结构力学讲稿十一(课)

第十一章 影响线及其应用
§11-1概述
影响线的定义：当一个指向不变的单位集中荷载沿结构移动时，表
示某一量值（指某一具体位置的内力或支反力）变化规律的图形，称为该量值的影响线。

例如：简支梁支反力的影响线如图
l
A
B
F A x
F=1
F A (x)
1
影响线的作用：可以知道荷载在任意一个位置引起的该量值的大小，
即可以解决移动荷载作用下的内力、支反力的计算问题，尤其是还可用于求解移动荷载引起的该量值的最大值。

§11-2用静力法作单跨静定梁的影响线
绘制影响线的两种方法：
静力法：利用结构的静力平衡分析，求影响线的方法。

机动法：利用去掉相应结束的结构的虚位移分析，求影响线的方法。

一、 简支梁的影响线
(1)支反力的影响线 简支梁结构如图：
l
A
B
F A
x F=1
F B
由∑=--=0)(,0x l F l F M A B 得：l
x
l l x l F A -=⨯-=
1 同理，由∑=0A M 得：l
x
F B =
影响线如图：
含义：单位力1=F 作用在K 点时，引起的支反力为K y 注意：正的影响线画在基准线的上方。

(2)弯矩影响线
例如：画出简支梁上C 处的弯矩影响线
a
b
l
A
B
C
F A
F B
当a x ≤≤0时，研究C 截面以右部分得：
b l
x b F M B C =⨯=
注意：弯矩C M 、剪力SC F 均设成正的。

同理，当l x a ≤≤时，研究C 截面以左部分得：
F=1
x
a
b
l A
B
C
F A
F B
B
C F SC
M C
F B b
l
A
B
F
A x
F=1
1
F B
F A 影响线1
F B 影响线
K
y k
a l
x
l a F M A C -=⨯=
即：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤=l x a a l x l a x b l x
M C
,0 ,
影响线如图：
F=1
x
a
b
l A
B
C
F A
F B
ab l M C 影响线
F=1
x
a
b
l A
B
C
F A F B
C
F SC M C F A
a
A
注意对比：
F=1x
a
b
l A
B
C
F A F B
ab l M C 影响线
F
a
b
l A
B
C
F A
F B 弯矩图l Fab
问题：x 处弯矩值的含义是什么? x 处影响线值的含义是什么? (3)剪力影响线
例如：画出简支梁上C 处剪力的影响线 当a x <≤0时，研究C 截面以右部分得：
l
x
F F B SC -=-=
当l x a ≤<时，研究C 截面以左部分得：
l
x
l F F A SC -==
即：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-<≤-=l x a l
x l a x l x
F SC
,0,
B
F B
C F SC
b
a
A
F A
F SC
C
影响线如图：
F=1x
a
b
l A
B
C
F A
F B
F SC 影响线
a l
b l
1
注意：1)两条影响线相互平行，斜率均为l
1 ；
2)在截面C 处影响线有突变，突变值为1。

影响线和内力图的比较：
影 响 线 内 力 图 荷载大小 单位荷载F=1
实际值 荷载性质 移动 固定 横座标 荷载的位置
截面的位置
纵座标
表示某一截面内力变化规律 表示全部截面内力变化规律
二、 外伸梁的影响线
注意：坐标原点仍然在支座A 处，目的：使跨内的内力和支反力的影响线数学表达式在形式上一样，只是取值范围不一样，为：21l l x l +≤≤-，因此，可利用已有的影响线外伸得到外伸梁的支反力影响线和跨内的内力影响线
(1)支反力影响线
由∑=--=0)(,0x l F l F M A B 得：l
x
l l x l F A -=⨯-=
1 同理，由∑=0A M 得：l
x
F B =
影响线如图：
即将简支梁的影响线向两端延伸 (2)跨内截面内力影响线
(3)伸臂部分截面内力影响线
d
x F d x x M SK K ≤<-=≤≤-=0,10,
,00,0<=≤=x F x M SK K
影响线如图：
(4)支座截面内力影响线
以支座A 为例，对于弯矩因为是连续变化，不必分支座左侧截面或支座右侧截面，但对于剪力，必须分支座左侧截面和支座右侧截面。

