第17章勾股定理 导学案

八年级数学（下）教学案 第1课时
班级_______ 姓名______
课题：17.1勾股定理 （1） 课型:新授
【学习目标】：1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

学习重点：勾股定理的内容及证明。

学习难点：勾股定理的证明。

学习过程
一、自学导航（课前预习） 1、直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°（用几何语言表示）
（1）两锐角之间的关系：
（
2）若D 为斜边中点，则斜边中线
（3）若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边：
2、勾股定理证明：
方法一；
如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图图形，利用面积证明。

S 正方形＝_______________＝____________________
方法二； 已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。

求证：a 2＋b 2=c 2。

分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形
的面积相等。

左边S=______________
右边S=_______________ 左边和右边面积相等，
即
化简可得。

二、合作交流（小组互助）思考：
A B
b b b
（图中每个小方格代表一个单位面积） （2）你能发现图1－1中三个正方形A ，B ，C 的面积之间有什么关系吗？图1－2中的呢？ 由此我们可以得出什么结论？可猜想：
如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么__________________ _____________________________________________________________________。

（三）展示提升（质疑点拨） 1.在Rt △ABC 中，90C ∠=︒ ，
（1）如果a=3，b=4，则c=________； （2）如果a=6，b=8，则c=________； （3）如果a=5，b=12，则c=________； (4) 如果a=15，b=20，则c=________. 2、下列说法正确的是（ ）
A.若a 、b 、c 是△ABC 的三边，则2
2
2
a b c += B.若a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则2
2
2
a b c +=
C.若a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，90A ∠=︒， 则2
2
a b +D.若a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，90C ∠=︒ ，则2
2
2
a b c +=
3、一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）
A ．斜边长为25
B ．三角形周长为25
C ．斜边长为5
D ．三角形面积为20 4、如图,三个正方形中的两个的面积S1＝25，S2＝144，则另一个的面积S3为________． 5、一个直角三角形的两边长分别为5cm 和12cm,则第三边的长为 。

（四）达标检测
1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，
①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；
③若c=61，b=60，则a=__________；④若a ∶b=3∶4，c=10则S Rt△ABC =________。

2、一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，则斜边的长为 。

3、一个直角三角形的两边长分别为3cm 和4cm,则第三边的为 。

4、已知，如图在ΔABC 中，AB=BC=CA=2cm ，AD 是边BC 上的高． 求 ①AD 的长；②ΔABC 的面积．
八年级数学（下）教学案 第2课时
班级_______ 姓名______
课题：17.1勾股定理 （2） 课型:新授 学习目标：1．会用勾股定理进行简单的计算。

2．勾股定理的实际应用，树立数形结合的思想、分类讨论思想。

学习重点：勾股定理的简单计算。

学习难点：勾股定理的灵活运用。

学习过程
一、自学导航（课前预习）
1、直角三角形性质有：如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示） （1）两锐角之间的关系： ；
（2）若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ；
（3）直角三角形斜边上的 等于斜边的 。

（4）三边之间的关系： 。

（5）已知在Rt △ABC 中，∠B=90°，a 、b 、c 是△ABC 的三边，则
c = 。

（已知a 、b ，求c ） a = 。

（已知b 、c ，求a ） b = 。

（已知a 、c ，求b ）.
2、（1）在Rt △ABC ，∠C=90°，a=3，b=4，则c= 。

（2）在Rt △ABC ，∠C=90°，a=6，c=8，则b= 。

（3）在Rt △ABC ，∠C=90°，b=12，c=13，则a= 。

二、合作交流（小组互助）例1：一个门框的尺寸如图所示． 若薄木板长3米，宽2.2米呢？
例2、如图，一个3米长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AO 上，这时AO 的距离为2.5米．如果梯子的顶端A 沿墙下滑 0.5米，那么梯子底端B 也外移0.5
米吗？（计算结果保留两
B
B
C
1m 2m
A 实际问题 数学模型
位小数）
分析：要求出梯子的底端B 是否也外移0.5米，实际就是求BD 的长，而BD =OD -OB
（三）展示提升（质疑点拨）1、一个高1.5米、宽0.8米的长方形门框，需要在其相对的顶点间用一条木条加固，则需木条长为 。

