滤波器设计

滤波器设计
.
1滤波器概述
1.1概念
滤波器通常是一种能使某些频率的信号通过而同时抑制或衰减另外一些频率的信号的电子装置。

通过的频率范围（频带）成为通带，通带内输出信号的幅度比较大，在理想情况下为一恒定数值。

抑制的频率范围称为阻带，阻带内输出信号的幅度比较小，在理想情况下为零。

通常把通带与阻带的分界点称为截止频率点。

能够直观反映滤波器特性的是他的幅频特性曲线，如图4-28所示的低通滤波器幅频特性曲线中，ωc是截止频率，0—ωc 的频率范围是通带，大于ωc的频带是阻带，带宽B=ωc。

图1
1.2按功能分类
按功能滤波器通常分为低通滤波器，高通滤波器，带通滤波器，带阻滤波器及全通滤波器等。

与低通滤波器相反，高通滤波器在0和截止频率ωc之间为阻带，高于ωc是通带。

而带通滤波器在两个截止频率ωL和ωU（ωL<ωU）之间为通带，其他频段为阻带，其带宽B=ωU-ωL。

带阻滤波器在两个截止频率ωL和ωU（ωL<ωU）之间为阻带，其他频段为通带。

全通滤波器平等的传通所有频率的信号，即对所有频率信号其|H(jω)|为常数，但其相位Φ(ω)通常是频率的函数。

1.3按响应函数形式分类
当增益为1，且截止频率为1时，一般低通滤波器幅频响应曲线如下：
函数形式为：)
(11
)(2
2
ωωf j H +=
其中 1,1)(02
>≤≤ωωf
1,1)(2>≥ωωf
（1） 巴特沃斯滤波器
3,2,1,)(22==n f n ωω,
则巴特沃斯滤波器的幅频响应为
n
j H 211)(ω
ω+=
， n 为滤波器阶次
其响应曲线为：
00.20.40.60.81 1.2 1.4 1.6 1.82
0.2
0.4
0.6
0.8
1
蓝、绿、红、青、紫、黄曲线分别为2、3、4、6、8、11阶巴特沃斯滤波器幅频特性曲线
巴特沃斯低通滤波器的特点是：频率趋近于零时具有最大平坦性；通带、过渡带、阻带均具有很好的下降单调性；随着阶数n 的增加，通带边缘更加陡峭，但截止频率点保持不变。

（2） 契比雪夫滤波器
3,2,1),()(2
22==n c f n ωεω
其中
ε为常数，决定通带波动，波动幅度2
111ε+-
=RW 或)1log(102
ε+=dB RW
))(cos cos()(1ωω-=n c n
则巴特沃斯滤波器的幅频响应为
)
(11)(22ωεωn
c j H +=
， n 为滤波器阶次。

其响应曲线为：
00.20.40.60.81 1.2 1.4 1.6 1.82
0.2
0.4
0.6
0.8
1
蓝、绿、红、青、紫、黄曲线分别为2、3、4、6、8、11阶巴特沃斯滤波器幅频特性曲线 契比雪夫低通滤波器的特点是：通带内有波动，且幅度波动都相等；阻带单调下降，且阻带特性好于巴特沃斯滤波器；截止频率点附近非常陡峭，过渡带短；在实现相同幅度特性的情况下，较巴特沃斯滤波器需要较低阶次，预示着需要更少的元器件；相位相应较差。

（3）倒契比雪夫滤波器
用1减去契比雪夫函数)
(11
)(2
22
ωεωn c j H +=
，并将ω换为1/ω 就得到倒契比雪夫函数， 即倒契比雪夫函数为)
/1(1)
/1()(2
22
22
ωεωεωn n c c j H += 其响应曲线为：
00.20.40.60.81 1.2 1.4 1.6 1.82
0.2
0.4
0.6
0.8
1
蓝、绿、红、青、紫、黄曲线分别为2、3、4、6、8、11阶巴特沃斯滤波器幅频特性曲线
倒契比雪夫低通滤波器的特点是:通带无波动，阻带有波动且幅度波动都相等；过渡带特性不如契比雪夫滤波器，截止频率点不在ω=1处，而由)cosh cosh(1
1
11ε
ω-=n c 得到，较少应用。

（4）椭圆滤波器
3,2,1),
()(2
22==n R f n ωεω
其中
ε为常数，决定通带波动
,6,4,2;)1()()(1221
22212=--=∏=--n R j
i i i n ωωωωω 或 ,7,5,3;)
1()()(12
222
22=--=∏=n R j
i i i
n ωωωωω j 是≤n/2的最大整数，1,1122<<--i i ωω 则椭圆滤波器的幅频响应为
)
(11)(22
ωεωn
R j H +=
， n 为滤波器阶次。