支座左侧截面相当于：1l d
=
支座右侧截面相当于：跨中的C 截面趋近于支座处，即，l b a ==,0
1
10,10,l x F l x x M L SA
K ≤<-=≤≤-=
,00,0<=≤=x F x M L SA
K
相当于1l d =
相当于l b a ==,0
§11-3间接荷载作用下的影响线
间接荷载：通过一些结点将外载传到所研究的结构上，这样的外载称为间接荷载。

例：绘间接荷载作用下，C M 的影响线
解：分三步
1)先将直接荷载作用下
M影响线绘出；
C
2)再将荷载作用在结点时的影响线值绘出；
3)最后将各顶点用直线相联，得到间接荷载作用下
M影响线。

C
例：绘间接荷载作用下，
M的影响线
K
§11-4用机动法作单跨静定梁的影响线
特点：把作影响线的静力问题化为作虚位移图的几何问题。

优点：不经过计算就可以确定影响线的形状，因此，直观、速度快。

机动法的依据：刚体虚位移原理——若刚体所受力系是一个平衡力系，则在任何虚位移中，力系所做的虚功总和为零。

虚位移：微小的、约束许可的、假想的位移。

微小的：OA 绕O 转动，转动后A —>A ’，位移αR u =；
约束许可的：不违背各种支座的约束条件；
假想的：不是真实的，和外载无关，因此不是唯一的。

例如：简支梁如图，画支反力A F 的影响线
1)先将相应约束去掉，将支反力显示出来，目的：使刚体结构能够有位移（成为一个几何可变的机构）； 2)给一个微小的虚位移A δ如图： 则刚体的位置如图：A F 作用处有虚位移A δ，1=F 作用处有虚位移F δ；
根据虚功原理，得：
0=⨯+⨯F A A F F δδ（F δ本身为负，F δ和F 方向一致时为正）
l
x
l l x l F A F A -=
⨯⨯---=-=ααδδ)( 以上的结果和A δ的取值无关（或和α的取值无关），为了简单取1=A δ，如图：
则F A F δ-=
注意：从图上看，1=F 的位置确定F δ的大小；
而从上式看，F δ的大小又决定了A F 的大小。

即：1=F 的位置决定了A F 的大小，因此虚位移图就是A F 的影响线。

而且，当F δ向上(即F δ为负时)，A F 为正；
当F δ向下(即F δ为正时)，A F 为负。

机动法画影响线的步骤：
1) 先去掉相应约束（力和线位移对应，弯矩和角位移对应），只将所要的
量值显示出来；
2) 沿该量值的正方向给一个单位虚位移，得到的单位荷载1=F 作用点的
虚位移图就是所要的影响线。

例如：画简支梁C 截面处弯矩和剪力的影响线
1、C 截面处弯矩的影响线
1)去掉相应约束（将梁在C 处用铰连接），将弯矩(注意：设为正的)显示出来，如图：
2)令刚片AC 和BC 沿C M 的转向有虚转角α和β，如图：
则虚功方程为，
0)(=⨯++⨯F C F M δβα
β
αδ+-
=F
C M 同样可以证明：表达式的取值和)(βα+的取值无关，为了简单， 取1=+βα，则
F C M δ-=
虚位移如图：
2、C 截面处剪力的影响线
1)去掉相应约束（将梁在C 处用两根水平链杆相联），将剪力(注意：设为正的，即使杆件顺时针转动)显示出来，如图：
2)令刚片AC 和BC 沿SC F 有虚位移CC 1和CC 2，如图：
则虚功方程为：
()021=⨯++⨯F SC F CC CC F δ
2
1CC CC F F
SC +-
=δ
同样可以证明：表达式的取值和)(21CC CC +的取值无关，为了简单， 取121=+CC CC ，则有，F SC F δ-=，影响线如图：
3)最后再证明：两段剪力影响线相互平行，见两根水平链杆变形图：
两个链杆在变形前后都是平行、等长，因此两段红色杆平行，所以同两根红色杆垂直的两段杆件有虚位移后仍然平行。

或者,也可以按如下方法绘影响线：在C 处将杆件切开，将所有内力显示出来，然后沿力或力矩的方向给虚位移，但此位移只能使所研究的量值做功，其它的量值不做功，或者做功之和为零。

