浙江省金衢十二校2020年数学中考模拟联考试卷 (解析版)

浙江省金衢十二校2020年数学中考模拟联考试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1.在－2，－1，0，1这四个数中，最小的数是( )
A. 0
B. －1
C. －2
D. 1 2.下列运算正确的是（ ）
A. (ab 3)2=a 2b 6
B. 2a+3b=5ab
C. 5a 2-3a 2=2
D. (a+1)2=a 2+1
3.截止北京时间5月28日，全球新冠肺炎确诊病例逾565万例，将数565万用科学记数法表示为( ) A. 565×104 B. 56.5×105 C. 0.565×107 D. 5.65×106
4.如图，AB ∥CD ，∠B ＝75°，∠E ＝27°，则∠D 的度数为( )
A. 45°
B. 48°
C. 50°
D. 58° 5.不等式组 {x +4>3
4−x >1 的解集在数轴上表示为( )
A.
B.
C. D.
6.在RtΔABC 中，∠C=90°，如果sinA= 1
3 ，那么sinB 的值是( ) A.
2√2
3
B. 2√2
C. √2
4
D. 3
7.某几何体的三视图如图所示，则下列说法错误的是( )
A. 该几何体是长方体
B. 该几何体的高是3
C. 该几何体的表面积为18平方单位
D. 底面有一边的长是1
8.数学课上，老师让学生尺规作图画Rt △ABC ，使其斜边AB=c ，一条直角边BC=a.小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB 是直角的依据是( )
A. 勾股定理
B. 勾股定理的逆定理
C. 直径所对的圆周角是直角
D. 90°的圆周角所对的弦是直径
9.学校有一块长30m ，宽20m 的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小阳同学设计方案如图所示，求花带的宽度.设花带的宽度为xm ，则可列方程为( )
A. (30－x)(20－x)＝ 34 ×20×30
B. (30－2x)(20－x)＝ 1
4 ×20×30 C. 30x+2×20x ＝ 1
4 ×20×30 D. (30－2x)(20－x)＝ 3
4 ×20×30
10.如图，直线l 1的解析式是y ＝ √3
3 x ，直线l 2的解析式是y ＝ √3 x ，点A 1在l 1上，A 1的横坐标为 3
2 ，
作A 1B 1⊥l 1交l 2于点B 1 ， 点B 2在l 2上，以B 1A 1、B 1B 2为邻边在直线l 1、l 2间作菱形A 1B 1B 2C 1 ， 延长B 2C 1交l 1于点A 2 ， 点B 3在l 2上，以B 2A 2、B 2B 3为邻边在l 1、l 2间作菱形A 2B 2B 3C 2 ， ………按照此规律继续作下去，则线段A 2020B 2020长为( )
A. 22019
B. (32)2019
C. (3
2)2020 D. (√32
)2020
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11.若 √x −6 在实数范围内有意义，则x 的取值范围为________. 12.如果 a −b +3=0 ，那么代数式 2−3a +3b 的值是________.
13.如图是一个圆锥形冰淇淋外壳(不计厚度)，已知其母线长为12cm ，底面圆半径为3cm ，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于________cm 2.
14.已知二次函数的图象经过点P(2,2)，顶点为O(0,0)将该图象向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为________.
15.如图，已知直线y=1
2x与反比例函数y=8
x
（x>0）图像交于点A，将直线向右平移4个单位，交反
比例函数图像y=8
x
（x>0）于点B，交y轴于点C，连结AB、AC，则△ABC的面积为________.
16.取一张边长为4的正方形纸折五角星.操作步骤如下：
①按如图1、图2的方法对折两次，将图2展开后得到图3；
②如图4所示折出正方形ABCD对角线的交点O，将纸片折叠，使得点H与点O重合，折痕为EF，再将四边形EFOG折叠，使得EF与FO重合；
③最后再将∠CFO沿着FO折叠，得到图5，沿图中虚线PM剪一刀.展开得图6.