椭圆函数低通滤波器的幅度响应形式比较复杂，特点是在通带和阻带内均有波动，在给定阶数、通带和阻带衰减要求下，它具有最窄的过渡带，是所有滤波器中最好的一种滤波器。

2滤波器设计
2.1有源滤波器 2.2无源滤波器
滤波电路基本设计方法见下框图
（1）给定技术指标是根据实际需要，设定目标滤波器的性能指标，包括滤波器类型，通带、过渡带、阻带特性，截止频率点，中心频率，带宽等。

（2）设计滤波器一般是从低通滤波器开始，因此先将给定技术指标转换为低通原型指标，既选择合适的滤波器函数类型，通带波动值，阶次等，这时默认的截止频率为1。

（3）根据以上要求得到原型滤波器参数（可查表），进而推算出器件参数，并画出电路图，即实现了低通原型滤波器。

（4）若要得到低通滤波器，则只需进行频率变换，就可基本实现。

变换方法为：电阻不变，电容和电感除以要求截止角频率ωc 。

（5）若要求得到高通、带通、带阻滤波器，则需对第三步实现的滤波其进行器件变换，得
（6）根据(4),(5)得到的滤波器可能难以找到合适的器件，所以还要进行阻抗变换，最终得到完全满足要求的滤波器。

阻抗变换的方法为，若电感和电阻乘以k ，则电容除以k 。

重要补充：滤波器最小阶数的选取
若滤波器技术指标要求最大通带衰减为α1（dB ）（对应频率
ω1），最小阻带衰减为α2
（dB ），截止频率ωc （rad/s ）或f c (Hz), 以及容许的最大过渡带宽TW （TW =ω1-ωc ），则满足上述要求滤波器阶数n 为：
巴特沃斯滤波器: )
/log(2)110log(210/2c n ωωα-=
契比雪夫滤波器：)
/(arccos )
110log(/)110log(arccos 210/110/2c h h n ωωαα--=
滤波器最小阶数可以使用Matlab 计算 巴特沃斯滤波器
低通[N, Wn] = buttord(Wp, Ws, Rp, Rs, 's') 高通[N, Wn] = buttord(Ws, Wp, Rp, Rs, 's')
带通[N, Wn] = buttord([Wp1, Wp2],[Ws1,Ws2] , Rp, Rs, 's') 带阻[N, Wn] = buttord( [Ws1,Ws2],[Wpl, Wp2], Rp, Rs, 's') 切比雪夫I 型滤波器
低通[N, Wn] = cheb1ord(Wp, Ws, Rp, Rs, 's') 高通[N, Wn] = cheb1ord (Ws, Wp, Rp, Rs, 's')
带通[N, Wn] = cheb1ord ([Wp1, Wp2],[Ws1,Ws2] , Rp, Rs, 's') 带阻[N, Wn] = cheb1ord ( [Ws1,Ws2],[Wpl, Wp2], Rp, Rs, 's') 切比雪夫II 型滤波器
低通[N, Wn] = cheb2ord(Wp, Ws, Rp, Rs, 's') 高通[N, Wn] = cheb2ord (Ws, Wp, Rp, Rs, 's')
带通[N, Wn] = cheb2ord ([Wp1, Wp2],[Ws1,Ws2] , Rp, Rs, 's') 带阻[N, Wn] = cheb2ord ( [Ws1,Ws2],[Wpl, Wp2], Rp, Rs, 's') 椭圆滤波器
低通[N, Wn] = ellipord(Wp, Ws, Rp, Rs, 's') 高通[N, Wn] = ellipord (Ws, Wp, Rp, Rs, 's')
带通[N, Wn] = ellipord ([Wp1, Wp2],[Ws1,Ws2] , Rp, Rs, 's') 带阻[N, Wn] = ellipord ( [Ws1,Ws2],[Wpl, Wp2], Rp, Rs, 's')
2.3有源滤波器
2.3.1低通、高通、带通滤波器通式 （1）低通滤波器通式
对于巴特沃斯和契比雪夫滤波器这些全极点二阶低通滤波器传递函数具有下列通式，
2
2
2
12)(c
c c C S B S KC V V s H ωωω++== 对于二阶低通倒契比雪夫滤波器和椭圆滤波器的传递函数具有下列通式，
2
2
2212)
)(/()(c
c c C S B S A S A KC V V s H ωωω+++== 一阶低通巴特沃斯、契比雪夫、倒契比雪夫和椭圆滤波器的传递函数具有下列通式
c
c
C S KC V V s H ωω+==
12)( 一阶低通滤波器电路
C 1为任意值，一般选C 1近似于10/fc uF 的标称值
c
CC R ω111
=
1
1
2-=
K KR R 13KR R =
高偶数阶滤波器可分解为若干二阶函数因式的乘积，高奇数阶滤波器可分解为若干二阶函数与一阶因式的乘积。

