辽宁省大连市海湾高级中学2019_2020学年高一数学上学期第一次质检试题(含解析)

辽宁省大连市海湾高级中学2019-2020学年高一数学上学期第一次质
检试题（含解析）
一、选择题：共12道小题合计60分
1.若集合{}
1,A x x x R =≤∈，{
}
2
,B y y x x R ==∈，则A B =（ ）
A. {}
11x x -≤≤ B. {}
01x x ≤≤
C. {}
1x x ≥
D. ∅
【答案】B 【解析】 【
分析】
解绝对值不等式求得集合A ，求函数值域求得集合B ，由此求得两个集合的交集. 【详解】由1x ≤，解得11x -≤≤；函数2y
x 的值域为[)0,+∞；所以
A B ={}01x x ≤≤.
故选：B. 【点睛】本小题主要考查集合交集的运算，考查绝对值不等式的解法，考查二次函数的值域，
属于基础题.
2.设命题2
:,2n
P n N n ∃∈>，则P ⌝为（ ） A. 2
,2n
n N n ∀∈> B. 2,2n
n N n ∃∈≤ C. 2
,2n
n N n ∀∈≤ D. 2
,2n
n N n ∃∈=
【答案】C 【解析】
【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为2,2n
n N n ∀∈≤，即本题
的正确选项为C.
3.已知3
()1f x x x =+-，则下列哪个区间内有零点（ ） A. ()0,1 B. ()1,2 C. ()1,0- D. ()2,3
【答案】A
【解析】 【分析】
先判断函数的单调性，然后根据零点存在性定理，判断出零点所在区间.
【详解】3
()1f x x x =+-为R 上的增函数，且()()010,110f f =-<=>，故
()()010f f ⋅<，所以()f x 的唯一零点在区间()0,1.
故选：A.
【点睛】本小题主要考查零点存在性定理的应用，考查函数的单调性，属于基础题. 4.函数2
1
()12f x x =+的值域为（ ）
A. ()0,1
B. [)0,1
C. []0,1
D. (]0,1
【答案】D 【解析】 【分析】
根据20x ≥，求得()f x 的值域.
【详解】由于20x ≥.所以220x ≥，2121x +≥，2
1
0112x
<≤+，故()f x 的值域为(]0,1. 故选：D.
【点睛】本小题主要考查函数值域的求法，考查不等式的性质，属于基础题. 5.设A ，B 是两个集合，则“A B A ⋂=”是“A B ⊆”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】
试题分析：若A B A ⋂=，对任意x A ∈，则x A B ∈⋂，又A B B ⋂⊆，则x B ∈，所以A B ⊆，充分性得证，若A B ⊆，则对任意x A ∈，有x B ∈，从而x A B ∈⋂，反之若x A B ∈⋂，则x A ∈，因此A B A ⋂=，必要性得证，因此应选充分必要条件．故选C ． 考点：充分必要条件．
6.某企业制定奖励条例，对企业产品的销售取得优异成绩的员工实行奖励，奖励金额（元）
()()(500)f n k n n =-(n 为年销售额)，而()()()0.35001000()0.4100020000.52000n k n n n ⎧≤≤⎪
=<<⎨⎪≥⎩
，若一员工获得
400元的奖励，那么该员工一年的销售额为（ ）
A. 800
B. 1000
C. 1500
D. 1200
【答案】C 【解析】 【分析】
先求得()f n 的表达式，令()400f n =，由此求得n 的值，也即该员工一年的销售额.
【详解】依题意()()()()0.3500,5001000()()(500)0.4500,100020000.55002000n n f n k n n n n n n ⎧-≤≤⎪
=-=-<<⎨⎪-≥⎩
，由
()5500
0.35000.3150400,10003n n n -=-==
>不符合；由()()600
0.45000.4200400,15001000,20000.4n n n -=-===∈符合；由
()650
0.55000.5250400,130020000.5n n n -=-===<不符合.故该员工一年的销售额为
1500元.
故选：C.
【点睛】本小题主要考查根据分段函数函数值求对应自变量的值，考查实际生活中的数学应用，属于基础题.
7.已知函数()f x 满足11
2()()f x f x x
-=
，则()f x 的最小值是（ ） A. 2
B. C.
23
D.
3
【答案】D 【解析】 【分析】
利用消元法求得()12
3x f x x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
+，再利用基本不等式可得结果.
