空间向量解决立体几何问题演示文稿

❖
n1
α
❖
n1 n2
❖
β n2
α β
❖ ①若n1∥n2,即n1=λn2,则α∥β ❖ ②若n1⊥n2,即n1 ·n2= 0,则α⊥β
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❖ 例4正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别 是BB1、CD的中点,求证:面AED⊥面A1FD
z A1 B1
E A
xB
D1 C1
D y
F C
平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z), 则
O（1，1，0），A1（0，0，2），D1（0，2，2）
由 OA1 =（-1，-1，2），OD1 =（-1，1，2）A z
D
x y 2z 0
x 2z
得 x y 2z 0 ，解得
y0
取z =1
B1 1
AA
xB
C1 1
y
OD C
得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1).
2y 0
x 1 z
2
y 0
❖ 取z=2得n1=(-1,0,2)
❖ 同理可得平面A1FD的法向量为n2=(2,0,1)
❖ ∵n1 ·n2 = -2+0+2=0
❖ ∴面AED⊥面A1FD
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2.求空间中的角
❖ (1)两异面直线的夹角 ❖ 利用向量法求两异面直线所成的夹角,不用再
空间向量解决立体几何问题演 示文稿
第1页，共41页。
（优选）空间向量解决立体几 何问题
第2页，共41页。
利用空间向量解决立体几何问题，是利用平 面向量解决平面几何问题的发展。主要变化是维 数增加了，讨论的对象由二维图形变为三维图形 。
为了用空间向量解决立体几何问题，首先 必须把点、直线、平面的位置用向量表示出来 。
2 54
15 3 30
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❖ (2)直线与与平面所成的角
❖ 若n是平面α的法向量, a是直线L的方向向量,
则L与α所成的角θ= (下图) .
-2<a,n>或θ= <a,n>-
2
❖
n
a
a
❖
θ
θ
❖
❖
α
αn
❖ 于是, ❖ 因此
sin | cos a, n || a n | | a n |
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❖ 证明:以A为原点建立如图所示的的直角坐标 系A- xyz, 设正方体的棱长为2,则
E(2,0,1),A1(0,0,2), F(1,2,0),D(0,2,0),
❖ 于是 AE (2,0,1) AD (0,2,0)
❖ 设平面AED的法向量为n1=(x,y,z)得
❖
解之得 2x z 0
第9页，共41页。
2、设 u, v 分别是平面 , 的法向量，根据下列条件判 断平面 ,的 位置关系。
(1)u (2, 2,5), v (6, 4, 4) (2)u (1, 2, 2), v (2, 4, 4) (3)u (2, 3,5), v (3,1, 4)
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解：设平面ABC的一个法向量 n (x, y, z) ，
依题意得：AB (1, 21, 0), BC (1, 0, 1)
n AB, n BC
n
AB x y
0
n BC x z 0
令 x 1 ，则 y z 1
所以，平面ABC的一个法向量为 n (1,1,1)
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❖ 取z = 1得n=(-2,0,1)
❖ (I) A1E (2,0,1) =- n,从而A1E ⊥平面DBC1 ❖ (II) AB1 (1, 3,2) ,而 AB1 • n =-2+0+2=0 ❖ AB1 ∥平面DBC1
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❖ (3)平面与平面的位置关系
❖ 平面α的法向量为n1 ,平面β的法向量为n2
❖ A( a ,0,0),B(0, 3 a ,0) A1(
2
2
a 2
,0,). C(- a ,0, 2a) 2
❖ 设面ABB1A1的法向量为n=(x,y,z)
由 得 ❖
AB ( a , 2
3 2
a,0),
AA1
(0,0,
2a)
，解得 ❖
a 2
x
3 ay 0 0 2
2az 0
x 3y z0
n1 n2
n2 n1
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❖ 例7在四棱锥S-ABCD中∠DAB=∠ABC=90°，侧 棱SA⊥底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求二 面角A-SD-C的余弦值.
z S
A BB x
y D
C
C
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解：建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则 B
（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），
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❖ 2、在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O 是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.
z
A1
D1
C1 B1
AA
O
xB
y
D C
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v 2、在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是 面AC的中心,求面OA1D1的法向量.
解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz（如图）,设
n
α
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1、如何确定一个点在空间的位置？
2、如何确定一条直线在空间的位置？ 3、如何确定一个平面在空间的位置？
l
P
O
l
a
P
B A
P
a
b Oa
A
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因为方向向量与法向量可以确定直
线和平面向量，所以我们可以利用直线 的方向向量和平面的法向量表示空间直 线、平面间的平行、垂直、夹角等位 置关系。
a
a b
b
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❖ 例2已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面 ABCD是菱形,∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ,求 证: C C1⊥BD
B1
A1
C1
D1
B
A
C
D
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❖ 证明：设 CD a, CB b, CC1 c, ❖ 依题意有| a |=| b |，
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解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz（如图）,设 平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z), 则
O（1，1，0），A1（0，0，2），D1（0，2，2） 由 OA1 =（-1，-1，2），OD1 =（-1，1，2）
x y 2z 0
x 2z
得 x y 2z 0 ，解得
❖ 解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴建立空 间直角坐标系D-xyz.则
❖ A(-1,0,0), B(0, 3,0), E(1,0,1), A1(-1,0,2),
B1(0, 3,2), C1(1,0,2).