2、从电杆离地面5m 处向地面拉一条长为7m 的钢缆，则地面 钢缆A 到电线杆底部B 的距离为。

3、有一个边长为50dm 的正方形洞口，想用一个圆盖盖住这个洞口， 圆的直径至少为 （结果保留根号）
4、一旗杆离地面6m 处折断，其顶部落在离旗杆底部8m 处，则旗杆折断前高 。

如下图，池塘边有两点A ，B ，点C 是与BA 方
向成直角的AC 方向上一点．测得CB ＝60m ，AC ＝20m ， 你能求出A 、B 两点间的距离吗?
5、如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB 为直角，已知滑杆AB 长100cm ，顶端A 在AC 上运动，量得滑杆下端B 距C 点的距离为60cm ，当端点B 向右移动20cm 时，滑杆顶端A 下滑多长？
O
C
A E
B D
C
（四）达标检测
1、若等腰三角形中相等的两边长为10cm，第三边长为16 cm，那么第三边上的高为( )
A、12 cm
B、10 cm
C、8 cm
D、6 cm
2、若等腰直角三角形的斜边长为2，则它的直角边的长为，斜边上的高的长为。

3、如图，在⊿ABC中，∠ACB=900，AB=5cm，BC=3cm，CD⊥AB与D。

求：（1）AC的长；（2）⊿ABC的面积；（3）CD的长。

八年级数学（下）教学案 第3课时
班级_______ 姓名______
课题：17.1勾股定理（3） 课型:新授 学习目标：
1．能运用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点，进一步领会数形结合的思想。

2．会用勾股定理解决简单的实际问题。

学习重点：运用勾股定理解决数学和实际问题 学习难点：勾股定理的综合应用。

学习过程
一、自学导航（课前预习）
1、（1）在Rt △ABC ，∠C=90°，a=3，b=4，则c= 。

（2）在Rt △ABC ，∠C=90°，a=5，c=13，则b= 。

2、如图，已知正方形ABCD 的边长为1，则它的对角线AC= 。

二、合作交流
例：用圆规与尺子在数轴上作出表示13的点，并补充完整作图方法。

步骤如下：1．在数轴上找到点A ，使OA ＝ ；
2．作直线l 垂直于OA ，在l 上取一点B ，使AB ＝ ；
3．以原点O 为圆心，以OB 为半径作弧，弧与数轴交于点C ，则点C 即为表示13 的点．
分析：利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。

如图，已知OA=OB ， (1)说出数轴上点A 所表示的数
（2）在数轴上作出8对应的点
A B
C D
三、展示提升（质疑点拨）1、你能在数轴上找出表示2的点吗？请作图说明。

2、已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。

3、已知：如图，等边△ABC 的边长是6cm 。

（1）求等边△ABC 的高。

（2）求S △ABC 。

四、达标检测
1、已知直角三角形的两边长分别为3cm 和5cm ，，则第三边长为 。

2、已知等边三角形的边长为2cm ，则它的高为 ，面积为 。

3、已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。

4、在数轴上作出表示17的点。

5、已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，∠A=60°，CD=3， 求线段AB 的长。

D
B
A
B
八年级数学（下）教学案 第4课时
班级_______ 姓名______
课题：17.2勾股定理逆定理（1） 课型:新授
学习目标：1、了解勾股定理的逆定理的证明方法和过程；
2、理解互逆命题、互逆定理、勾股数的概念及互逆命题之间的关系；
3、能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形. 学习重点：勾股定理的逆定理及其应用。

学习难点：勾股定理的逆定理的证明。

学习过程
一、自学导航
1、勾股定理：直角三角形的两条_________的平方____等于______的_______，即___________.
2、填空题
（1）在Rt △ABC ，∠C=90°，=a 8，=b 15，则=c 。