（1）若图6中∠ABC=36°，则图5中∠MPN=________°；
（2）小王认为此时∠OFC=36°.小黄同学提出了质疑！若已知sin36°= √5+1
4
.请求出sin∠OFC=________，这样就可以知道谁的判断是正确的.
三、解答题（本题共8小题，共66分）
17.计算：
18.解方程：3x
x+1
=2
19.定义：在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.已知图1，图2中的每一个小方格的边长都为1.
（1）已知△ABC的三边长为AB= √5，BC= √10，AC= 5.
①在图1中画一个符合题意的△ABC（C点位置已定）；
②只用无刻度的直尺，在图1中作出△ABC的边BC上的高线；
（2）在图2中，画出一个与△ABC的面积相等但不全等的三角形.
20.某高中学校为使高一新生入校后及时穿上合身的校服，现提前对某校九年级（1）班学生即将所穿校服型号情况进行摸底调查，并根据调查结果绘制如图两个不完整的统计图（校服型号以身高作为标准，共分为6种号）.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）该班共有多少名学生？
（2）在条形统计图中，请把空缺部分补充完整；在扇形统计图中，请计算185型校服所对应的扇形圆心角的大小；
（3）现在要从2男2女抽取两位学生去试穿校服，问抽到1男1女的概率为多少？
21.平行四边形ABCD的对角线相交于点M，ΔABM的外接圆圆心O 恰好落在AD边上，若∠BCD=45°.
（1）求证：BC为⊙O切线；
（2）求∠ADB的度数.
22.一隧道内设双行公路，隧道的高MN为6米.下图是隧道的截面示意图，并建立如图所示的直角坐标系，它是由一段抛物线和一个矩形CDEF的三条边围成的，矩形的长DE是8米，宽CD是2米.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）为了保证安全，要求行驶的车辆顶部与隧道顶部至少要有0.5米的距离.若行车道总宽度PQ（居中，两边为人行道）为6米，一辆高3.2米的货运卡车（设为长方形）靠近最右边行驶能否安全？请写出判断过程；
（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABHG，使H、G两点在抛物线上，A、B两点在地面DE 上，设GH长为n米，“脚手架”三根木杆AG、GH、HB的长度之和为L，当n为何值时L最大，最大值为多少？
23.城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走.可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|.
（1）【数学理解】
①已知点A(－2，1)，则d(O，A)＝________.
②函数y＝－2x+4的图象如图①所示，B是图象上一点，d(O，B)＝3，则点B的坐标是________.
(x＞0)的图象如图②所示.求证：该函数图象上不存在点C，使d(O，C)＝3.
（2）函数y＝4
x
（3）【问题解决】
某市要修建一条通往一圆形景观湖的道路，如图③，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边某点P处，如图建立坐标系，圆心O(5，3)，半径为√2，求修建道路距离d(O，P)的取值范围.
24.在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点E是直线AB上的一个动点，连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交射线DA于点F.
（1）如图1，点E在线段AB上，求证：△ABF∽△BCE；
（2）如图2，当点E在线段AB上运动到使BE=2AE时，连接DG，求DG的长；
（3）在点E的运动过程中，是否存在使D、F、G、C四点构成的四边形为轴对称图形，若存在，求出相应AE的长，若不存在，请说明理由.
答案解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1.【答案】C
【考点】有理数大小比较
【解析】【解答】解：∵－2＜－1＜0＜1，
∴最小的数是-2.
故答案为：C.
【分析】正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数相比较，绝对值大的反而小.据此判断即可.