❖ ❖
设平x 面32yzDB00C解1的之法得向量x y为02nz=(x,y,z)，,则
把这两条异面直线平移,求出两条异面直线的 方向向量,则两方向向量的夹角与两直线的夹 角相等或互补,我们仅取锐角或直角就行了.
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❖ 例5如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是 AB的中点,则对角线DB1与CM所成角的余弦 值为_____.
z
A1
D1
B1
C1
A M
x
B
D
y
C
C
y0
取z =1 得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1).
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二.立体几何问题的类型及解法
❖ 1.判定直线、平面间的位置关系 ❖ (1)直线与直线的位置关系 ❖ 不重合的两条直线a,b的方向向量分别为a ,b.
①若a∥b,即a=λb,则a∥b. ②若a⊥b,即a·b = 0,则a⊥b
❖ 第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z).
❖ 第二步(列):根据n·a = 0且n·b = 0可列出方程
组
x1x x2 x
y1 y2
y y
z1z z2z
0 0
❖ 第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y. ❖ 第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特
殊越好),便得到平面法向量n的坐标.
❖ 于是 BD CD CB a – b
❖ ∵ CC1 • BD = c (a – b)= c·a –c·b
❖
= |c|·|a|cosθ–|c|·|b| cosθ=0
❖ ∴C C1⊥BD
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❖ (2)直线与平面的位置关系
❖ 直线L的方向向量为a,平面α的法向量为n,
且L α.
❖ ①若a∥n,即a =λn,则 L⊥ α
a、b上任取A、B两点,则向量在n
上的正射影长就是两条异面直线
b
a、b的距离.
∴ ❖
d | AB n | | AB n | ,
B
❖ 即两异面直| n |线间|的n |距离等于两异面直线上分别任取两点的向
量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量
模的比值.
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把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线
的方向向量。如图，在空间直角坐标系中，由A(x1,y1,z1)与 B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是：
AB (x2 x1, y2 y1, z2 z1)
zB A
x
y
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v如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面 α,称这个向量垂直于平面α,记作n⊥α,这时向量n叫 做平面α的法向量.
S（0，0，1）.
SC (1,1,1),CD (1,1,0)
❖ 设平面SCD的法向量n1=(x,y,z),则由
❖
得
❖
❖ 而面SAD的法向量n2 = (1,0,0).
n1=(1,1,2).
xxyyz00,
解得
x y
z
2 z
,
取z
2得
2
❖ 于是二面角A-SD-C的大小θ满足
❖
❖ பைடு நூலகம்二面角A-SD-C的余弦值为.
arcsin | a n | | a | | n | | a | | n |
|a||n|
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❖ 例6正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,高 为 2a ，求AC1与侧面ABB1A1所成的角
z
C1
A1
A x
B1
C O
B y
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❖ 解:建立如图示的直角坐标系,则
第27页，共41页。
❖ 解: 以A为原点建立如图所示的直角坐标系Axyz, 设正方体的棱长为2,则
❖ M(1,0, 0),C(2,2,0), B1(2, 0, 2),D(0,2 ,0), ❖ 于是,
CM (1,2,0) DB1 (2,2,2)
❖ ∴cos<
CM ，DB1>=.
240
1 40 4 4 4
，
❖ 取y= 3 ,得n=(3, 3 ,0)
❖ 而 AC1 (a,0, 2a)
∴ ❖
sin | cos n, AC1 |
| 3a 0 0 |
3a 1
9 3 0 a2 0 2a2 2 3 3a 2
❖ ∴ 30.
第31页，共41页。
❖ （3）二面角
❖ 设n1 、n2分别是二面角两个半平面α、β的 法向量，由几何知识可知，二面角α-L-β的大 小与法向量n1 、n2夹角相等（选取法向量竖 坐标z同号时相等）或互补（选取法向量竖坐 标z异号时互补），于是求二面角的大小可转 化为求两个平面法向量的夹角，这样可避免 了二面角的平面角的作图麻烦.
,的
第8页，共41页。
1、设 a, b 分别是直线 l1, l2的方向向量，根据下列条件 判断直线 l1,的l2 位置关系。
(1)a (2, 1, 2), b (6, 3, 6) (2)a (1, 2, 2), b (2,3, 2) (3)a (0, 0,1), b (0, 0, 3)
定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行， 则这两个平面平行。
已知：直线 l, m 和平面 , ，其中 l, m ， l与m 相交， l // ，m //
求证： //
第11页，共41页。
1、已知A（1，0，1），B（0，1，1），C（1 ，1，0），求平面ABC的一个法向量。
cos cos n1, n2
1
1 6,
11 4 100 6 6
6
6
第34页，共41页。
3.求解空间中的距离
❖ (1)异面直线间的距离
❖ 两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段,只需利用向量
的正射影性质直接计算. ❖ 如图,设两条异面直线a、b的公 垂线的方向向量为n, 这时分别在
n a
A
❖ ②若a⊥n,即a·n = 0,则a ∥ α.
n
a
Ln
a
α L
α
第20页，共41页。
❖ 例3棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,
❖ D,E分别是AC,CC1的中点,求证:
❖ (I)A1E ⊥平面DBC1;
❖ (II)AB1 ∥ 平面DBC1
A1
z
C1
A E
D C x
B1
B y
第21页，共41页。
第7页，共41页。
设直线 l, m的方向向量为分别为 法向量分别为 u, v
1. l // m a // b a b l // a u a u 0 // u // v u v
2. l m a b a b 0
l a // u a u uv u v0
a，, b平面