福建省莆田市2019年数学高二年级上学期期末检测试题

福建省莆田市2019年数学高二年级上学期期末检测试题
一、选择题
1．已知命题p ：0x R ∃∈,01
cos 2
x ≥-，则p ⌝是 A ．0x R ∃∈,01cos 2x ≤- B ．0x R ∃∈,01cos 2
x <- C ．x R ∀∈,1cos 2x ≤-
D ．x R ∀∈,1cos 2
x <-
2．某公司对下属员工在蛇年春节期间收到的祝福短信数量进行了统计，得到了如图所示的频率分布直方图。

如果该公司共有员工200人，则收到125条以上的大约有（ ）
A ．6人
B ．7人
C ．8人
D ．9人
3．直线4y x =与曲线3
y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )．
A.4
B. C.2
D.4．已知m ， n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若 //m α， //n α则 //m n
B ．若 m α⊥， m n ⊥则//n α
C ．若 m α⊥， n α⊂则 m n ⊥
D ．若 //m α， m n ⊥则 n α⊥
5．已知直线的参数方程是
，则直线的斜率为
A. B. C.1 D.
6．设有一个回归方程为y=2-2.5x,则变量x 增加一个单位时（ ） A ．y 平均增加2.5个单位 B ．y 平均增加2个单位 C ．y 平均减少2.5个单位
D ．y 平均减少2个单位
7．定义在区间[0,1]上的函数()f x 的图象如图所示，以A(0,?
f(0)),?B(1,?f(1)),?C(x,?f(x))为顶点的△ABC 的面积记为函数()S x ，则函数()S x 的导函数()S x '的大致图象为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
8．若函数()y f x =的导函数'()y f x =的图象如图所示，则()y f x =的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，下列四个命题中正确的是（ ）． （1）l m α
β⇒⊥ （2）l m αβ⊥⇒ （3）l m αβ⇒⊥ （4）
l m αβ⊥⇒
A ．（1）与（2）
B ．（3）与（4）
C ．（2）与（4）
D ．（1）与（3）
10．若复数1z i =+，则1z
z =+（ ） A ．1355
i --
B ．
1355
i - C ．
3155
i - D ．3155
i -
- 11．已知函数()ln f x x x =+，则()1f '的值为（ ） A.1
B.-2
C.-1
D.2
12．某班4名同学参加数学测试，每人通过测试的概率均为1
2
，且彼此相互独立，若X 为4名同学通过测试的人数，则D （X ）的值为（） A.1 B.2
C.3
D.4
二、填空题
13．函数(
)
2
12
log 23y x x =+-的单调递减区间是_____ ．
14．已知00(,)M x y 是双曲线2
2:12
x C y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若12.0MF MF <，
则0y 的取值范围是_______________．
15．已知圆()()2
22:10C x y r r -+=>与直线:3l y x =+，且直线l 有唯一的一个点P ，使得过P 点作圆C 的两条切线互相垂直，则r =_____；设EF 是直线l 上的一条线段，若对于圆C 上的任意一点
,2
Q EQF π
∠≥
，则EF 的最小值_____．
16．在6
212x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的二项式中，常数项等于_______（结果用数值表示）.
三、解答题
17．如图,等腰直角三角形直角顶点位于原点,另外两个顶点，在抛物线上,
若三角形的面积为16.
（Ⅰ）求的方程;
(Ⅱ)若抛物线的焦点为,直线与交于，两点,求的周长.
18．如图，在三棱柱中，侧面底面，，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若，，且与平面所成的角为，求二面角的平面角的余弦值．
19．如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面.
（1）证明：平面平面；
（2）若二面角的大小为，求与平面所成角的正弦值.
20．已知函数.
（1）若函数在上单调递增的，求实数的取值范围；
（2）当时，求函数在上的最大值和最小值.
21．某公司为了确定下一年度投入某种产品的宣传费用，需了解年宣传费（单位：万元）对年销量
（单位：吨）和年利润（单位：万元）的影响.对近6年宣传费和年销量的数据做了初步统计，得到如下数据：
经电脑模拟，发现年宣传费（万元）与年销售量（吨）之间近似满足关系式即
，对上述数据作了初步处理，得到相关的值如下表：
售量低于20吨的概率.
（Ⅱ）根据所给数据，求关于的回归方程；
（Ⅲ）若生产该产品的固定成本为200（万元），且每生产1（吨）产品的生产成本为20（万元）（总成本=固定成本+生产成本+年宣传费），销售收入为
（万元），假定该
产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），2019年该公司计划投入万元宣传费，你认为该决策合理
吗？请说明理由.（其中为自然对数的底数，）
附：对于一组数据
，其回归直线
中的斜率和截距的最小二乘估
计分别为
．
22．求下列函数的导数： （1）()(1sin )(14)f x x x =+-； （2）()21
x x
f x x =
-+. 【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除 一、选择题
13．(1,)+∞
14．(
15．4 16．240 三、解答题 17．(Ⅰ)的方程为
;(Ⅱ)
.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由对称性可知关于轴对称，结合题中面积可得
，代入抛物线即可； （Ⅱ）直线
与抛物线联立得，设
，
，由抛物线定义得
，
结合韦达定理即可得解.