（2）在Rt △ABC ，∠B=90°，=a 3，=b 4，则=c 。

（如图）
3、直角三角形的性质
（1）有一个角是 ；（2）两个锐角 ， （3）两直角边的平方和等于斜边的平方： （4）在含30°角的直角三角形中，30°的角所对的 边是 边的一半．
二、合作交流
1、怎样判定一个三角形是直角三角形？
2、下面的三组数分别是一个三角形的三边长a.b.c 5、12、13 7、24、25 8、15、17 （1）这三组数满足2
2
2
c b a =+吗？
（2）分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
猜想命题2：如果三角形的三边长a 、b 、
c ，满足2
22c b a =+，那么这个三角形是 三角形
问题二：命题1： 命题2：
命题1和命题2的 和 正好相反，把像这样的两个命题叫做 命题，如果把其中一个叫做 ，那么另一个叫做 由此得到
勾股定理逆定理：
命题2：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222c b a =+，那么这个三角形是直角三角
A B
C
a
b c A
b
c
A'
b
形.
已知：在△ABC 中，AB =c ，BC =a ，CA =b ，且222c b a =+ 求证：∠C =90°
思路：构造法——构造一个直角三角形，使它与原三角形全等， 利用对应角相等来证明． 证明：
三、展示提升
1、判断由线段a 、b 、c 组成的三角形是不是直角三角形：
（1）17,8,15===c b a ； （2）15,14,13===c b a ．
2、说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗? （1）两条直线平行，内错角相等．
（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等． （3）全等三角形的对应角相等．
（4）在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
四、达标检测
1、以下列各组线段为边长，能构成三角形的是____________，能构成直角三角形的是____________．（填序号）
①3，4，5 ②1，3，4 ③4，4，6 ④6，8，10 ⑤5，7，2 ⑥13，5，12 ⑦7，25，
24
2、在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（）
A．5，6，7 B．1，4，9 C．5，12，13 D．5，11，12
3、在下列以线段a、b、c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（）
5 C 、a∶b∶c=3∶4∶5 D a=11，b=12，
A、a=9，b=41，c=40
B、a=b=5，c=2
c=15
4、若一个三角形三边长的平方分别为：32，42，x2，则此三角形是直角三角形的x2的值是（）
A．42B．52C．7 D．52或7
5、命题“全等三角形的对应角相等”
（1）它的逆命题是。

（2）这个逆命题正确吗？
（3）如果这个逆命题正确，请说明理由，如果它不正确，请举出反例。

八年级数学（下）教学案第5课时
班级_______ 姓名______
课题：17.2勾股定理逆定理（2） 课型:新授 学习目标：1、勾股定理的逆定理的实际应用；
2、通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合. 学习重点：勾股定理的逆定理及其实际应用。

学习难点：勾股定理逆定理的灵活应用。

学习过程
一、自学导航
1、判断由线段a 、b 、c 组成的三角形是不是直角三角形： （1）5,2,1===c b a ；（2）5.2,2,5.1===c b a （3）6,5,5===c b a
2、写出下列真命题的逆命题，并判断这些逆命题是否为真命题。

（1）同旁内角互补，两直线平行；
解：逆命题是： ；它是 命题。

（2）如果两个角是直角，那么它们相等；
解：逆命题是： ；它是 命题。

（3）全等三角形的对应边相等；
解：逆命题是： ；它是 命题。

（4）如果两个实数相等，那么它们的平方相等；
解：逆命题是： ；它是 命题。

二、合作交流
1、勾股定理是直角三角形的 定理；它的逆定理是直角三角形的 定理.
2、请写出三组不同的勾股数： 、 、 .
3、借助三角板画出如下方位角所确定的射线： ①南偏东30°；②西南方向；③北偏西60°.
例1：“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
① ② ③
三、展示提升
1、已知在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，若AB =10，BD =6，AD =8，AC =17，求S △ABC .
2、如图，南北向MN 为我国领域，即MN 以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A 艇发现正东方向有一走私艇C 以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN 线上巡逻的我国反走私艇B.已知A 、C 两艇的距离是13海里，A 、B 两艇的距离是5海里；反走私艇测得离C 艇的距离是12海里.若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？
分析：为减小思考问题的“跨度”，可将原问题分解成下述“子问题”： （1）△ABC 是什么类型的三角形？
（2）走私艇C 进入我领海的最近距离是多少？
（3）走私艇C 最早会在什么时间进入？
四、达标检测 1、一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为 ，
A A M E N C
B A
B
C
此三角形的形状为。

5，
2、已知：如图，四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=5，AD=2
∠B=90°，求四边形ABCD的面积.
3、如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。

已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西n°，问：甲巡逻艇的航向？
班级_______ 姓名______
课题：勾股定理全章复习 课型:复习
学习目标：复习勾股定理及其逆定理，能利用它们求三角形的边长或证明三角形是直角三角形.
学习重点：勾股定理及其逆定理的应用。