【详解】因为11
2()x
f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，
所以12()f f x x x ⎛⎫
-=
⎪⎝⎭
， 两式联立可得()12
3x f x x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
+， ()f x 的最小值是由基本不等式可得()2112322
23
3x x x x f x ⎛⎫=
≥⨯= ⎪⨯ ⎪⎝⎭+， ()f x 的最小值是223
，
故选：D.
【点睛】本题主要考查利用消元法求函数解析式，考查了基本不等式的应用，属于中档题. 8.函数x
y x x
=+
的图象为（ ） A. B.
C. D.
【答案】C 【解析】 【分析】
利用函数的定义域，选出正确选项. 【详解】由于函数x
y x x
=+
的定义域为{}|0x x ≠，只有C 选项符合.
另外，1,01,0
x x x y x x x x +>⎧=+=⎨-<⎩，由此也可以判断出正确选项. 故选：C.
【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，属于基础题.
9.已知不等式210ax bx --≥的解集是[]2,3，则不等式20x bx a --<的解集是（ ） A. ()3,2-- B. ()(),32,-∞-⋃-+∞ C. 11,,23⎛⎫⎛⎫
-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
D. 11,23⎛⎫
-
- ⎪⎝
⎭ 【答案】D 【解析】 【分析】
根据不等式210ax bx --≥的解集求得,a b 的值，由此求解不等式20x bx a --<.
【详解】由于不等式2
10ax bx --≥的解集是[]2,3，所以231
23b a a ⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=-⎪⎩
，解得15,66a b =-=-.
所以不等式20x bx a --<即2
51066x x +
+<，11032x x ⎛
⎫⎛⎫++< ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭，解得1123x -<<-.
故不等式2
0x bx a --<的解集是11,23⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
.
故选：D.
【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题.
10.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的不等实数1x ，2x ，不等式
()()1122x f x x f x +()()1221x f x x f x <+恒成立，则不等式()0f x <的解集为（ ）
A. (),0-∞
B. ()0,∞+
C. (),1-∞
D. ()1,+∞
【答案】B 【解析】 【分析】
根据“对于任意给定的不等实数1x ，2x ，不等式()()1122x f x x f x +()()1221x f x x f x <+恒成立”，以及()f x 的奇偶性，判断出函数()f x 的单调性，由此求得不等式()0f x <的解集.
【详解】由()()1122x f x x f x +()()1221x f x x f x <+整理得()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，结合()f x 是R 上的奇函数可知，()f x 在R 上单调递减，且()00f =，所以()0f x <的解集为()0,∞+. 故选：B.
【点睛】本小题主要考查函数的单调性的判断，考查函数奇偶性的运用，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
11.[]
x 表示不超过x 的最大整数，若22[]0x x k --≤，对一切实数x 均成立，则k 的最小值是（ ） A. 1 B. 2
C. 0
D. 1-
【答案】B 【解析】 【分析】
将不等式22[]0x x k --≤分离常数k ，根据[]
x 的定义，求得22[]x x -的取值范围，由此求得k 的取值范围，进而求得k 的最小值.
【详解】由22[]0x x k --≤，得[]22k x x ≥-，对一切实数x 均成立.由于[][)0,1x x -∈，所以[][)220,2x x -∈，所以2k ≥，也即k 的最小值为2. 故选：B.
【点睛】本小题主要考查新定义运算的理解和运用，考查不等式恒成立问题的求解策略，属于基础题. 12.函数()(
)222
2
1(31)
x x f x x +=+的最大值为(
)
A.
1
9 B.
18 C.
16
D.
14
【答案】B
【解析】 【分析】
利用换元法设231t x =+，转化为二次函数，利用二次函数性质进行求解即可． 【详解】设231t x =+，则1t ≥，且2
1
3
t x -=
， 则函数()222
11211
13393t t t t t f x t t --⎛⎫-+-⋅++ ⎪⎝⎭=
= 22222222133211211192111
1[2)()999948948t t t t t t t t t t t -++-+-⎛⎫⎛⎤===+-=---=--+ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦ 1t ≥，1
01t
∴<≤，
则当11
4
t =时，函数取得最大值
18
， 此时4t =，即2314x +=，1x =±时，取等号， 故选B ．
【点睛】本题主要考查函数最值的求解，利用换元法转化为二次函数，利用二次函数的性质是解决本题的关键，属于基础题． 二、填空题：（共4道小题合计20分）。

13.已知函数()2
3f x ax bx a b =+++为偶函数，其定义域为[]1,2a a -,则函数的值域为
____ 【答案】311,27⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
根据函数为偶函数，定义域关于原点对称求得a 的值，根据偶函数的定义求得b 的值，根据二次函数的性质求得函数的值域.