如：
例如：画悬臂梁C截面处弯矩和剪力的影响线
特例：
C
A B
1
F SC影响线
铰两侧的剪力影响线，两段可以不平行
例如：画间接荷载作用下，简支梁C截面处弯矩和剪力的影响线C截面处弯矩的影响线：
F=1
A B
C
同理，C截面处剪力的影响线：
A B
求外伸梁支座A处的弯矩影响线以及支座A 左侧和支座右侧的剪力影响线M A
1M A
l1l l2 l1
M A影响线
1
l1
M A L
M A影响线
L
1
l1
M A R
M A影响线
R
1
F SA L
影响线
1
F SA
L
1
1
F SA
R
F SA R
影响线
§11-5多跨静定梁的影响线
1、静力法
将基本部分和附属部分从铰处先分开，求出各铰处的内力和支反力，最后再处理单跨静定梁问题——问题比较复杂。

2、机动法
例：多跨静定梁如图，绘出F R SB L SB
K F F F M ,,,的影响线 注意：支座处不能有虚位移，杆件不能变形
§11-6桁架的影响线(略)
§11-7利用影响线求量值
本节要解决：在已绘出某一量值的影响线时，如何利用影响线，求出多个荷载同时作用或者是分布荷载作用时，该量值的大小。

一、多个集中力作用
设n P P P ,,,21 （固定）
对应的影响线上的值分别为n y y y ,,,21 ，如图：
根据影响线的定义，有 单独的11
=P 作用时，量值S 的值为11y S =
单独的1P 作用时，量值S 的值为111y P S =
同理，有：
n n n y P S y P S y P S ===,,,333222 n P P P ,,,21 同时作用时，有
∑==+++=n
i i i n n y P y P y P y P S 12211 ———多个集中力同时作用时，
量值的计算方法
特例：若干个集中力n P P P ,,,21 作用在影响线的同一条直线范围内，如图：
其中，R 是集中力的合力， y 是合力对应的影响线值，o 点是影响线的延长线和基准线的交点，α是两条线的夹角，n x x x ,,,21 是以o 点为零点的横坐标。

则有，
∑=+++=+++==n
i i
i n n n
n x P tg tg x P tg x P tg x P y P y P y P S 122112211αααα
根据合力矩定理，有：
x R x P n
i i i =∑=1
所以有，y R tg x R x R tg x P tg S
n
i i i =⋅⋅=⋅=∑==)(1
ααα
——多个集中力n P P P ,,,21 作用在影响线的同一条直线范围内时，量值的计算公式。

二、分布荷载作用
设在
[]b a ,范围内有分布荷载)(x q 如图：
则：⎰=b
a
ydx x q S
)(
若q x q =)(，则)()(-+-==⎰=⎰=ωωωq q ydx q ydx x q S b
a
b a
其中，ω为
[]b a ,范围内影响线所围面积的代数和。

例：简支梁受力如图，求C 截面的弯矩C M 和剪力SC F
例：简支梁受力如图，求C 截面的弯矩C M
例 外伸梁受均布荷载作用，求跨中截面C 的弯矩。

M C 影响线
l/4
l/2
l/2
l/4
q
C
l /4
l /8
2323482124
21ql q l l l l
M C =⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-⨯⨯=
§11-8铁路和公路的标准荷载制
本节介绍铁路和公路设计时用到的荷载形式：
一、 中华人民共和国铁路标准活载(“中—活载”)
注意：图中荷载为一线上的荷载。

二、 公路桥涵设计使用的汽车荷载
公路桥涵设计使用的汽车荷载分为：车道荷载和车辆荷载 每种荷载又分为：公路I 级和公路II 级
1、车道荷载由均布荷载(可以任意断续分布)和集中荷载组成，如图：
q k
F k
对于公路I 级，
kN/m 5.10=k q
m 50m 360kN,50m 5 ,41605m
kN,180⎪⎩⎪
⎨⎧≥<<+≤=l l l l F k
l 为桥涵计算跨径。

对于公路II 级，k q 和k F 为对于公路I 级的75.0倍 2、车辆荷载(I 、II 级公路一样
)
3.0m 7.0m 1.4m 1.4m
30kN
120kN 120kN
140kN
140kN
行驶方向
§11-9最不利荷载位置
一、定义：使某一量值出现最大(或最小)值时，此时荷载所在的位置称为最不利荷载位置。