2.【答案】A
【考点】完全平方公式及运用，合并同类项法则及应用，积的乘方
【解析】【解答】解：A、(ab3)2=a2b6，故A符合题意；
B、2a+3b不能合并，故B不符合题意；
C、5a2-3a2=2a2，故C不符合题意；
D、(a+1)2=a2+2a+1 ,故D不符合题意；
故答案为：A
【分析】利用积的乘方运算法则，可对A作出判断；只有同类项才能合并，可对B、C作出判断；根据完全平方公式可对D作出判断。

3.【答案】D
【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数
【解析】【解答】解： 565万 =5650000=5.65×106. 故答案为：D.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数.确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数，据此判断即可. 4.【答案】 B
【考点】平行线的性质，三角形的外角性质 【解析】【解答】解：∵AB ∥CD ，∴∠B=∠1，
∵∠1=∠D+∠E ，
∴∠D=∠B-∠E=75°-27°=48°. 故答案为：B.
【分析】根据两直线平行，同位角相等，可得∠B=∠1，根据三角形外角的性质可得∠1=∠D+∠E ，从而可得∠D=∠B-∠E ，据此即可求出结论. 5.【答案】 B
【考点】在数轴上表示不等式（组）的解集，解一元一次不等式组 【解析】【解答】解： {
x +4>3①
4−x >1② ， 解①得x ＞-1， 解②得x ＜3，
∴不等式组的解集为-1＜x ＜3， 在数轴上表示为：
【分析】先分别解出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”的规律找出不等式组的解集，再利用数轴画出解集即可. 6.【答案】 A
【考点】勾股定理，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵sinA=BC
AB =1
3
，
∴可设BC=x，AB=3x，
∴AC=√AB2−BC2=2√2x，
∴sinB=AC
AB =3√2
3
.
故答案为：A.
【分析】如图，由sinA=1
3，可设BC=x，AB=3x，利用勾股定理求出AC的长，由sinB=AC
AB
即可求出结论.
7.【答案】C
【考点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由三视图可知：该几何体是长方体，且长、宽、高分别为2，1，3，故A、B、D正确，不符合题意；
几何体的表面积为：（2×1+2×3+1×3）×2=22，故C错误，符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据三视图都是长方形，可得该几何体是长方体，据此判A；由三视图中的数据，可得长方体的长、宽、高分别为2，1，3，据此判断B，C；利用长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高）×2计算并判断
C.
8.【答案】C
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】解：由作图痕迹可知点O为AB的中点，以O为圆心，AB为直径作圆O，接着以B为圆心、BC的长为半径画弧交圆O于一点C，连接AC，则∠ACB=90°，理由：直径所对的圆周角是直角.
故答案为：C.
【分析】由作图痕迹可知AB是直径，利用直径所对的圆周角是直角，可得∠ACB=90°，据此判断即可.
9.【答案】D
【考点】一元二次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设花带的宽度为xm，
∴空白矩形的长(30-2x)m，宽为（20-x）m，
∴(30－2x)(20－x)＝3
4
×20×30 .
故答案为：D.
【分析】设花带的宽度为xm，可得空白矩形的长(30-2x)m，宽为（20-x）m，根据矩形的面积=长×宽列出方程即可.
10.【答案】 B
【考点】正比例函数的图象和性质，菱形的性质 【解析】【解答】解：过点A 1作A 1D ⊥x 轴，
直线l 1的解析式是y ＝ √33
x ，直线l 2的解析式是y ＝ √3 x ，
∴直线l 1与x 轴的夹角为30°，直线l 2与x 轴的夹角为60°， ∴∠B 1OA 1=∠A 1OD=30°， ∵ A 1的横坐标为 3
2 ， ∴OA 1=OD
cos30°=32√32
=√3；
在Rt △A 1B 1O 中，
A 1
B 1=OA 1tan30°=√3×√3
3=1;
∵ 菱形A 1B 1B 2C 1 ，
∴A 1B 1=B 2C 1=A 1C 1=1，A 1B 1∥A 2B 2 ， OB 1∥A 1C 1 ， ∴∠C 1A 2O=90°，∠C 1A 1A 2=30°， ∴A 1C 1=1
2A 1C 1=1
2 ∴A 2B 2=1+12=32; 同理可得：
A 3
B 3=32
+32
×12
=94
=(32)2
A 4
B 4=94
+94
×12
=278
=(32)3
…A n B n =(32
)n−1
∴A 2020B 2020=(32)
2019
.
