人教B版高中数学必修一《第二章 函数 2.1 函数 2.1.2 函数的表示方法》_4

第四课时 函数的表示方法（1）
学习要求
1．进一步理解和掌握表示两个变量之间的函数关系的方法——列表法、解析法、图象法；
2．能根据条件求出两个变量之间的函数解析式；
3．培养抽象概括能力和解决问题的能
力．
自学评价
1．二次函数的形式：
（1）一般式：()c bx ax x f ++=2
()0,,,≠∈a R c b a ；
（2）交点式：()()()21x x x x a x f --= ，
其中，21,x x 分别是()x f 的图象与x
轴的两个交点的横坐标；
（3）顶点式：()()12
1y x x a x f +-=， 其中()11,y x 是抛物线顶点的坐标； 2．已知函数类型，求函数解析式，常用待定系数法。

例如，求二次函数解析式的基本步骤是：
（1）设出函数的一般式（或顶点式、交点
式）；
（2）代入已知条件，列方程（组）； （3）通过解方程（组）确定未知系数； 3．分别求满足下列条件的二次函数()f x 的解析式：
（1）图象与x 轴的两交点为(2,0)，
(5,0)，且(0)10f =；
（2）图象的顶点是(1,2)-，且经过原点。

答案：（1）2
()710f x x x =-+；
（2）2
()24f x x x =--。

【精典范例】
例1：函数()f x 在闭区间[1,2]-上的图象如下
【解】由图象可知，
当10x -≤<时，()f x =当02x ≤≤时，()f x =所以1,1()1,0 2.2
x f x x x +-⎧⎪
=⎨-≤≤⎪⎩
例2：（1）已知2
()43f x x x =-+，(1)f x +； （2）已知2(1)2f x x x +=-，求()f x ．
【解】（1）2
(1)2f x x x +=-； （2）2
(1)43f x x x +=-+。

点评: 已知()f x 的解析式，求[()]f g x 时，将
()x f 中的x 用()g x 代替，这时[()]f g x 中的()g x 相当于()x f 中x 一个取值；已知
[()]f g x 的解析式，
求()f x 时，常用配凑法或换元法；
例3．某人开汽车以60/km h 的速度从A 地到150km 远处的B 地，在B 地停留1h 后，再以50/km h 的速度返回A 地，把汽车离开
A 地的路程()x km 表示为时间()t h （从A 地出发是开始）的函数，再把车速v /km h 表示为时间()t h 的函数．
【解】从A 地到B 地所需时间为150
2.5()60h =，
从B 地到A 地所需时间为150
3()50
h =，
所以，当0 2.5t <≤时，60x t =；
当2.5 3.5t <≤时，150x =； 当3.5 6.5t <≤时，
15050( 3.5)50325x t t =--=-+；
所以，60,
0 2.5,150, 2.5 3.5,50325, 3.5 6.5.t t x t t t <≤⎧⎪
=<≤⎨⎪-+<≤⎩
1
60,0 2.5,0, 2.5 3.5,50, 3.5 6.5.t v t t <≤⎧⎪
=<≤⎨⎪<≤⎩
追踪训练一
1．若2
(3)21f x x =-，则()f x 的解析式
为 。

（答案：2
2()19
f x x =-）
2．已知()31f x x =-，()23g x x =+，则[()]f g x = ，
[()]g f x = 。

答案：[()]68f g x x =+，
[()]61g f x x =+。

【选修延伸】
一、复合函数
例4: 已知2
2
11
()1f x x x
x -=++，求函数()f x 的解析式。

【解】
（答案：2
()3f x x =+）
例5．已知一个函数的解析式为2
y x =，它的值域为[1,4]，这样的函数有多少个？试写出其中两个函数。

【解】
思维点拨
解决例5这类问题，可以先写出自己熟悉的一个函数，然后再改变定义域。

如本题可先写出满足条件的函数2
,[1,2]y x x =∈，注意到函数图象关于y 轴对称，设D 是
[2,1]--的任意一个子集，则形如
2
,[1,2]y x x
D =∈的函数都满足条件。

追踪训练二
1、已知a,b 为常数，若f(x)=x 2
+4x+3，
f(ax+b)=x 2
+10x+24，则5a －b=_________.
2．已知一个函数的解析式为2
2y x x =-，它的 值域为[1,3]-，这样的函数有多少个？试写出其中两个函数． 答案：(1)5或－1。

(2)无数个，如定义域为[1,3]，[1,1]-等。