极偶频率
C p =ω
极偶品质因数B
C Q p =
（2）高通滤波器通式
将归一化低通滤波器的传递函数中s/ωc 用ωc /s 替换就得到高通滤波器传递函数。

对于巴特沃斯和契比雪夫滤波器这些全极点二阶高通滤波器传递函数具有下列通式，
C
S C B S KS V V
s H c c /)/()(2
2
2
12ωω++== 对于二阶高通倒契比雪夫滤波器和椭圆滤波器的传递函数具有下列通式，
C
S C B S A S K V V s H c c c /)/()
/()(2
2
2212ωωω+++== 一阶高通巴特沃斯、契比雪夫、倒契比雪夫和椭圆滤波器的传递函数具有下列通式
C
S KS V V s H c /)(12ω+==
一阶高通滤波器电路
C 1为任意值，一般选C 1近似于10/fc uF 的标称值
c
C C
R ω11=
1
1
2-=
K KR R 13KR R =
高偶数阶滤波器可分解为若干二阶函数因式的乘积，高奇数阶滤波器可分解为若干二阶函数与一阶因式的乘积。

（3）带通滤波器通式
将归一化低通滤波器的传递函数中S 代换为S
S Q 02
02)
(ωω+就得到带通滤波器传递函数。

其中BW Q /0ω=为品质因数，是用来衡量滤波器的选择性。

高Q 对应于较窄的相对通带。

ω0为中心频率。

由上式可知带通滤波器的阶数为对应低通滤波器阶数的两倍，故总为偶数。

具有中心频率0ω和带宽BW 的带通滤波器的幅度特性，类似于其对应的低通幅度特性，只是把零频率上移到0ω，并以0ω为中心左右作出低通曲线形状。

因此，Chebyshev 带通滤波器的幅度只
在通带内有波动。

其滤波器的中心频率为两截止频率的等比中项，即满足关系式
U L ωωω=0
其中
)41121(2
0Q Q l ++-
=ωω )41121(
20Q
Q U ++=ωω 二阶带通滤波器传递函数具有下列通式，
20
020*******)/(/)(γωβωρωωωω++=++==
S S S S Q C S Q S KC V V s H 即Q KC /=ρ,Q C /=β,1=γ
高偶数阶滤波器可分解为若干二阶函数因式的乘积。

2.3.2常用有源滤波器电路 （1）无限增益（MFB ）型
无限增益（MFB ）型滤波器电路比较简单，是常用的反相增益滤波器。

具有稳定性好和输出阻抗低的优点，易于与其它电路级联构成高阶滤波器。

缺点是只适用于增益K 和极偶品质因数Q p 两者都不大于10的情况。

如果Q p 更低一些，K 可以相应提高。

即应同时限于Q p ≤10和K Q p ≤100两个条件。

二阶无限增益低通滤波器电路:
C 1、C 2为任意值，一般选C 1近似于10/fc uF 的标称值，)
1(41
22+≤K C C B C
C
K C CC C B BC K R ω))1(4()
1(22121
2
12+-++=
K
R R 2
1=
2
22131
R C CC R c ω=
二阶无限增益高通滤波器电路:
C 1为任意值，一般选C 1近似于10/fc uF 的标称值
K
C C 1
2=
C C C B
R ω)2(211+=
C
C BC C
C C R ω21212)2(+=
二阶无限增益带通滤波器电路:
C 1、C 2为任意值，一般选C 1近似于10/f0 uF 的标称值，γ
γρβ)
(12->
C C
1
011
C R ρω=
212))((ωγρβγβ
C C R +-=
)11(
12
10
3C C R +=
βω （2）压控电压源(VCVS)型
压控电压源(VCVS)型滤波器是正相增益滤波器，且式使用元件数最小的一种正相增益滤波器电路，。

具有输出阻抗低、元件间差值范围小和放大能力比较高的优点，另外，这种电路比较容易调整，比如其增益值可以用电位器微调R3和R4而精确得到。

缺点是只适用极偶品质因数Q p 不大于10的情况的情况下使用。

低通
C 1、C 2为任意值，一般选C 2近似于10/fc uF 的标称值，C
C K C B C 4))1(4(2
21-+≤
C
C CC C K C B BC R ω)4))1(4((2
2122
2
21--++=
1
22121
R C CC R c ω=
)1(1
)(213≠-+=
K K R R K R
)(214R R K R +=
高通
C 1为任意值，一般选C 1近似于10/fc uF 的标称值.
1
2
2))1(8((4C K C B B C
R C ω-++=
2
2211R C C R c ω=
)1(1
2
3≠-=
K K KR R
24KR R =
带通
C 1、μ为任意值，一般选C 1近似于10/f 0 uF 的标称值，114
5
>+
=R R μ 1
01C R ρωμ
=
1
02
2))1(8)()1/2(()
1(2C R ωμγβρβμρμ-+-+---=
)1
1(12
121203R R C R +=
γω
3
41
R R -=
μμ
35R R μ=
（3）双二次型
双二次型滤波器具有正向增益，性能十分稳定，调整方便，极偶品质因数Q p 可以高达100，特别宜于多节级联构已实现高质量的高阶滤波器。