故答案为：B.
【分析】过点A 1作A 1D ⊥x 轴，利用两函数解析式可知直线l 1与x 轴的夹角为30°，直线l 2与x 轴的夹角为60°，由此可求出∠B 1OA 1=∠A 1OD=30°，利用解直角三角形求出点OA 1的长，在Rt △A 1B 1O 中，利用解
直角三角形求出A1B1的长；利用菱形的性质易证A1B1=B2C1=A1C1=1，A1B1∥A2B2，OB1∥A1C1，就可求出A1C1，从而可求出A2B2的长，A3B3，A4B4的长，寻找规律可得到A n B n的长，由此规律可求解。

二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11.【答案】x≥6
【考点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x-6≥0，解得x≥6.
故答案为：x≥6.
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此解答即可.
12.【答案】11
【考点】代数式求值
【解析】【解答】解：∵a-b+3=0，∴a-b=-3，
∴原式=2-3（a-b）=2-3×（-3）=11.
故答案为：11.
【分析】由a-b+3=0，可得a-b=-3，将原式变形为2-3（a-b），然后整体代入计算即可.
13.【答案】36 π
【考点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：底面圆的周长为：2π×3=6πcm，
π×12=36πcm2.
故答案为：36π.
【分析】先求出底面圆的周长，即得侧面展开图扇形的弧长，直接利用弧长公式
(x−4)2
14.【答案】y=1
2
【考点】二次函数图象的几何变换，待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：设原来的抛物线解析式为：y=ax2(a≠0)，
把P(2,2)代入，得2=4a，
，
解得a=1
2
x2，
故原来的抛物线解析式是：y=1
2
(x−b)2，
设平移后的抛物线解析式为：y=1
2
(2−b)2，
把P(2,2)代入，得2=1
2
解得b=0(舍去)或b=4，
(x−4)2。

所以平移后抛物线的解析式是：y=1
2
(x−4)2。

故答案是：y=1
2
【分析】利用待定系数法求出原来的抛物线的解析式，设向右平移了b 个单位，根据点的坐标的平移的规律得出平移后新抛物线的顶点坐标（-b,0）,由于平移不会改变原抛物线的开口方向及大小，故二次项的系数不会发生变化，从而设出平移后新抛物线的顶点式，再代入点P 的坐标，求解并检验即可求出b 的值，从而得出答案。

15.【答案】2√5+2
【考点】一次函数图象与几何变换，反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：联立{y =12x y =8x
) ， 解得{x =4y =2)或{x =−4y =−2), ∵点A 在第一象限，∴A （4,2），
由题意得平移后的解析式y=12x-2，∴C （0，-2），
联立{y =12x −2y =8x ) ， 解得{x =2+2√5y =√5−1)或{x =2−2√5y =−√5−1) ， ∵点B 在第一象限，∴B （2+2√5 ， √5−1），
连接OB ，∵OA ∥BC ，
∴ △ABC 的面积 （2+2√5）=2√5+2.
故答案为：2√5+2.
【分析】联立{y =12x y =8x
)解出方程组的解，可得A （4,2），利用直线平移的性质求出平移后的解析式y=12x-2，可求出C （0，-2）.联立{y =12x −2y =8x
)解出方程组的解，可得B （2+2√5 ， √5−1），连接OB ，由OA ∥BC ，可得△ABC 的面积 = △OBC 的面积，利用三角形的面积公式求出△OBC 的面积即可.
