2019_2020学年高中数学第1章坐标系1.5柱坐标系和球坐标系课件新人教B版选修4_4

[答案] B
3．设点 M 的直角坐标为(－1，－ 3，3)，则它的柱坐标是( )
A．(2，π3，3)
B．(2，23π，3)
C．(2，43π，3)
D．(2，53π，3)
3．设点 M 的直角 [解析] ∵ρ＝ －12＋－ 32＝2，
坐标为(－1，－ 则它的柱坐标是(
3，3)， )
tan
θ＝－－13＝
(2)由 r＝ x2＋y2＋z2＝ 12＋12＋0＝ 2. ∴cos φ＝rz＝0，∴φ＝π2. 故点 C 的球坐标为( 2，π2，π4)．
(教材 P21 练习 T2) 设点 M 的柱坐标为(2，6π，7)，求它的直角坐标．
在柱坐标系中，点 M 的柱坐标为(2，23π， 5)，则|OM| ＝________.
第一章 坐标系
1.5 柱坐标系和球坐标系 1.5.1 柱坐标系 1.5.2 球坐标系
学习目标：1.了解柱坐标系、球坐标系的意义，能用柱坐标系、 球坐标系刻画简单问题中的点的位置．(重点)2.知道柱坐标、球坐标 与空间直角坐标的互化关系与公式．(难点)
自主预习 探新知
1．柱坐标系
(1)柱坐标 设空间中一点 M 的直角坐标为(x，y，z)，M 点在 xOy 坐标面上 的投影点为 M0，M0 点在 xOy 平面上的极坐标为(ρ，θ)，如图 1-5-1
1．根据球坐标系的意义以及与空间直角坐标系的联系，首先要 明确点的球坐标(r，θ，φ)中角 φ，θ 的边与数轴 Oz，Ox 的关系，注 意各自的限定范围，即 0≤θ<2π，0≤φ≤π.
2．化点的球坐标(r，θ，φ)为直角坐标(x，y，z)，需要运用公式
x＝rsin φcos θ，

y＝rsin φsin θ， z＝rcos φ.
x＝ρcos θ

y＝ρsin θ
.
z＝z
2．球坐标系 (1)球坐标 设空间中一点 M 的直角坐标为(x，y，z)，点 M 在 xOy 坐标面上 的投影点为 M0，连接 OM 和 OM0.
如图所示，设 z 轴的正向与向量O→M的夹 角为 φ，x 轴的正向与O→M0的夹角为 θ，M 点 到原点 O 的距离为 r，则由三个数 r，θ，φ
3，
A．(2，π3，3)
∴θ＝π3或43π.
B．(2，23π，3) C．(2，43π，3) D．(2，53π，3)
又∵M 的直角坐标中 x＝－1，y＝－ 3， ∴排除 θ＝π3，∴θ＝43π.
∴M 的柱坐标为(2，43π，3)． [答案] C
4．设点 M 的直角坐标 为(－1，－1,0)，则它的球 坐标为( )
构成的有序数组___(r_，__θ_，__φ_) ____ 称为空间 中点 M 的_球_坐__标__．若设投影点 M0 在 xOy 平
面上的极坐标为(ρ，θ)，则极坐标 θ 就是上 述 的 第 二 个 球 坐 标 θ. 在 球 坐 标 中 限 定
__r_≥_0_,_0_≤__θ_<_2_π________，0≤φ≤π.
直角坐标．
z＝rcos
φ＝3cos56π＝－3
2
3 .
∴点 M 的直角坐标为(34，－34 3，－32 3)．
空间点的直角坐标化为球坐标 【例 3】 已知长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，底面正方形 ABCD 的边长为 1，棱 AA1 的长为 2，如图 1-5-3 所示，建立空间直角坐标 系 Axyz，Ax 为极轴，求点 C1 的直角坐标和球坐标．
∴y＝ρsin θ＝

2sinπ4＝1，
z＝5.
故所求点的直角坐标为(1,1,5)．
将点的球坐标化为直角坐标
【例 2】 已知点 M 的球坐标为(2，34π，34π)，求它的直角坐标． [思路探究] 球坐标 ――x―＝―rsi―n ―φc―osz―＝θ―，rc―yo＝s―φr―sin―φ―si―n θ―，―→ 直角坐标
(2)空间直角坐标与球坐标的变换公式 空间点 M(x，y，z)与球坐标(r，θ，φ)之间的变换公式为 x＝rsin φcos θ

y＝rsin φsin θ . z＝rcos φ
思考 1：要刻画空间一点的位置，就距离和角的个数来说有什么 限制？
[提示] 空间点的坐标都是三个数值，其中至少有一个是距离．
所示，则三个有序数 ρ，θ，z 构成的数组__(_ρ_，_θ_，__z_)_____称为空间 中点 M 的柱__坐__标__．在柱坐标中，限定___ρ_≥__0_,_0≤ __θ_<_2_π_______，z
为任意实数．
(2)空间直角坐标与柱坐标的变换公式
空间点 M(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为
[思路探究] 已知直角坐标系中的直角坐标化为柱坐标，利用公
x＝ρcos θ，