【详解】由于()f x 为偶函数，定义域关于原点对称，故1
120,3
a a a -+==
，()2113f x x bx b =
+++，()21
13
f x x bx b -=-++，由于()()f x f x =-，故0b =，即
()2113f x x =
+，定义域22,33x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
.根据二次函数性质可知，当0x =时，函数有最小值为1，当2
3
x =
时，函数有最大值231327f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，故函数的值域为311,27⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，考查二次函数的性质，属于基础题.
14.函数y x
=的定义域为__________．
【答案】[)(]4,00,1-
【解析】 【分析】
根据偶次方根被开方数为非负数、分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.
【详解】依题意23400x x x ⎧--+≥⎨≠⎩
，即41
0x x -≤≤⎧⎨≠⎩，所以函数的定义域为[)
(]4,00,1-.
故答案为：[)
(]4,00,1-
【点睛】本小题主要考查具体函数定义域的求法，属于基础题.
15.二次函数2
48y kx x =--在[]5,10上单调递减，则k 的范围是__________． 【答案】()1,00,5⎛⎤
-∞ ⎥⎝⎦
【解析】 【分析】
将k 分为0,0k k ><两种情况进行分类讨论，结合二次函数的性质列不等式，由此求得k 的取值范围.
【详解】当0k >时，二次函数开口向上，对称轴为
2
0k
>，要使二次函数248y kx x =--在[]5,10上单调递减，则需210k ≥，解得1
0,5k ⎛⎤∈
⎥
⎝⎦
.
当k 0<时，二次函数开口向下，对称轴为2
0k
<，二次函数248y kx x =--在[]5,10上单调递减恒成立，所以(),0k ∈-∞. 综上所述，k 的范围是()
1,00,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
. 故答案为：(
)1,00,5⎛⎤
-∞ ⎥⎝⎦
【点睛】本小题主要考查根据二次函数在给定区间上的单调性求参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.
16.若0x >，0y >，20x y xy +-=，则2x y +的最小值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】
由条件可得121x y +=，即有()12222214y x
x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++ ⎪⎝⎭
，由基本不等式可
得所求最小值．
【详解】若0x >，0y >，20x y xy +-=，即
12
1x y
+=， 则()12222214y x
x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++ ⎪⎝⎭
59≥+=， 当且仅当3x y ==取得最小值9， 故答案为9．
【点睛】本题考查基本不等式的运用，注意运用“1”的代换，考查化简运算能力，属于基础题．
三.解答题：（共6道大题，合计70分，要写出适当的推演步骤）
17.已知集合2{}2|A x a x a =-≤≤+，2
540{|}B x x x =-+≥．
（1）当3a =时，求A
B ，()R A B ；
（2）若A B ∅＝∩，求实数a 的取值范围．
【答案】(1) 11{|4},5x x x -≤≤≤≤或 {|15}x x -≤≤；(2) ()1-∞，
. 【解析】 【分析】
（1）先求出集合A,B,再求A B ，()R A B ；（2）由题得21
2422a a a a ->⎧⎪
+<⎨⎪-+⎩
或22a a ->+
，解不等式即得解.
【详解】（1）当3a =时，15{|}A x x =-≤≤，2
540}14{|{|}B x x x x x x =-+≥=≤≥或，
{}|14R
B x x =<<，
∴{}1145|A B x x x ⋂=-≤≤≤≤或，1(}5){|R A B x x ⋃=-≤≤ }． （2）因为A
B =∅，
所以21
2422a a a a ->⎧⎪
+<⎨⎪-+⎩
或22a a ->+
解得01a ≤<或0a <，
所以a 的取值范围是()1-∞，
． 【点睛】本题主要考查集合的运算和关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
18.某大学要修建一个面积为2216m 的长方形景观水池，并且在景观水池四周要修建出宽为2m 和3m 的小路(如图所示).问如何设计景观水池的边长，能使总占地面积最小？并求出总占地面积的最小值．
【答案】水池一边长为12m ，另一边为18m ，总面积为最小，为2384m ． 【解析】
【分析】
设水池一边长为xm ，则另一边为216
m x
，表示出面积.利用基本不等式求解即可． 【详解】设水池一边长为xm ，则另一边为216
m x
，
总面积()2216864462406240240144384y x x m x x ⎛⎫
=++=++≥+=+=
⎪⎝⎭
，
当且仅当12x =时取等号，
故水池一边长为12m ，则另一边为18m ，总面积为最小，为2384m ，
【点睛】本题考查函数在实际问题中的应用，基本不等式的应用，考查计算能力．
19.已知函数2
()1mx n f x x +=+是定义在11,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的奇函数，且13
35
f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. (1)确定函数()f x 的解析式； (2)用定义证明函数()f x 在11,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上是减函数； (3)若实数t 满足(1)03t f f t ⎛⎫
++< ⎪⎝⎭
，求t 的取值范围.