16.【答案】 （1）18
（2）35
【考点】正方形的性质，翻折变换（折叠问题），锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（1）由图5和图6可知∠ABC=2∠MPN=36°，
∴∠MPN=36°÷2=18°；
（2）过点O 作OM ⊥BC 于点M ，
由题意可知MC=MO=MB=12BC=12HB 。

OF=FH=x
设BM=k ，则MH=3k
在Rt △OFM 中
OM=k ，OF=HF=x ，MF=3k-x
∴k 2+（3k-x ）2=x 2
整理得：6kx=10k 2
∴x=53k
∴sin ∠OFC =k 53k =35 ∴∠OFC≠36°
【分析】（1）观察图形，利用折叠的性质，可知∠ABC=2∠MPN ，代入计算可求解。

（2）过点O 作OM ⊥BC 于点M ，由题意可知MC=MO=MB=12BC=12HB 。

OF=FH=x ，由此设BM=k ，则MH=3k ，利用勾股定理建立方程，可求出x 的值，再利用解直角三角形可得到sin ∠OFC 的值。

三、解答题（本题共8小题，共66分）
17.【答案】 解: =2－ √3 +3 √3 +1
=3+2 √3
【考点】实数的运算，特殊角的三角函数值
【解析】【分析】利用负整数指数幂及零指数幂的性质，二次根式的性质，特殊角的三角函数值将原式简化，然后进行实数运算即可.
18.【答案】 解: x=2
【考点】解分式方程
【解析】【解答】解：3x=2(x+1)，
3x=2x+2，
∴x=2，
经检验x=2是原分式方程的解.
【分析】利用去分母将分式方程化为整式方程，解出整式方程并检验即可.
19.【答案】 （1）略
（2）略
【考点】全等三角形的性质，勾股定理，作图—复杂作图
【解析】【解答】解：（1）①如图，△ABC即为所求；
②如图，线段AF即为BC边上的高；
（2）如图，三角形ABC即为所求；
【分析】（1）①画出满足AB=√5，BC=√10，AC=5的三角形ABC即可；
②如图，延长CB交格点D，连接格点AE交CD于F，则AF⊥CD ,则 AF即为△ABC的边BC上的高线
（2）如图，△ABC即为所求.
20.【答案】（1）解: 50
（2）解: 10，2 14.4 °
（3）解: 2
3
【考点】扇形统计图，条形统计图，列表法与树状图法
【解析】【解答】解：（1）15÷30%=50（名）
∴该班共有50名学生 .
（2）175型人数：50×20%=10（名）；185型人数：50-3-15-15-10-5=2（名），
补图如下：
=14.4°；
185型校服所对应的扇形圆心角为：360°×2
50
（3）树状图如下:
由树状图可知：共有12种等可能结果，其中抽到1男1女的有8种，
.
∴抽到1男1女的概率为2
3
【分析】（1）利用165型的人数除以其百分比即得该班共有学生人数；
（2）分别求出175型人数，185型人数，然后补图即可；
（3）利用树状图列举出共有12种等可能结果，其中抽到1男1女的有8种，利用概率公式计算即可.
21.【答案】（1）略
（2）30°
【考点】平行四边形的性质，切线的判定
【解析】【解答】解：（1）连接OB ，
在平行四边形ABCD 中，∠BCD=45°，∴∠OAB=45°，AD ∥BC
∵OA=OB ，∴∠OAB=∠OBA=45°，
∴∠AOB=90°，
∵AD ∥BC ，∴∠OBC=∠AOB=90°，
∴OB ⊥BC ，∴BC 为⊙O 切线；
（2）连接OM ，
在平行四边形ABCD 中，BM=DN ，
∵∠BOD=∠AOB=90°，
∴OM=1
2BD ，
∵OB=OM ，∴OB=12BD ，
∴∠ADB=30°.