二、简单荷载最不利荷载位置对于单个集中荷载、可以任意断续分布的均布荷载，最不利荷载位置如图：
S影响线
F
S max
F
S min
q
S max
q
S min
三、行列荷载(一组间距不变的移动荷载)最不利荷载位置
求最不利荷载位置的问题是一个求最大值的问题，所用的方法：依据
所研究量值的差商的符号（有可能所研究量值的导数不连续，如形的函
数曲线）
设S 的影响线为一折线，影响线以及荷载分布如图：
S 影响线F R1
x
...
α1α2
αn y
y 1
y 2
y n {
F R2
{
{
F Rn
...
其中， i α由水平线逆时针转到影响线为正，否则为负，例如：图中n αα,1为正，2
α为负；
1R F ，2R F ，…，Rn F 为每一直线段内各荷载的合力；
1y ，2y ，…，n y 为合力对应的影响线的座标值。

根据由影响线计算量值的公式，有：
n Rn R R y F y F y F S +++= 2211
当整个合力荷载组有一移动增量x ∆时，如图：
S
影响线F R1
x
...α1α2αn
y
y 1
y 2
y n {
F R2
{
{
F Rn
...
Δy 1
Δx
Δy
2Δx
Δx Δy n
则有， )()()(2221111n n Rn R R y y F y y F y y F S ∆+++∆++∆+=
增量为
∑=∆=⨯∆++⨯∆+⨯∆=∆++∆+∆=-=∆n
i i
Ri n Rn R R n
Rn R R tg F x tg x F tg x F tg x F y F y F y F S S S 1221122111αααα 注意：在上面公式的推导中，有两个假设：
1)i y 和i i y y ∆+在同一直线段，即有x ∆时，i i xtg y α∆=∆（意为i α不变）； 2)有了移动增量后，合力的大小未变，即：所有的力还在原来的直线范围内。

由上面的增量表达式可得
∑==∆∆n
i i Ri tg F x S 1
α 若量值S 取极大值，应有0<∆S ，则有
当0>∆x 时（即荷载向右移时），
01
<=∆∆∑=n
i i Ri tg F x S α
当0<∆x 时（即荷载向左移时），
01
>=∆∆∑=n
i i Ri tg F x S α 同理，若量值S 取极小值，应有0>∆S ，则有
当0>∆x 时（即荷载向右移时），
01>=∆∆∑=n
i i Ri tg F x S α 当0<∆x 时（即荷载向左移时），
01
<=∆∆∑=n
i i Ri tg F x S α 总之，当x ∆变号时，∑=n
i i Ri tg F 1α也变号，量值S 才能是极值（但不一定是
最大/小值）。

问题：什么情况下，当x ∆变号时，∑=n
i i Ri tg F 1α也变号？
根据上面公式推导时的假设：
1)i y 和i i y y ∆+在同一直线段，即有x ∆时，i i xtg y α∆=∆（意为i α不变）； 2)有了移动增量后，合力的大小未变，即：所有的力还在原来的直线范围内。

即：有x ∆时，Ri i F ,α并不变。

只有：当左移和右移时，合力Ri F 计算方式不一样，∑=n
i i Ri tg F 1α才可能变号，
即左移时的Ri F ，和右移时的Ri F 就不一样。

因此问题变为：什么情况下，当左移和右移时Ri F 计算方式不一样？ 显然，只有当某一个集中荷载恰好位于影响线的某一个顶点位置时，左移和右移时合力Ri F 计算方式不一样(要确保：在移动过程中，所有的集中荷载还在原来的直线段上)。

如图：
F R1{
F R2
{
F R1{
F R2
{
左移Δx <0
右移Δx>0
即：有的（注意：并非全部）集中荷载位于顶点时，可使∑=n
i i Ri tg F 1
α变号，
这种集中荷载称为临界荷载，对应的位置称为临界位置。

最不利荷载位置是临界位置之一，在此位置上，量值取最大/小值。

严格说：若影响线有m 个顶点，结构受n 个集中荷载作用，则共有m ×n 种情况下，∑=n
i i Ri tg F 1α可能变号。

但为了减少计算，先大致估计一下最不利荷载的位置，也就是将行列荷载中数值较大，且荷载比较密集的部分置于影响线最大竖标附近，同时，位于同符号影响线范围内的荷载尽可能多，这样以产生较大的S 量值。