缺点式要使用更多的器件。

低通
C 1、R 4为任意值, 一般选C 1近似于10/fc uF 的标称值，1
41
C R C ω=
KC
R R 4
1=
B R R 4
2=
C
R R 43=
高通
C 1、R 5为任意值
1
1C BK C
R C ω=
12KR R =
5
2
123R C C
R C ω=
K R R /54=
带通
C 1、R 4为任意值
1
011
C R ρω=
11
021
R C R β
ρβω=
=
4
212031
R C R γω=
3制作实例
3.1 技术指标
期望得到的带通滤波器的技术指标为：通带波动0.1dB,中心频率1000Hz,带宽200Hz ，过渡带有陡峭的衰减特性。

3.2 归一化低通指标
我们将以上技术指标转换为以下低通指标：截止角频率ωc =1rad/s,通带波动
0.1dB ，滤波器的阶次N 取2.
3.3 低通滤波器的设计
选取二阶的Chebyshev 滤波器传递函数
2
2
2
)(c c c C S B S KC S H ωωω++= 中的B=2.372356,C=3.314037,增益K=2，对应的通带波动为0.1 dB 。

3.4 低通滤波器到带通滤波器的变换
将归一化低通函数中的*S 以如下变换式代入，即可得到带通传递函数:
S
S Q S BW S S 02
02202)
(ωωω+=
*+= (*) 有代换得四阶Chebyshev 带通传递函数具体形式为：
4
302202304222
012
)()2()()(ωωωωω+++++=S Q B S Q C S Q B S S Q KC V V K=4为实现四阶传递函数的两节二阶电路级联总增益。

上式可分解为两个二阶函数：
2
0202
01112
)()()(
ωωωD S E D S S Q C K V V ++= (i) 2
2
002
02212
/)()()(
D S D
E S S Q C K V V ωωω++= (ii) 式中，1k 、2k 是二阶带通的增益，且k k k =21
2
)2()4(412
222BQ Q C Q C B E -+++=
]4)([212-+=Q BE Q BE D
E 为各阶的极偶品质因数
p
Q
对照巴特沃斯、切比雪夫型二阶带通滤波器或高阶带通滤波器的二阶滤波节的传递函数典型公式：
20
02012
γωβωρω++=S S S V V 得：①对于i 式（即第一节）
Q
C
K 1=
ρ
E
D =
β 2D =γ
②对于ii 式（即第二节）
Q
C
K 2=
ρ DE 1=
β 21D
=γ 对应的二阶无限增益MFB 带通滤波器图一般形式为：
图2 二阶无限增益MFB 带通滤波器电路图
若给定
0ω、ρ、β和γ，各电阻的数值可以用下列式子求出
1
011
C R ρω=
212])([ωγρβγβ
C C R +-=
)11(
12
10
3C C R +=
βω 电路中的1C 和2C 可以随意选取，我们最好选取1C 接近
10f μF ；为了使
02>R ,2C 须按下式选取
γ
γρβ)
(12->
C C
我们取定1C 和2C 为0.01μF.
四阶带通滤波器形式为上图二阶形式的级联，如下图所示：
计算得（Q=5，因BW
）。

Q/
f
R1 = 2.1857e+004
R2 = 1.7588e+003
R3 = 1.1793e+005
R4 = 1.5561e+005
R5 = 2.3820e+003
R6 = 2.1857e+004
3.5 阻抗变换
由于不易得到阻值大的接近的电阻，我们将电阻值减小为原值的1/10，为了不改变滤波器性能，相应的将电容值变为原来的10倍。

1期望得到的带通滤波器的技术指标为：通带波动0.1dB,中心频率1000Hz,带宽200Hz，f L=900Hz,a1=3dB, a2=20dB。

2期望得到的低通滤波器的技术指标为：通带波动0.5dB, fp=900Hz,fs=1600Hz,a1=3dB, a2=20dB。

3 期望得到的高通滤波器的技术指标为：通带波动小于0.5dB, fp=2900Hz,fs=1600Hz,a1=3dB, a2=20dB。

附录。