学习难点：利用定理解决实际问题。

学习过程
一、知识要点1：直角三角形中，已知两边求第三边
1.勾股定理：若直角三角形的三边分别为a ，b ，c ，
90=∠C ，则 。

公式变形①：若知道a ，b ，则=c ； 公式变形②：若知道a ，c ，则=b ； 公式变形③：若知道b ，c ，则=a ； 例1：求图中的直角三角形中未知边的长度：
=b ，=c .
(1)在Rt ABC ∆中，若
90=∠C ，4=a ，=b 3，则=c . (2)在Rt ABC ∆中，若o
B 90=∠，9=a ，41=b ，则=c .
(3)在Rt ABC ∆中，若
90=∠A ，7=a ，5=b ，则=c .
二、知识要点2：利用勾股定理在数轴找无理数。

例2：在数轴上画出表示5的点.
在数轴上作出表示10的点．
三、知识要点3：判别一个三角形是否是直角三角形。

例3：分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，试找出哪些能够成直角三角形。

1、在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ）
A ．12，15，17
B ．9，16，25
C ．5a ，12a ，13a （a>0）
D ．2，3，4
2、判断由下列各组线段a ，b ，c 的长，能组成的三角形是不是直角三角形，说明理由. （1）5.6=a ，5.7=b ，4=c ； （2）11=a ，60=b ，61=c ； （3）38=
a ，2=
b ，310=a ； （4）433=a ，2=b ，4
14=c ； 四、知识要点4：利用列方程求线段的长
9
15
b
24
c
例4：如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？
如图，某学校（A 点）与公路（直线L ）的距离为300米，又与公路车站（D 点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C 点），使之与该校A 及车站D 的距离相等，求商店与车站之间的距离．
五、知识要点5：构造直角三角形解决实际问题
例5：如图，小明想知道学校旗杆AB 的高，他发现固定在旗杆顶端的绳子垂下到地面时还多l 米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能求出旗杆的高度
吗?
一透明的玻璃杯，从内部测得底部半径为6cm ，杯深16cm.今有一根长为22cm 的吸管如图2放入杯中，露在杯口外的长度为2cm
六、课后巩固练习
（一）填空选择
1、写出一组全是偶数的勾股数是 .
D
E
B
C
2、直角三角形一直角边为12 cm ，斜边长为13 cm ，则它的面积为 .
3、斜边长为l7 cm ，一条直角边长为l5 cm 的直角三角形的面积是（ ） A ．60 cm 2 B ．30 cm 2 C ．90 cm 2 D ．120 cm 2
4、已知直角三角形的三边长分别为6、8、x ,则以x 为边的正方形的面积为 .
5、若一三角形三边长分别为5、12、13，则这个三角形长是13的边上的高是 .
6、若一三角形铁皮余料的三边长为12cm ，16cm ，20cm ，则这块三角形铁皮余料的面积为
cm 2．
7、如图一个圆柱，底圆周长6cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外 壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm ． （二）解答题
1、在数轴上作出表示13的点．
2、已知，如图在ΔABC 中，AB=BC=CA=2cm ，AD 是边BC 上的高． 求：①AD 的长；②ΔABC 的面积．
3、如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AC ＝20，BC ＝15，DB ＝9． （1）求DC 的长； （2）求AB 的长；
（3）求证：△ABC 是直角三角形．
4、如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高24米，顶角∠BAC=120°，E 、F 分别为BD 、CD 中点，试求B 、C 两点之间的距离，钢索AB 和AE 的长度。

（结果保留根号）
A
B D E
F C
A
B
D 图
4
A
B
5、（如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，D 为AB 边上一点，求证：（1）ACE BCD △≌△；（2）222AD DB DE +=．
6、有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m m ，8．现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m 为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．
7、如图，在一次数学课外活动中，小明同学在点P 处测得教学楼A 位于北偏东60°方向，办公楼B 位于南偏东45°方向．小明沿正东方向前进60米到达C 处，此时测得教学楼A 恰好位于正北方向，办公楼B 正好位于正南方向．求教学楼A 与办公楼B 之间的距离（结果精确到0．1米）．（供选用的数据：2≈1．414，3≈1．732）。