向不相同；选项D ：相同树高的影子是成正比例的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子；
4. 解析：选C.由勾股定理可得斜边AB=5，sin 是正弦，是对边比斜边的比值。

5. 解析：选A.抛物线与x 轴有两个不同的交点，∴b ²-4ac>0，
6. 解析：选B.考查频率估计概率，由题中表格可得，摸出黑球的概率为0.5，则5
m =0.5,m=10.
7. 解析：选B.由题可得xy=8，是反比例函数函数，x,y 是正数，故是在第一象限部分的函数图像；
8. 解析：选A.由题易得：AE=BC=x=GH ，BE=8-x=BF （BEGF 是正方形），CF=x-(8-x)=2x-8，
9. 解析：选C.反比例函数y=1/x 中，在图像的每一支，y 随x 的增大而减小。

10. 解析：选A.作AE ⊥BC 于点E ，由题可得：四边形ABCD 是菱形， ∴BC ·AE=4√2，BC=AB=√2AE ，可得AE=2，
11. 解析：选C.（1）开口向下可得：a<0，对称轴“左同右异”可得：b>0， 与轴交于正半轴可得：c>0，∴abc<0，①错误；
（2）由对称轴x=1可得：-b/(2a)=1，b=-2a,b+2a=0,②错误；
（3）当x=-1时，y=a-b+c<0，由（2）可知：b=-2a ，代入可得：3a+c<0，③正确；
y
x
O C
B A E
（4）方程ax ²+bx+c-3=0表示二次函数y=ax ²+bx+c 与直线y=3是否有交点，由图可知，有一个交点，∴ax ²+bx+c-3=0有两个相等实数根，④错误，
12. 解析：选D.（1）作AE ⊥y 轴于点E ，CF ⊥y 轴于点F ，∵四边形OABC 是平行四边形，易证△OCF ≌△BAE ，∴CF=AE ，∴ON=OM ，①正确；
（2）假设△OMA ∽△ONC 成立，由（1）可知：ON=OM ，∴△OMA ≌△ONC ，
则OA=OC ，即四边形OABC 是菱形，题目无条件支持此结论，假设不成立，∴②错误；
（3）由题易得：S △CON=-K2/2，S △OAM=K1/2，阴影部分面积是（k1-k2）/2，∴③错误；
（4）若|k1|:|k2|=4:9,则S △OAM ：S △CON=4：9，∵ON=OM ，即两三角形底相等，则面积之比会等于高之比，∴AM ：CN=4：9.④正确；
13. 解析：特殊值法，假设a=1,b=2,则原式=2
14. 解析：（1，5）
15. 解析：设BD=1,则BF=2,FD=√3, 易证△BDF ≌△CFE,则CF=BD=1,∴BC=3,∵△ABC ∽△DEF,∴S △ABC ：S △DEF=(BC/DF)²=3
16. 解析：遇到45º角又需要添辅助线的，一般是构造等腰直角三角形， ∴作DE ⊥AC 于点E ，设DE=x,则AE=x,AD=√2x 由题可得：sin ∠C =DE CD =AB AC ，即x 5=3AC ，∴AC =15x
,∴CE =
15x
−x ，在Rt △CDE 中，由勾股定理可得：x 2+
(15x −x)2=52,解得：x 2=5或45
2，∴x =√5或3√10
2
，∴AD =√10或3√5，∴BD =1或6(舍去)，∴BD=1
17. 解析：（1）原式=2；（2）x=2或-4
18. 解析： （2）列表为： ，
E
A
B C
D D C B
由表可知：共有6种等可能情况，符合条件的有2种， ∴刚好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是2/6=1/3.
19. 解析：由题可知：四边形ABGF 、ADEF 都是矩形，∴FG=AB=12,DE=AF=1.5, 在Rt △CEG 中，∠CGE=37°,∴tan37°=CE/EG ≈3/4,设CE=3x,则EG=4x ， 在Rt △CEF 中，∠CFE=21°,∴tan21°=CE/EF=(3x)/EF ≈3/8,∴EF=8x ，
∵FG=EF-EG=8x-4x=4x=12,∴x=3,∴CD=CE+ED=9+1.5=10.5,∴旗杆的高度为10.5米.
20. 解析：（1）把点A 的横坐标代入直线y=x-2中可得A 点坐标为（4，2），再代入y=k/x ， 可得反比例函数表达式为：y=8/x.
（2）当x=0时，y=-2,∴OC=2,∵AE ⊥x 轴,∴AE=2,∴OC=AE,∵AE//OC,∴四边形OCEA 是平行四边形。