总结：
1）选一个荷载置于影响线的某个顶点； 2）利用判别式∑=n
i i Ri tg F 1α，看其是否变号；
3）如果变号，说明是一个临界位置，求出这个临界位置对应的S 值；否则重复1)；
4）如此反复，找出所有的临界位置对应的S 值；
5）比较各S 值，得出最大值。

例11-2 间接作用下的简支梁，受中—活载作用，求截面K 的最大弯矩。

解： 影响线如图：
图中，8
3
,8145.0,8545.2321-=====αααtg tg tg 确定临界荷载的位置 1) 列车由右向左行驶
先将轮4置于D （仅仅是一种猜想，不会影响最后的计算结果），则， 左移（0<∆x
）：
358
3
6808166085220)592220(22032203
21<-=⨯-⨯+⨯=⨯++⨯⨯+⨯=∑ααααtg tg tg tg F i Ri
右移（0>∆x
）：
1458
3
9008144085220)5922202(22022203
21<-=⨯-⨯+⨯=⨯+⨯+⨯⨯+⨯=∑ααααtg tg tg tg F i Ri
∑i Ri tg F α未变号，说明轮4在D 点不是临界位置，但分析：
当0<∆x 时，由
∑<=∆∆0i Ri tg F x
S α，即0>∆S 或，当0>∆x
时，由∑<=∆∆0i Ri tg F x
S
α，即0<∆S ，因此S 曲线如图：
因此，荷载组应继续向左行驶(注意：两种移动，一种指荷载组大范围的移动，目的：将某个荷载定位在某个位置，另一种指荷载组定位后，有微小的左、右移动，目的：判断是否是临界位置)，将轮2置于C 点，再判断： 左移（0<∆x
）：
5.408
3
7728144085440)692220(220222023
21>=⨯-⨯+⨯=⨯++⨯⨯+⨯⨯=∑ααααtg tg tg tg F i Ri
右移（0>∆x
）：
5.698
3
7728166085220)692220(22032203
21<-=⨯-⨯+⨯=⨯++⨯⨯+⨯=∑ααααtg tg tg tg F i Ri
∑i Ri tg F α变号，说明轮2在C 点是一个临界位置。

根据几何关系：
可得，各合力作用点对应的影响线值为：
轮1：5625.15.28
5
1=⨯=y
轮2、轮3和轮4的合力：6875.25.181
5.22=⨯+=y
轮5：8125.25.783
3=⨯=y
分布荷载合力：125.138
3
4=⨯=y
所以，
m
kN 3357125.16928125.2220 6875
.222035625.1220⋅=⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯==∑i Ri K y F M
可以验证，只有此一个临界位置（有时临界位置不止一个）。

2) 列车由左向右行驶
采用同样的方法，可以判断出轮4位于D 点为唯一的临界位置
左移：
()0
8
394
81980-5321840 8
3
220381220292185924>=+=⨯
⨯-⨯⨯+⨯+⨯⨯=∑i Ri tg F α
右移：
()0
8
488
82640-2311840 8
322048122092185924<-=+=⨯⨯-⨯+⨯+⨯⨯=∑i
Ri tg F α
变号，所以是一临界位置。

相应的可算出：
α1
α2
α3
2.5
1.25
2.5625
2.8125
3
4m
1m 1.5m
5m
1.875
92 kN/m
5×220 kN
m
kN 3212 1.87522033220 8125.22205625.292125.1924⋅=⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯=K M
3) 确定最不利荷载位置
比较两种情况下的K M 值，可知：最不利荷载位置出现在列车从右向左行驶、轮2位于C 点时，最大弯矩值为：
m kN 3357(max)⋅=K M
注意：两种移动的区别
1)移动的目的是使某个集中力位于影响线的顶点（大范围的移动），从一个集中力位于影响线的某一顶点，到另一个集中力位于影响线的某一顶点（集中力和顶点可以不同）。

