对“平均速度”的深入理解

对“平均速度”的深入理解
一、平均速度与等效法
s
平均速度，就其定义v 来看，它是发生一段位移 s 的平均快慢程度的描述，公式变形，得
t
s vt
这实际上是把一个运动等效成一个速度为v 的匀速直线运动。

因此，平均速度实际上是把一个运动看做匀速直线运动的等效速度，是对一个运动的等效简化。

其实， 所有的平均值，都是一种对过程或数据的等效简化的处理。

二、平均速度与加权平均
一个实际的运动过程分为若干个阶段，若每个阶段都是（或者都可以看做是）匀速直线运动，则由平 均速度定义可知
s s 2 s 3 ... s n v 1
t 1 v
2
t 2
v 3t 3 ...v n t n
1 t 1 t
2 t
3 ... t n s t 1 t 2
t 3
t n
...v n
t t
v
v v 2 v
3
1
t
t
t t
由上述分析可以看出，平均速度实际上是各阶段速度对时间的加权平均值。

v v 2 v
3
...v n n
1 若
t 1
t 2
t 3 ...
t n t ，则上式可简化为求算术平均：v 。

n 三、匀变速运动的平均速度
1、由定义法推导
v 0t
a
t
v 0 v 0 a t
v 0 v t
s
t
1 2
2
v 0 at
v t 1 v
t
2 2 2
2
2、由加权平均法推导
由v
v 0
a t 可知，匀变速运动的速度随时间均匀变化，若将所研究的一段时间 t 等分为 n 等分，且
n →∞，则每一小段的速度变化极小，可视为基本不变，则可将
v i 处理成为一等差数列，则有
v v v 2 v 3
...
v n 1 n(v v n )
v v
1 1
2 1
n
n n
2
v 0 v t v 0 v 0
a t 1
其中v
n
v t ，则有
v
3、公式理解
v 0 at v t . 2 2
2 2
（1）一个匀变速运动过程的平均速度，等于这个过程的中间时刻的瞬时速度，也等于这个过程的初、 末速度的算术平均值。

（2）上述推导是用的矢量推导，并不要求速度和加速度在一条直线上，因此，上述结论不仅仅适用 于匀变速直线运动，也适用于匀变速曲线运动——（类）抛体运动。

t s v 0 v v
t
是矢量式，对于匀变速往返直线运动，一定要规定好正方向代入正负号计
（3）v
t 2
2
算；而对于（类）抛体运动而言，有且只有中间时刻的瞬时速度方向与全过程的位移方向相同，例如
①水平地面上将物体斜上抛，物体运动到最高点的速度水平，与物体从抛出到落回地面的时间相同， 则到达最高点的时间就是全过程时间的一半。

②物体从斜面上某位置将物体水平抛出，则物体离开斜面最远的位置速度平行于斜面，其时间必定是 物体再次落回斜面的时间的一半。

【例 1】（2016·全国卷Ⅲ）]一质点做速度逐渐增大的匀加速直线运动，在时间间隔 t 内位移为 s ，动能 变为原来的 9倍．该质点的加速度为( B.3s 4s
2t )
s
8s
D. t
2
A. C. t
2
2 t
2
s v 3v 2v ， a 3v v 2v ，联
立
2 t t
【解析】设这个过程的初、末速度分别为 v 、3v ，则有v t 可得 a
ts 2，选 A 。

【例 2】（2018·湖北省七市州联考）如图为利用频闪照相拍摄出的小球做平抛运动的照片，某同学利 用此照片测量出了小球在照片中各位置间的高度差和直线距离，比如 A 、B 两位置间的高度差记为 h AB ，A 、 B 两位置间的直线距离记为 s AB ，已知频闪照相的拍照时间间隔为 T ．由上述测量 量可求得小球平抛运动的初速度大小 v 0=
，经过 D 点时的瞬时速度大小 v D
=。

【解析】选 A 到 D 过程进行分析，则v 0
x s A D h AD2；而 D 点为 C
2 AD
3T
3T
到 E 过程的中间时刻，则有v D s2CE T 。

四、三组相关概念的区别
1、平均速度与平均速率
s
平均速率＝路程÷时间：v
l 平均速度＝位移÷时间：v
t
t
由上述定义可以看出：
（1）两者关注的内容不同，一个关注的位置变动的结果——位移，一个关注的是位置变动的细节— —轨迹的长度——路程；一个是把物体的运动等效看做一个由初位置指向末位置的匀速直线运动，一个是 把物体的运动等效看做沿轨迹线做速率不变的运动。

（2）除了单向直线运动中位移大小等于路程外，对往返直线运动以及曲线运动来说，位移大小都是 小于路程的，因此对于往返直线运动和曲线运动来说，平均速度大小都是小于平均速率的。

【例】运动员绕操场跑步一圈，运动员位移为零，平均速度为零，但是平均速率显然不等于零。

2、平均速度与瞬时速度
s
t
（1）瞬时速度定义：v lim t 0
由这个定义可知：
①一段时间内平均速度的方向，是轨迹线上初位置到末位置的割线的方向； 而瞬时速度的方向则是该时刻的轨迹线的切线方向；
②对于直线运动，在 x-t 图像上，平均速度是割线的斜率，瞬时速度是切线 的斜率。

（2）瞬时速度的测量
①瞬时速度可看做一个极短时间（ t 0）内的平均速度，则测量瞬时速度，可以用一个极短时间
（t 0）的平均速度近似替代：v s ，光电门的方法就是这个原理：v d
t
t
②对于匀变速运动，可以用一段时间内的平均速度来代表中间时刻的瞬时速
度，即v
s v t。

t 2
③当然，一切和瞬时速度相关的方便测量的物理量，都可以用来间接测量瞬 时速度，比如汽车的速度计——利用离心力与瞬时速度的关系测定瞬时速度，在 天文学、医学检查中利用光波、声波的多普勒效应来测定瞬时速度等。

3、对时间的平均速度和对长度的平均速度
在导体棒旋转切割磁感线时的感应电动势的计算中，涉及到对长度的平均速度的概念，具体如下： 如图所示，导体棒旋转切割磁感线的情况，将导体棒 AB 分成 n 份，第 i 份的 长度为l i ，对应的速度为 v i ，则感应电动势为
E
B l 1v 1 B l 2v 2 B l 3v 3 ...
B l n v n B(l 1v 1 l 2v 2 l 3v 3
... l n v n )
若定义
v
l 1v 1 l 2v 2 l 3v 3 ...
l n v n l 1v 1 l 2v 2 l 3v 3
... l n v n
l l l ... l
n l
1 2 3 为速度对导体棒长度的平均值，则有 E Blv 。

显然，在这个问题中，速度对长度的平均值与对时间的平均值是截然不同的概念。

顺便说一下，若是将导体棒 AB 分成等长的 n 份，每一份的长度为 l
l ，则由
n
v i r i
(r A i Δl)可知，{v }为一等差数列，则
i
v
lv 1
lv 2 lv 3 ... lv n l 1 n(v 1 v n )
v 1
v n l (v 1v 2v 3 ...v n ) n
l 2 2
n →∞时，v 1=v A ，v N =v B ，则有 E Blv Bl v A v B。

2
若 A 点就是转轴 O ，则 v =0，有 E Blv Bl v Bl l 1 Bl
2 。

2
B
B 2 A
2 说明：本文收录于陈恩谱老师《物理原来可以这样学》2019年 6月第三次修订版。