21. 解析：设y 与x 的函数关系为y=kx+b,把x=44,y=72;x=48,y=64代入，可得：44k+b=72,48k+b=64,解得k=-2,b=160，∴y 与x 的函数关系是y=-2x+160(40≤x ≤80)
（2）依等量关系式：日销售利润=每件利润×日销售量”可列式为：W=(x-40)(-2x+160)=-2(x-60)²+800,∵-2<0,∴当x=60时，利润W 有最大值，最大值为800，∴当销售单价x 为60元/件时，日销售利润W 最大，最大日销售利润是800元.
22. 解析：（1）由于所画△ACD 与Rt △ABC 相似，则△ACD 也应是直角三角形，由于两个三角形不能全等，∴∠D ≠90°，∴分两种情况：∠ACD=90°、∠CAD=90°讨论相似，通过对应边成比例算出CD 或AD 的长度来确定D 点位置。

由图可得：AB=√5、BC=2√5、AC=5
①当∠ACD=90°时，∴△BAC ∽△CAD 或△BAC ∽△CDA,可得AB:BC=AC:CD 或AB:BC=CD:AC ，可得出CD=10或2.5，可确定D 点位置，如图中的D2、D4；
②当∠CAD=90°时，∴△BAC ∽△ACD 或△BAC ∽△ADC,可得AB:BC=AC:AD 或AB:BC=AD:AC ，可得出AD=10或2.5，可确定D 点位置，如图中的D1、D3； （2）只需要证明△ABD ∽△BDC 即可，∵∠ABC=80º，对角线BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠DBC=40°,∴∠A+∠ADB=140°,∵∠ADC=140°,即∠BDC+∠ADB=140°,∴∠A=∠BDC,∴△ABD ∽△BDC,∵AD ≠DC ，∴△ABD 与△BDC 不会全等,∴BD 是四边形ABCD 的“相似对角线”.
23.
解析：（1）把A 、B 两点坐标代入，即可得抛物线解析式为：y =4
3x 2−8
3x −4y=4x ²/3-8x/3-4
（2）如图1，由题可知：△ABC 与△BCP 都均可以BC 作为三角形的底边，∵S ∆ABC =S ∆BCP S △ABC=S △BCP ，∴这两个三角形的高必然相等，依“平行线间的距离处处相等”这一原理，过点A 作AP//BC ，交抛物线于点P
，此时两个
三角形的高会相等，点P 符合题意。

∵B （3，0），C （0，-4），∴直线BC 的解析式为y =4
3x −4y=4x/3-4,依“两直线平行，K 值相同”可设直线AP 的解析式为：y =4
3x +b y=4x/3+b,，它过点A ，代入A 点坐标，即可得直线AP 的
解析式为：y =4
3x +4
3y=4x/3+4/3,解联立方程：{y =43x 2−8
3
x −4
y =43
x +
4
3
y=4x ²/3-8x/3-4，y=4x/3+4/3，可解得P 点坐标为(4,20
3)（4，20/3）.
（3）一.代数论证方法：运用点到直线的距离公式解题.详见《函数几何题的两种解题方法》. 设点Q(m,4
3
m 2
−8
3
m −4),则点Q 到y 轴的距离为：|m|，点Q 到直线BC 的距离：
|43m−(43m 2−83m−4)+43
|
√(3
4
)2+(−1)2，由题可得：
|m|=
|43
m−(43
m 2−83
m−4)+43
|
√(3
4
)2+(−1)2，解得：m =
174
或74，∴Q 点坐标为(174，354)，（74，−55
12
） 二.几何论证方法：由题意可知：CQ 为∠BCO 的平分线或外角平分线.
①当CQ 为∠BCO 的平分线时，如图2，设CQ 1与x 轴交于点H ，设OD=a ，作HE ⊥BC 于点E ，易证△OCD ≌△ECD,则CE=OC=4，OD=DE=a ，BD=3-a ，BE=BC-CE=5-4=1，易证△BDE ∽△BCO ，则DE ：BE=CO ：BO ，即a:1=4:3,∴ a =4
3，∴D （4
3,0）,∴直线CD 的解析式为：y=3x-4,解联立方程：{y =4
3x 2−8
3x −4y =3x −4
，可得Q 1点坐标为：(174，35
4)
②当CQ 为∠BCO 的外角平分线时，如图2，易证CQ 2⊥CD ，作Q 2F ⊥y 轴于点F ，出现数学典型模型：一线三垂直模
型，易得：△CQ 2F ∽△DCO ，则Q 2F ：CF =CO ：DO=4：43=3，设Q 点横坐标为a,则纵坐标为−a
3−4，代入二次函数解析式得：4
3
a 2−8
3
a −4=−a
3
−4,即a:1=4:3,∴ a =7
4
，∴Q 点坐标为：(7
4
，−
5512
)
综上所述：Q 点坐标为(174，354)，（74，−55
12）。