【答案】（1）22()1x f x x -=+；（2）见解析；（3）31,42⎛⎤
-- ⎥⎝⎦
【解析】 【分析】
（1）根据函数()f x 为奇函数且13
35
f ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
列方程组，解方程组求得,m n 的值，进而求得函数解析式. （2）任取121122x x -
<<<，通过计算()()210f x f x -<，由此证得函数()f x 在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上是减函数.
（3）利用函数的奇偶性和单调性、结合函数()f x 的定义域，由不等式(1)03t f f t ⎛⎫
++< ⎪⎝⎭
列不等式组，解不等式组求得t 的取值范围.
【详解】（1）由于函数()f x 为奇函数且1335f ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭，所以()2
0011335113n f m n ⎧==⎪⎪
⎪-+⎨=⎪⎪⎛⎫
+- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得0,2n m ==-，所以2
2()1x
f x x -=
+. （2）设1211
22
x x -
<<<，210x x x ∆=->，1210x x -<， ()()21y f x f x ∆=-()()
()()
21122
21
2
21011x x x x x x --=
<++
()f x ∴在11,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上是减函数
（3）(1)3t f f t ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭，()f x 是定义在11,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上的奇函数， (1)3t f f t ⎛⎫
∴<-- ⎪⎝⎭，又()f x 是定义在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上的减函数，
1311232
1
1122t
t t t ⎧>--⎪⎪
⎪∴-≤≤⎨⎪⎪-≤--≤⎪⎩
解出t 的取值范围是31,42⎛⎤-- ⎥⎝⎦
【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性求解析式，考查利用定义法证明函数的单调性，考查利用单调性和奇偶性解函数不等式，属于基础题.
20.已知函数2
()21(0)f x ax ax b a =-++>在区间[]0,3上有最大值5和最小值1
（1）求实数a ，b 的值；
（2）若存在[]
13,x ∈-使得方程2
()228f x x t t -=--有解，求实数t 取值范围。

【答案】（1）1a =，1b =（2）[][]3,24,5--
【解析】 【分析】
（1）根据二次函数()f x 的开口方向、对称轴，以及区间[]0,3上的最大值和最小值列方程组，解方程组求得,a b 的值.
（2）求得()2f x x -的取值范围，结合228y t t =--的图像，求得t 的取值范围. 【详解】（1）由于0a >，所以二次函数()f x 的开口方向，对称轴为1x =.所以()f x 在[]
0,1上递减在[]1,3上递增，根据()f x 的对称性有()()1211
39615
f a a b f a a b ⎧=-++=⎪⎨=-++=⎪⎩，解得1,1a b ==.
（2）由（1）知()2
22f x x x =-+.所以方程2
()228f x x t t -=--即
224228x t x t -+=--.即存在[]13,x ∈-使得方程224228x t x t -+=--有解.
令2420x x -+=，解得22x =±.画出[]2
42,1,3y x x x =-+∈-的图像如下图所示，
当1x =-时，1527y =++=，由图可知，[]2
42,1,3y x x x =-+∈-的值域为[]0,7.
令2280t t --=，解得122,4t t =-=.令2287t t --=，解的343,5t t =-=.画出
228y t t =--的图像如下图所示，
由图可知，要使“存在[]
13,x ∈-使得方程2
24228x t x t -+=--有解”，则
[][]3,24,5t ∈--.
【点睛】本小题主要考查根据函数的最值求解析式，考查存在性问题的求解策略，考查数形结合的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 21.已知函数2
()f x x =，对任意实数t ，()1t g x tx =-+. （1）()()()
t x
h x g x f x =
-在(0,2]上是单调递减的，求实数t 的取值范围； （2）若2()()f x mg x <对任意1(0,]3x ∈恒成立，求正数m 的取值范围. 【答案】（1）1,4
⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦；（2）1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝
⎭
.