式y＝ρsin θ， z＝z.
求出 ρ，θ 即可．
[解] 设 M 的柱坐标为(ρ，θ，z)，
1＝ρcos θ，

则有1＝ρsin θ， z＝1，
解之得，ρ＝ 2，θ＝π4.因此，点 M 的柱坐标为( 2，π4，1)．
求出 r，θ，φ.
2．利用 r2＝x2＋y2＋z2，tan θ＝yx，cos φ＝zr.特别注意由直角坐标 求球坐标时，应首先看明白点所在的象限，准确取值，才能无误．
3．若本例中条件不变，求点 C 的柱坐标和球坐标． [解] 易知 C 的直角坐标为(1,1,0)． 设点 C 的柱坐标为(ρ，θ，0)，球坐标为(r，φ，θ)，其中 0≤φ≤π， 0≤θ<2π. (1)由于 ρ＝ x2＋y2＝ 12＋12＝ 2. 又 tan θ＝yx＝1，∴θ＝π4. 因此点 C 的柱坐标为( 2，π4，0)．
转化为三角函数的求值与运算．
[解] 设 M 的直角坐标为(x，y，z)．
2．若“例 2”中点 ∵(r，θ，φ)＝(3，53π，56π)，
M 的球坐标改为 M(3， x＝rsin φcos θ＝3sin56πcos53π＝34，
53π，56π)，试求点 M 的 y＝rsin φsin θ＝3sin56πsin53π＝－34 3，
[解] 设点的直角坐标为(x，y，z)． (1)∵(ρ，θ，z)＝(2，56π，3)，
x＝ρcos θ＝2cos56π＝－ 3，
∴y＝ρsin

θ＝2sin56π＝1，
z＝3，
因此所求点的直角坐标为(－ 3，1,3)．
(2)∵(ρ，θ，z)＝( 2，4π，5)，
x＝ρcos θ＝ 2cos4π＝1，
思考 2：在柱坐标系中，方程 ρ＝1 表示空间中的什么曲面？在 球坐标系中，方程 r＝1 分别表示空间中的什么曲面？
[提示] 柱坐标系中，ρ＝1 表示以 z 轴为中心，以 1 为半径的圆 柱面；球坐标系中，方程 r＝1 表示球心在原点的单位球面．
1．在空间直角坐标系中，点 P 的柱坐标为(2，π4，3)，P 在 xOy 平面上的射影为 Q，则 Q 点的坐标为( )
[思路探究] 先确定 C1 的直角坐标，再根据空间直角坐标系与 球坐标系的联系，计算球坐标．
[解] 点 C1 的直角坐标为(1,1， 2)． 设 C1 的球坐标为(r，θ，φ)，其中 r≥0,0≤θ<2π，0≤φ≤π， 由 x＝rsin φcos θ，y＝rsin φsin θ， z＝r·cos φ， ∴r＝ x2＋y2＋z2 ＝ 12＋ 22＋12＝2.
由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可以先设出点 M 的柱坐
x＝ρcos θ，

标为(ρ，θ，z)代入变换公式y＝ρsin θ， z＝z.
求 ρ；也可以利用 ρ2＝x2
＋y2，求 ρ.利用 tan θ＝yx，求 θ，在求 θ 的时候特别注意角 θ 所在的 象限，从而确定 θ 的取值．
1．根据下列点的柱坐标，分别求直角坐标： (1)(2，56π，3)；(2)( 2，4π，5)．
[命题意图] 本题主要考查柱坐标系的意义，以及点的位置刻 画．
[解] 设点的直角坐标为(x，y，z)． ∵(r，θ，φ)＝(2，34π，34π)， ∴x＝2sin34πcos34π＝2× 22×(－ 22)＝－1， y＝2sin34πsin34π＝2× 22× 22＝1， z＝2cos34π＝2×(－ 22)＝－ 2. 因此点 M 的直角坐标为(－1,1，－ 2)．
A．(2,0,3) B．(2，π4，0) C．( 2，4π，3) D．( 2，4π，0) [解析] 由点的空间柱坐标的意义可知，选 B.
[答案] B
2．已知点 A 的柱坐标为(1,0,1)，则点 A 的直角坐标为( )
A．(1,1,0)
B．(1,0,1)
C．(0,1,1)
D．(1,1,1)
[解析] x＝ρ·cos θ＝1cos θ＝1，y＝ρsin θ＝0，z＝1.
由 z＝rcos φ， ∴cos φ＝ 22，φ＝π4. 又 tan θ＝yx＝1，∴θ＝π4， 从而点 C1 的球坐标为(2，π4，π4)．
1．由直角坐标化为球坐标时，我们可以选设点 M 的球坐标为(r，
x＝rsin φcos θ，

θ，φ)，再利用变换公式y＝rsin φsin θ， z＝rcos φ.
A．( 2，π4，0) B．( 2，54π，π2) C．(2，54π，0) D．(2,0，4π)
[解析] 由坐标变换公式， 得 r＝ x2＋y2＋z2＝ 2，cos φ＝zr＝0， ∴φ＝π2. ∵tan θ＝yx＝1，∴θ＝54π.
[答案] B
合作探究 提素养
点的柱坐标与直角坐标互化
【例 1】 设点 M 的直角坐标为(1,1,1)，求它的柱坐标系中的坐 标．