【分析】（1）利用平行四边形的性质可得∠OAB=∠BCD=45°，AD ∥BC ，根据等边对等角可得∠OAB=∠OBA=45°，利用三角形内角和可得∠AOB=90°，根据平行线的性质可得∠OBC=∠AOB=90°，根据切线的判定定理即证；
（2）利用平行四边形的性质可得BM=DN ，利用直角三角形的性质可得OM=12BD ，从而可得OB=12BD ，根据含30°直角萨那囧仙的性质即可求出结论.
22.【答案】 （1）解: y =−14x 2+4
（2）解:x=3,y= 74 , 74 +2- 12 =3.25 > 3.2,能安全通过……
（3）解: L= −1
8
n2+n+12,当n=4时，L最大=14
【考点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：（1）由题意得M（0,4），F（4,0）可设抛物线的解析式为y=ax2+4，
将F（4,0）代入y=ax2+4中，得a=-1
4
，
∴抛物线的解析式为y=-1
4
x2+4；
（2）当x=3,y=7
4
,
>3.2,∴能安全通过；
（3）由GH=n，可设H(n
2,−n2
16
+4)，
∴GH+GA+BH=n+（−n2
16+4）×2+2×2= −1
8
n2+n+12,
∴L=−1
8
n2+n+12，
∵a＜0，抛物线开口向下，
∴当n=-b
2a
=4时，L有最大值，最大值为14.
【分析】（1）由题意得M（0,4），F（4,0）利用待定系数法求出解析式即可；
（2）求出当x=3,y=7
4
, 3.2，从而判断即可；
（3）由GH=n，可设H(n
2,−n2
16
+4)，从而求出L=−1
8
n2+n+12，利用二次函数的性质求出最值即可.
23.【答案】（1）3；（1，2）（7
3，−2
3
）
（2）解: 假设y＝x,y） ,使d(O，C)＝3.
∴|x−0|+|4
x
−0|=3,
∵x＞0，∴|x−0|+|4
x −0|=x+4
x
=3，
∴x2-3x+4=0，∴△=b2-4ac=-7＜0，
∴方程无实根，∴该函数图象上不存在点C，使d(O，C)＝3. （3）解: 如图，
当到点P 2时，最近；
∴点P 2（5，3-√2）， 当到点P 1时，最远；
∴点P 1（5+√2 ， 3），
∴ d(O ，P 1) =8+√2；d(O ，P 2) =8-√2；
∴8-√2≤d≤8+√2
【考点】坐标与图形性质，一次函数的图象，反比例函数的图象，两点间的距离，定义新运算
【解析】【解答】解：（1）① d(O ，A) =|0+2|+|0−1|=3；
②设B （x,y ）,由新定义可得： d(O ，B) =|0−x |+|0−y |=3,即得|x |+|2x −4|=3
当0＜x ＜2，x-(2x-4)=3,解得x=1,y=2，∴B (1,2),
当x ＞2时，x+(2x-4)=3,解得x=73,y=−23 ， ∴B （73 ， −2
3），
∴B (1,2)或（73 ， −23）；
【分析】（1）①直接根据定义新公式解答即得；②设B （x,y ）由于点B 在y ＝－2x+4的图象上，即得B （x,－2x+4） ,根据公式得 d(O ，B) =|x |+|2x −4|=3 ， 分两种讨论①当0＜x ＜2②当x ＞2时，分别解答即可；
（2））假设y ＝ 4x (x ＞0)的图象上存在点C （x,y ） ,使d(O ，C)＝3.利用公式可得|x −0|+|4x
−0|=3 ， 从而可得x 2-3x+4=0，由于△＜0，可得方程无实根，据此可得 该函数图象上不存在点C ，使d(O ，C)＝3. （2）假设y ＝ 4x (x ＞0)的图象上存在点C （x,y ） ,使d(O ，C)＝3，可得到关于x 的方程，将方程整理可得到x 2-3x+4=0，利用一元二次方程根的判别式可得到此方程无解，由此可作出判断。