试题解析：
（Ⅰ）由已知得等腰直角三角形的底边长为8，由对称性可知关于轴对称，
所以抛物线过点
代入可得，所以的方程为.
（Ⅱ）由消去，得.
设，，则，，
由抛物线的定义，得
，，，
，
以周长为.
18．（1）见解析；（2）余弦值为.
【解析】
分析：（1）由四边形为菱形，得对角线,由侧面底面，, 得到侧面，从而，由此能证明平面；
（2）由题意易知为等边三角形，以点为坐标原点，为轴,为轴，过平行的直线为，建立空间直角坐标系，分别求出平面的法向量和平面的法向量，由此能求出二面角的平面角的余弦值．
详解：（Ⅰ）由已知侧面底面，, 底面,
得到侧面，
又因为侧面,所以,
又由已知，侧面为菱形，所以对角线,
即，，,
所以平面.
（Ⅱ）设线段的中点为点，连接,，因为，易知为等边三角形，中线,由（Ⅰ）侧面，所以,得到平面，即
为与平面所成的角， ,,, ,得到;
以点为坐标原点，为轴,为轴，过平行的直线为，建立空间直角坐标系，
,,,,,,，
由（Ⅰ）知平面的法向量为，设平面的法向量，, 解得,,
二面角为钝二面角，故余弦值为.
点睛：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，涉及到线线、线面、面面平行与垂直的性质、向量法等知识点的合理运用，是中档题.
19．(1) 见解析(2)
【解析】
试题分析：（1）推导出BC⊥BD，PD⊥BC，从而BC⊥平面PBD，由此能证明平面PBC⊥平面PBD．（2）由BC⊥平面PBD，得∠PBD即为二面角P﹣BC﹣D的平面角，即，从而BD=，
PD=，分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AP与平面PBC所成角的正弦值．
试题解析：
（1）∵,∴
又∵底面，∴，
又∵，∴平面
而平面，∴平面平面.
（2）由（1）所证，平面
所以即为二面角的平面角，即.
而，所以
因为底面为平行四边形，所以，
分别以为轴建立空间直角坐标系
则，
所以
设平面的法向量为，则
即
令，则，
所以
∴与平面所成角的正弦值.
点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
20．(1) (2)
【解析】
试题分析：（1）若函数f（x）在（，+∞）上是增函数，⇔f′（x）≥0在（，+∞）上恒成
立．利用二次函数的单调性即可得出；
（2）利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．
试题解析：
（1）若函数在上是增函数，则在上恒成立，而，即
在上恒成立，即.
（2）当时，.
令，得.当时，，当时，，故是
函数在上唯一的极小值点，故.
又，，故.
点睛：点睛：函数单调性与导函数的符号之间的关系要注意以下结论
（1）若在内，则在上单调递增（减）．
（2）在上单调递增（减）（）在上恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于0．（不要掉了等号．）
（3）若函数在区间内存在单调递增（减）区间，则在上有解．（不要加上等号．）
21．（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）不合理
【解析】
【分析】
(Ⅰ)利用组合知识，根据古典概型概率公式可得结果；（Ⅱ）对两边取对数得
，令得，根据所给的数据，求出变量的平均数，求出最小二乘法所需要的数据，可得线性回归方程的系数,再根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出的值，写出线性回归方程；（Ⅲ）设该公司的年利润为，由利润=销售收入-总成本，求得
的解析式，由二次函数的性质求得时，取最大值，从而可得结果.
【详解】
(Ⅰ)记事件A表示“至多有一年年销量低于20吨”，由表中数据可知6年中有2年的年销量低于20吨，故
（Ⅱ）对两边取对数得，令得，由
题中数据得：，
，
，
，
所以，由,
得
,故所求回归方程为
.
（Ⅲ）设该公司的年利润为，因为利润=销售收入-总成本，所以由题意可知
,
当即时，利润取得最大值500（万元），故2019年该公司计划投入万元宣传
费的决策不合理. 【点睛】
本题考查了非线性拟合及非线性回归方程的求解与应用，是源于课本的试题类型，解答非线性拟合问题，先作出散点图，再根据散点图选择合适的函数类型，设出回归方程，利用换元法将非线性回归方程化为线性回归方程，求出样本数据换元后的值，然后根据线性回归方程的计算方法计算变换后的线性回归方程系数，即可求出非线性回归方程，再利用回归方程进行预报预测，注意计算要细心，避免计算错误.
22．（1）'()4cos 4sin 4cos f x x x x x ==-+--；（2）2
1
'()2ln 2(1)
x f x x =-+. 【解析】 【分析】
(1)利用积的导数和和差的导数法则求导.(2)利用商的导数和积的导数的法则求导. 【详解】
(1)f'(x)=(1+sin x)'(1-4x)+(1+sin x)(1-4x)'=cos x(1-4x)-4(1+sin x)=cos x-4xcos x-4-4sin x. (2)f(x)=
1
x x +-2x =1-11x +-2x ,则f'(x)=21(1)x +-2x
ln 2.
【点睛】
本题主要考查对函数求导，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.。