2)移动的目的是判断是否为载荷的临界位置（小范围的移动），一个集中力已经位于影响线的某一顶点。

四、两种特殊情况下的最不利荷载位置确定
1、非直角三角形影响线 (1)集中荷载
设临界荷载cr F 处于三角形影响线的项点，a F 表示顶点左侧荷载的合力，b
F
表示顶点右侧荷载的合力，如图：
讨论极大值问题（极小值问题类似），即0<∆S ，
由0<∆=∆∑i Ri tg F x S
α，可知，
当左移时，0<∆x ，应有0∑>i Ri tg F α 即，
()0>-+βαtg F tg F F b cr a （※）
当右移时，0>∆x ，应有0∑<i Ri tg F α
即，0)(<+-βα
tg F F tg F b cr a （※※）
将b
h
tg a h tg ==βα,代入上两式，得：
0>-+b F a F F b cr a 或b F a F F b cr a >+（左移时） 0<+-b F F a F b cr a 或b
F F a F b cr a +<（右移时） 上两式就是三角形影响线临界位置的判别式。

解释：
a F a ，b
F
b 分别为顶点两侧的平均荷载，如果将cr F 归入哪一侧，则那一侧的平均荷载就大，则cr F 的位置就是临界位置。

(2)均布荷载
设均布荷载跨过三角形影响线的顶点，顶点左侧的合力为a F ，顶点右侧的
合力为b F ，如图：
因当均布荷载移动时，量值S 是连续变化的（即均布荷载范围内，影响线所围面积是连续变化的），所以可由∑==0i Ri tg F dx
ds
α 来确定临界位置，即，
0=-B a F b h
F a h ==>b
F a F b a = 顶点两侧平均荷载相等时，量值取极值。

2、直角三角形影响线，或竖标有突变的影响线 如图：
无法用公式判断临界位置、临界荷载，只能安排几种荷载位置，直接算
出量值S 的结果，再比较，选大者。

原因：α是常量，∑∑=Ri i Ri F tg tg F αα不变号
例11-3 简支梁受移动荷载kN 11521==F F ，kN 15543==F F 作用如
图，求C 截面的最大弯矩。

解：41,F F 肯定不是临界荷载，32,F F 有可能是。

先将2F 置于C 点，根据三角形影响线的临界位置判别式，有，
左移：
3.447
2
1554652115=⨯>=⨯ 右移：
7.607
2155115235115=⨯+<= 因此，是临界位置。

m
kN 85592.21555.3115 2415245515512351271151⋅=⨯+⨯=⎪
⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=C
M
再将3F 置于C 点，但注意：此时1F 已经不在梁上。

根据三角形影响线的临界位置判别式，有，
左移：
1.227155
545155115=>=+ 右移：3.427
1552235115=⨯<= 因此，也是临界位置。

m kN 88117.415504.21151215123515524491152
⋅=⨯+⨯=⎪⎭
⎫
⎝⎛++⨯=C
M
比较可知，3F 位于C 点是最不利荷载位置，C 截面最大弯矩为
m kN 881(max)⋅=C M
§11-10换算荷载
为了简化计算，预先编制一些表——换算荷载表，利用换算荷载表可以求某一量值的最大/小值。

注意：
1、换算荷载表和荷载形式、影响线的形状有关，即换算荷载表是针对具体形式的影响线、具体荷载编制的；
2、只能用换算荷载表确定某一量值的最大/小值，不能确定最不利荷载的位置。

定义：换算荷载是一种均布荷载K ，它使下式成立：
max S K =++ω
或， min S K =-
-
ω
其中，+
ω是量值S 影响线的正面积，-
ω是量值S 影响线的负面积。

表11-2 中—活载的换算荷载(每线)
加载长度l /m
影响线最大纵坐标位置
端部
1/8处
1/4处
3/8处
1/2处
0K
125.0K
25.0K
375.0K
5.0K
1 500.0 500.0 500.0 500.0 500.0
2 312.5 285.7 250.0 250.0 250.0 … … … … … … 10 159.8 146.2 143.6 140.0 141.
3 12 150.
4 137.
5 136.0 133.9 131.2 14 143.3 130.8 129.4 127.
6 125.0 …
…
…
…
…
…
注：表11-2是中—活载的换算荷载，要求：同符号的影响线是三角形。

使用表时注意：
1、加载长度（荷载长度）l 指同符号影响线的长度，如图，有两个加载长度；
2、l α是顶点至较近零点的水平距离，所以5.00≤≤α，表中K 的下标表示α的值；
3、对于表中没有的数值(α或l )，用线性插值法得到。