（3）当到点P 2时，最近；可得到点P 2（5，3-√时，最远；可得到点P 1（5+√再求出d(O ，P 1) 和d(O ，P 2)，就可求出d 的取值范围。

24.【答案】 （1）证明： 在矩形ABCD 中 ∠A=∠EBC=90°，∴∠BCE+∠CEB=90°，
∵ BF ⊥CE ，∴∠BGE=90°，∴∠EBG+∠GEB=90°，
∴∠BCE=∠EBG ，
∴ △ABF ∽△BCE ；
（2）解: ∵BE=2AE ，AB=3，
∴AE=1，BE=2，
在Rt △BEC 中，BE=2，BC=4，由勾股定理得EC=2√5 ， ∵tan ∠BCE=BE BC =12=BG GC ， ∴可设BG=x ，CG=2x ， 在Rt △BGC 中，BC=4，BG 2+CG 2=BC 2 ，
解得x=4√55, 即得GC=8√55 ， 过点G 作GH ⊥CD ，
∵AB ∥CD ，∴∠HCG=∠CEB ，
∴sin ∠GCH=GH CG =sin ∠CEB=CB CE =42√5,∴GH=16
5 ， cos ∠GCH=CH CG =cos ∠CEB=BE CE =2√5,∴CH=85 ， ∴DH=CD-CH=7
5 ， 在Rt △DGH 中，DG=√DH 2+GH 2=√3055
. （3）解: 如图，当点E 运动到BA 的延长线上时，CD=CG=3，DF=FG 时，
∵矩形ABCD ，BF ⊥CE ，
∴∠EBC=∠CGB=90°，∠GCB=∠GCB ，
∴△CGB ∽△CBF ，
∴CG BC =BC CE 即34=4CE
解之：CE =16
3
∴EG =EC −CG =16
3−3=7
3； 同理可证△EGB ∽△EBC ，
∴EG BE =BE CE 即7
3
BE
=BE 163 解之：BE =43√7
∴AE =BE −AB =4
3√7−3；
如图，当点E 运动到AB 的延长线上时，则DC=CG=3，
同理求出BE=4
3
√7
∴AE=AB+BE=4
3
√7+3；
当点E在线段AB上（不与点B重合），不存在；
当点E与点B重合，则点G于点B重合，点F于点A重合，∴AE=3.
∴AE的长为4
3√7+3或4
3
√7−3或3.
【考点】勾股定理，矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定，锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠BCE=∠EBG，由∠A=∠EBC=90°，可证△ABF∽△BCE；（2）过点G作GH⊥CD，由BE=2AE，可得AE=1，BE=2，在Rt△BEC中由勾股定理得EC=2√5，
tan∠BCE=BE
BC =1
2
=BG
GC
，∴可设BG=x，CG=2x，在Rt△BGC中利用勾股定理建立关于x的方程，解出x的
值，即得GC=8√5
5
，由AB∥CD，可得∠HCG=∠CEB，利用等角三角函数值等及解直角三角形求出GH，CH的长，从而求出DH的长，在Rt△DGH中，利用勾股定理即可求出DG的长.
（3）当点E运动到BA的延长线上时，利用轴对称图形的性质可知CD=CG=3，DF=FG时，利用矩形的性质和垂直的定义可证得∠EBC=∠CGB=90°，∠GCB=∠GCB，由此可以推出△CGB∽△CBF，利用相似三角形的对应边成比例，可求出CE的长，继而可求出EG的长，再证明△EGB∽△EBC，利用相似三角形的对应边成比例，求出BE的长，然后求出AE的长；如图，当点E运动到AB的延长线上时，则DC=CG=3，利用同样的方法可求出BE的长，然后根据AE=BE+AB，可求出AE的长；当点E在线段AB上（不与点B重合），不存在；当点E与点B重合，则点G于点B重合，点F于点A重合，可得到AE=AB，即可求出AE的长，综上所述可得到符合题意的AE的长。