2018大二轮高考总复习文数文档：解答题5 选修4-4(坐标系与参数方程)

π (2)设点 A 的极坐标为 2，3，点 B 在曲线 C2 上，求△OAB 面积的最大值． 解：(1)设 P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．
4 由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝cos θ. 由|OM|·|OP|＝16 得 C2 的极坐标方程为 ρ＝4cos θ(ρ>0)． 因此 C2 的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)． (2)设点 B 的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)． 由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB 的面积
Error!(t 为参数)． (1)若 a＝－1，求 C 与 l 的交点坐标； (2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为 17，求 a. x2 解：(1)曲线 C 的普通方程为 9 ＋y2＝1. 当 a＝－1 时，直线 l 的普通方程为 x＋4y－3＝0.
由Error!
解得Error!或Error!
| | 1
π
sinα－
S＝2|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α·
3
| | π 3
sin2α－ －
＝2
3 2 ≤2＋ 3.
π 当 α＝－12时，S 取得最大值 2＋ 3.
所以△OAB 面积的最大值为 2＋ 3.
2．(2016·全国乙卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为Error!(t 为参数，a>0)，
．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 ρ＝2sinθ. (1)判断直线 l 与圆 C 的交点个数； (2)若圆 C 与直线 l 交于 A，B 两点，求线段 AB 的长度．
解：(1)∵直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数)． ∴消去参数 t 得直线 l 的普通方程为 3x＋y－1＝0， ∵圆 C 的极坐标方程为 ρ＝2sin θ，即 ρ2＝2ρsin θ， ∴由 ρ2＝x2＋y2，ρsin θ＝y，得圆 C 的直角坐标方程为 x2＋y2－2y＝0. ∵圆心(0,1)在直线 l 上， ∴直线 l 与圆 C 的交点个数为 2. (2)由(1)知圆心(0,1)在直线 l 上，
1．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系 xOy 中，直线 l1 的参数方程为Error!(t 为参数)，直线
l2 的参数方程为Error!(m 为参数)．设 l1 与 l2 的交点为 P，当 k 变化时，P 的轨迹为曲线 C.
(1)写出 C 的普通方程； (2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 l3：ρ(cos θ＋sin θ) － 2＝0，M 为 l3 与 C 的交点，求 M 的极径． 解：(1)消去参数 t 得 l1 的普通方程 l1：y＝k(x－2)；
常考热点——参数方程与极坐标的综合
几种常见曲线的参数方程
(1)圆：以 O′(a，b)为圆心，r 为半径的圆的参数方程是Error!其中 α 是参数．
当圆心在(0,0)时，方程为Error!其中 α 是参数． x2 y2
(2)椭圆：椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的参数方程是Error!其中 φ 是参数． x2 y2
1 消去参数 m 得 l2 的普通方程 l2：y＝k(x＋2)． 设 P(x，y)，由题设得Error!
消去 k 得 x2－y2＝4(y≠0)， 所以 C 的普通方程为 x2－y2＝4(y≠0)． (2)C 的极坐标方程为 ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)，
联立Error!
标方程的互化、三角恒等变换·T23
答题形式出现，
极坐标方程与参数方程的互化、参数方程的几何意 难度中等，备
义·T23
考此部分内容
参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和直角坐 时应注意转化
标方程的互化·T23
思想的应用.
参数方程的求法、三角函数的应用·T23
基本考点——极坐标方程
1．圆的极坐标方程 若圆心为 M(ρ0，θ0)，半径为 r，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为 r：ρ＝r； (2)当圆心位于 M(a,0)，半径为 a：ρ＝2acos θ；
曲线 C1，求曲线 C1 上的点到直线 l 的距离的最小值． 解：(1)由 ρ＝4cos θ，得出 ρ2＝4ρcos θ，化为直角坐标方程 x2＋y2＝4x，
即曲线 C 的方程为(x－2)2＋y2＝4，直线 l 的方程是：x＋y＝0.
1
(2)将曲线 C 横坐标缩短为原来的2，再向左平移 1 个单位，得到曲线 C1 的方程为
－a＋1 由题设得 17 ＝ 17，
所以 a＝－16.
综上，a＝8 或 a＝－16.
2．(2017·大庆二模)在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数)，以原
点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 ρ＝asin θ.
(1)若 a＝2，求圆 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程； (2)设直线 l 截圆 C 的弦长等于圆 C 的半径长的 3倍，求 a 的值． 解：(1)当 a＝2 时，ρ＝asin θ 转化为 ρ＝2sin θ， 整理成直角坐标方程为：x2＋(y－1)2＝1，
3．(2017·河南六市一模)在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数)若
以 O 点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝4cos θ.
(1)求曲线 C 的直角坐标方程及直线 l 的普通方程；
1 (2)将曲线 C 上各点的横坐标缩短为原来的2，再将所得曲线向左平移 1 个单位，得到
得 cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．
1
9
1
故 tan θ＝－3，从而 cos2θ＝10，sin2θ＝10.
代入 ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4 得 ρ2＝5，
所以交点 M 的极径为 5.
2．(2017·承德二模)在直角坐标系 xOy 中，圆的参数方程为Error!(θ 为参数)，直线 C1
π (3)直线过 M(b, 2)且平行于极轴：ρsin θ＝b.
1．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立 极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为 ρcos θ＝4.