例11-4 用换算荷载表计算中—活载作用下，简支梁C 截面的最大和最小剪力，以及最大弯矩。

A
B
C
14m
28m
1/32/3
F SC 影响线
28/3M C 影响线
解：C 截面的剪力和弯矩影响线如图 1) 计算(min)SC F
m 14=l ，0=α，查表：kN/m 3.143=K
所以，kN 33431142
1
3.143(min)-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-
⨯==-
ωK F SC
含义：中—活载作用下，简支梁C 截面的最小剪力值相当于简支梁在
kN/m 3.143=K 作用下，C 处的剪力值。

A
B
C
K=143.3 KN·m
2) 计算(max)SC F
m 28=l ，0=α
查表：0=α ，m 250=l ，kN/m 5.1220=K
0=α ，m 301=l ，kN/m 8.1171=K
线性插值：0100
10
l l l l K K K K --=-- 得：()5.1228.11725
3025285.122)(0
10100---+
=---+=K K l l l l K K m /kN 7.119=
所以，kN 11173
2
28217.119(max)
=⨯⨯⨯==+
ωK F SC
含义：简支梁在kN/m 7.119=K 作用下，C 处的剪力值为1117 kN
A
B
C
K=119.7 KN·m
3) 计算(max)C M
m 42=l ，333.0=α，都没有，插值求解。

可以采两种方式 一种是：
l 40m 42m 45m
K 0.25K 0.33K 0.375100.8
97.4
98.996.2
(98.5)(97.1)(97.9)
查表得：m 40=l 、25.0=α时，kN/m 8.100=K
m 40=l 、375.0=α时，kN/m 4.97=K
插值得：m 40=l 、333.0=α时，kN/m 5.980=K 再查表得：m 45=l 、25.0=α时，kN/m 8.98=K
m 45=l 、375.0=α时，kN/m 2.96=K
插值得：m 45=l 、333.0=α时，kN/m 1.971=K 最后再利用：m 40=l 时，kN/m 5.980=K ， 及 m 45=l 时，kN/m 1.971=K 插值得：kN/m 9.97=K 另一种是：
l 40m 42m 45m
K 0.25K 0.33
K 0.375100.897.498.9
96.2
(100.0)(96.9)(97.9)
弯矩最大值为：
m kN 191902879.973
28
42219.97(max)
⋅=⨯⨯=⨯⨯⨯==ωK M C
A
B
C
K=97.9 KN·m
含义：简支梁在均布荷载kN/m 9.97作用下，C 处的弯矩值为19190 kN ·m 。

§11-11简支梁的绝对最大弯矩
绝对最大弯矩：在荷载移动过程中，每一截面都会有一个最大弯矩，各
个截面最大弯矩中的最大者称为绝对最大弯矩。

可以断定：绝对最大弯矩发生在某一集中力所作用的截面处：
x
F 1
F 2…
F K F n
…
首先，看集中荷载作用处的截面应满足什么条件，截面上的弯矩能取极值。

如图，设K F 是一个集中力，R F 是梁上力系的合力，两者间的距离为a
A
B
l
F R
…
F 1
F 2
F K
…
F n
x a
F A
F B
则A 支座的支力为：)(a x l l
F F R
A --= K F 作用点的弯矩为：K R
K A x M x a x l l
F M x F M ---=
-⨯=)(（上拉下压为正，或者逆时针为正）
其中，K M 是K F 以左各集中荷载对x 截面的弯矩(因各个集中荷载间的距离保持不变，所以K M 和x 无关，只要K F 选定，K M 为常量)。

根据极值条件：0)2(=--=a x l l
F dx dM R
x 得：2
2a
l x -=
即：当K F 与合力R F 对称于梁的中点时，K F 作用处截面弯矩达到最大，如图：
A
B
l 2
F R
…
F 1
F 2
F K
…
F n
a
a/2
a/2
a 2l 2l 2
其最大值为：
K R M a l l
F M -⎪⎭
⎫
⎝⎛-=2
max
22 然后，按上述条件，将所有这样的截面找出来，选择其中的最大者，就是绝对最大弯矩，同时，也可确定绝对最大弯矩发生的位置。