【解析】
试题分析：（1）由已知得，()()()1
1t x h x g x tx f x x
=
-=+-，利用单调性的定义，可知要使h （x ）在（0，2]上是单调递减的，必须h （x 1）-h （x 2）>0恒成立，从而只需1-tx 1x 2>0恒成立，即12
1
t x x <
恒成立，故可求实数t 的取值范围； （3）解法一：由()()2f x mg x <，得()2
21x m x <-+，分离参数可得
2112
m x x
<-任意
10,3x ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦恒成立，只需
2min 112m x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭即可；解法二：由()()2f x mg x <，得2
20x mx m +-<．构造()2
2F x x mx m =+-，则f （x ）<0任意10,3
x ⎛⎤∈ ⎥⎝
⎦
恒成立，从而
得()00103F F ⎧≤⎪
⎨⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭
⎩即可求解.
试题解析：
（1）由已知得:()()()1
1t x h x g x tx f x x
=
-=+-， 任取1202x x <<≤，则
()()1212121111h x h x tx tx x x ⎛⎫⎛⎫-=+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
＝()()
2112121x x tx x x x --
要使()h x 在(]
0,2上单调递减，须()()120h x h x ->恒成立． 210x x ->，1204x x <<，
∴ 1210tx x ->恒成立，即12
1
t x x <
恒成立， 又
1214x x >
，∴ 14
t ≤ ∴实数t 的取值范围是1,4⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦.
（2）解法一：由()()2f x mg x <，得()2
21x m x <-+
又
0m >，∴
2112m x x
<-
又
()()2f x mg x <对任意10,3
x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
恒成立
∴
2min 112m x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，10,3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
2
212111x x x ⎛⎫
-=-- ⎪⎝⎭
∴当13x =时，函数212
y x x
=-取得最小值3 ∴
1
3m
< 又0m >，∴ 13
m >
∴正数m 的取值范围是1,3⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
.
解法二：由()()2f x mg x <，得220x mx m +-< 令()2
2F x x mx m =+-，则
()0F x <对任意10,3x ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
恒成立 ()00103F F ⎧≤⎪∴⎨⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭
⎩ ，即012093m m m -≤⎧⎪⎨+-<⎪⎩，解得13m >.
∴正数m 的取值范围是1,3⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
.
点睛：函数经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为
()0min f x >，若()0f x <恒成立，转化为()0max f x <;
（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为()()min max f x g x >.
22.已知函数()f x 对任意实数x ，y 恒有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >，()0f x <，又(1)2f =-.
（1）判断()f x 的奇偶性；
（2）求()f x 在区间[]3,3-上的最大值；
（3）否存在实数m ，使得不等式(
)22
()0f x m f x m -+-≤对一切x ∈R 都成立？若存
在求出m ；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）奇函数；（2）6；（3）存在，1
2
m =- 【解析】 【分析】
（1）先求得()0f ，然后求得()()0f x f x +-=，由此判断出()f x 为奇函数. （2）判断出()f x 的单调性，由此求得()f x 在区间[]3,3-上的最大值. （3）根据()f x 的单调性和奇偶性化简不等式(
)2
2
()0f x m f x m
-+-≤，根据一元二次不
等式恒成立的条件列不等式，解不等式求得m 的取值范围.
【详解】（1）依题意，函数()f x 对任意实数x ，y 恒有()()()f x y f x f y +=+. 令0x y ==，得()()()000f f f =+，解得()00f =.
令y x =-，得()()()f x x f x f x -=+-，即()()0f x f x +-=，故函数()f x 为奇函数. （2）任取()122121,0,0x x x x f x x <->-<，即
()()()()()2121210f x x f x f x f x f x -=+-=-<，即()()21f x f x <，所以()f x 在R 上
递减.所以()f x 在区间[]3,3-上
的
最大值为
()()()()()()()()3321111316f f f f f f f f -=-=-+=-++=-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.
（3）由（1）（2）知()f x 是在R 上递减的奇函数，故由(
)2
2
()0f x m f x m
-+-≤得
()()22()f x m f x m f m x -≤--=-，即22x m m x -≥-，即220x x m m +--≥，对对
一切x ∈R 都成立，所以(
)
2
140m m ∆=---≤，即()2
2441210m m m ++=+≤，解得
12
m =-.
【点睛】本小题主要考查抽象函数判断奇偶性和单调性，考查利用单调性和奇偶性求解不等式恒成立问题，考查函数的最值的求法，属于中档题.。