(1)M 为曲线 C1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程；
第一单元 高考中档大题突破 解答题 05: 选修 4－4(坐标系与参数方程)
年份 2017
2016 2015 2014 2013
卷别 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅲ卷 甲卷 乙卷 丙卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷
具体考查内容及命题位置
命题分析
轨迹方程的求法、直角坐标方程与极坐标方程的互
化，三角形面积计算及三角恒等变换·T22
极坐标方程与普通方程的互化技巧 (1)巧用极坐标方程两边同乘以 ρ 或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有 ρcos θ，ρsin θ，ρ2 的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程． (2)巧借两角和差公式，转化 ρsin(θ±α)或 ρcos(θ±α)的结构形式，进而利用互化公式得 到普通方程． (3)将直角坐标方程中的 x 转化为 ρcos θ，将 y 换成 ρsin θ，即可得到其极坐标方程．
径的圆． 将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 代入 C1 的普通方程中，得到 C1 的极坐标方程为 ρ2－2ρsin
θ＋1－a2＝0. (2)曲线 C1，C2 的公共点的极坐标满足方程组 Error!
若 ρ≠0，由方程组得 16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0， 由已知 tan θ＝2，可得 16cos2θ－8sin θcos θ＝0， 从而 1－a2＝0，解得 a＝－1(舍去)，a＝1. 当 a＝1 时，极点也为 C1，C2 的公共点，在 C3 上． 所以 a＝1.
在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ＝4cos θ. (1)说明 C1 是哪一种曲线，并将 C1 的方程化为极坐标方程； (2)直线 C3 的极坐标方程为 θ＝α0，其中 α0 满足 tan α0＝2，若曲线 C1 与 C2 的公共点都
在 C3 上，求 a. 解：(1)消去参数 t 得到 C1 的普通方程 x2＋(y－1)2＝a2，则 C1 是以(0,1)为圆心，a 为半
π (3)当圆心位于 M(a, 2)，半径为 a：ρ＝2asin θ. 2．直线的极坐标方程 若直线过点 M(ρ0，θ0)，且极轴与此直线所成的角为 α， 则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝θ0 和 θ＝π＋θ0； (2)直线过点 M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a；
的参数方程为Error!(t 为参数)．
(1)若直线 C1 与圆 O 相交于 A，B，求弦长|AB|； (2)以该直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆 C2 的极 坐标方程为 ρ＝2cos θ＋2 3sin θ，圆 O 和圆 C2 的交点为 P，Q，求弦 PQ 所在直线的直角 坐标方程．
1.坐标系与参
参数方程与普通方程的互化、点到直线的距离公式 数方程是高考
及三角函数性质·T22
的选考内容之
参数方程与普通方程的互化，极坐标方程的应
一，高考考查
用·T22
的重点主要有
极坐标方程与直角坐标方程互化及应用、直线与圆 两个方面：一
的位置关系·T23
是简单曲线的
参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐 极坐标方程；
直线 l 的参数方程Error!(t 为参数)．
转化成直角坐标方程为 4x＋3y－8＝0.
( )a a2
y－ (2)圆 C 的极坐标方程转化成直角坐标方程为 x2＋ 2 2＝ 4 ， 直线 l 截圆 C 的弦长等于圆 C 的半径长的 3倍，
3a
| －8|
2
1 |a|
所以：d＝ 5 ＝2· 2 ，
32 2|3a－16|＝5|a|，利用平方法解得：a＝32 或11.
椭圆b2＋a2＝1(a>b>0)的参数方程是Error!其中 φ 是参数．
(3)直线：经过点 P0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线的参数方程是Error!其中 t 是参数．
1．(2017·全国卷Ⅰ)选修 4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为Error!(θ 为参数)，直线 l 的参数方程为
21 24 从而 C 与 l 的交点坐标为(3,0)，－25，25.
(2)直线 l 的普通方程为 x＋4y－a－4＝0，故 C 上的点
|3cos θ＋4sin θ－a－4|
(3cos θ，sin θ )到 l 的距离为 d＝
17
.
a＋9 当 a≥－4 时，d 的最大值为 17 .
a＋9
－a＋1
由题设得 17 ＝ 17，所以 a＝8；当 a<－4 时，d 的最大值为 17 .
解：(1)由直线 C1 的参数方程为Error!(t 为参数)消去参数 t，
可得：x－y＋1＝0，即直线 C1 的普通方程为 x－y＋1＝0.
圆 O 的参数方程为Error!(θ 为参数)，根据 sin2θ＋cos2θ＝1 消去参数 θ，可得：
x2＋y2＝2. 12
那么圆心到直线的距离 d＝ 2＝ 2 ， 故得弦长|AB|＝2 r2－d2＝ 6. (2)圆 C2 的极坐标方程为 ρ＝2cos θ＋2 3sin θ， 利用 ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，可得圆 C2 的普通方程为 x2＋y2＝2x＋2 3y. ∵圆 O 为：x2＋y2＝2.∴弦 PQ 所在直线的直角坐标方程为 2＝2x＋2 3y，即 x＋ 3y－1＝0.
4x2＋y2＝4，设曲线 C1 上的任意点(cos θ，2sin θ)，
|cos θ＋2sin θ| 5|sinθ＋α|
到直线 l 距离 d＝
2＝
2.
当 sin(θ＋α)＝0 时，到直线 l 距离的最小值为 0.
4．(2017·南阳二模)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数)
标方程的互化及应用·T23
二是参数方程、
参数方程、极坐标方程及点到直线的距离、三角函 极坐标方程与
数的最值·T23 极坐标与直角坐标的互化以及极坐标方程的应
曲线的综合应 用．
用·T23
2．全国课标
参数方程和普通方程的互化、三角函数的性质·T23 卷对此部分内
参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐 容的考查以解