例11-5 简支梁受荷载作用如图，求绝对最大弯矩。

A
B
C 20m
4m
50kN
4m
5m 100kN
30kN
70kN
解：
1)先求合力的相对位置
合力kN 250703010050=+++=R F
50kN
100kN
30kN
70kN
F R
a 1
根据合力矩定理，对100kN 力作用点取矩，得：
450)45(705301⨯-+⨯+⨯=⨯a F R
m 32.2250
5802502006301501==-+=a
2)求弯矩取极值的截面 共有四个：
(1)50kN 的力和合力对称于梁中点时，50kN 力作用处的截面，如图：
A
B
C
3.16m 3.16m
4m
50kN
4m
5m
100kN
30kN
70kN
F R
相应的极值弯矩：
m kN 5850216.3222020250222
21max
⋅=-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=-⎪⎭
⎫
⎝⎛-=K R M a l l
F M
(2)100kN 的力和合力对称于梁中点时，100kN 力作用处的截面，如图：
A
B
C
4m
50kN
4m
5m 100kN
30kN
70kN
F R
2 1.16m
m
kN 7778.776450216.1222020250222
2
2max
⋅==⨯-⎪⎭
⎫
⎝⎛⨯-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=K R M a l l F M
(3)30kN 的力和合力对称于梁中点时，30kN 力作用处的截面，如图：
A
B
C 2 1.34m
4m
50kN
4m
5m
100kN
30kN
70kN
F R
m
kN 6575100)54(50234.1222020250222
2
3
max ⋅=⨯-+⨯--⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=K R M a l l F M
（注意：所研究的力在合力的右侧时，a -换为a ）
或者，K M 是K F 以右各集中荷载对所研究力截面的弯矩（上拉下压为正，或者顺时针为正）
m kN 657470234.1222020250222
23max
⋅=⨯-⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=K R M a l l F M (4)70kN 的力和合力对称于梁中点时，70kN 力作用处的截面，如图：
A
B
C
3.34m 4m 50kN
4m
5m
100kN
30kN
70kN
F R
3.34m
m
kN 554430)45(100)454(50234.3222020250222
2
4
max ⋅=⨯-+⨯-++⨯--⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=K R M a l l F M
或者，
m kN 554234.3222020250222
24max
⋅=⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=K R M a l l F M 从中选最大者作为绝对最大弯矩，所以，m kN 777max ⋅=M 3)跨中截面的最大弯矩
最不利荷载位置以及相应的影响线值如图：
A
B
C
10m 70kN
4m
50kN
4m
5m
100kN
30kN 10m
5.0
2.5
0.5
3.0
M C 影响线
m kN 7605.0705.2300.51000.350(m ax)⋅=⨯+⨯+⨯+⨯=C M
和绝对最大弯矩的相对误差
%2.2%100777
760
777=⨯-。

所以，一般用跨中的最大弯矩代替绝对最大弯矩。

或者，先判断载荷的位置是否是临界位置，然后再计算绝对最大弯矩，如 (1)50kN 的力和合力对称于梁中点时
3.16m
3.16m
50kN
100kN 30kN
70kN
F R
2.32m
6.84m 13.16m
左移：
16
.13200
84.650< 右移：16
.1325084.60< 没变号，不是临界位置
(2)100kN 的力和合力对称于梁中点时
50kN
100kN 30kN
70kN
F R
2.32m
8.84m
11.16m
1.16m
24.93
2.70 2.72
0.95
左移：
16
.11100
84.8150> 右移：16
.11200
84.850< 变号，是临界位置，相应的弯矩为，
m kN 1.77695.07072.23093.410070.250max ⋅=⨯+⨯+⨯+⨯=M
(3)30kN 的力和合力对称于梁中点时
50kN
100kN 30kN
70kN
F R
2.32m
11.34m 8.66m
1.34m
2
左移：66
.870
34.11180> 右移：5.1166
.8100
34.111502.13=>=
没变号，不是临界位置
(4)70kN 的力和合力对称于梁中点时
50kN
100kN 30kN
70kN
F R
2.32m
13.34m 6.66m
3.34m 3.34m
左移：66
.60
34.13250> 右移：5.1066
.670
34.131805.13=>=
没变号，不是临界位置。