高一数学逻辑联结词、四种命题教案

一. 教学内容：
逻辑联结词、四种命题
二. 重、难点
重点：
1. 判断命题真假的方法
2. 四种命题的关系
难点：
1. 对“或”的含义的理解
2.“否命题”与“命题否定”辨析问题
3. 用反证法证明命题
【典型例题】
[例1] 下列各语句是命题的为（ ）
（1）2不是最小的质数
（2）4的平方根不是2-
（3）3>x
（4）北京是一个多么美丽的城市啊
（4）有理数
解：（1）（2）
[例2] 命题p ：正方形ABCD 是矩形，命题q ：正方形ABCD 是菱形。

分别写出下列各种形式的复合题题：（1）p 或q （2）p 且q （3）非p ，并判断真假
解：p 或q ：正方形ABCD 是矩形或菱形（真）
p 且q ：正方形ABCD 既是矩形又是菱形（真）
非p ：正方形ABCD 不是矩形（假）
[例3] 写出下列命题的否定形式
（1）四条边相等的四边形都是正方形
（2）若022=+y x 则y x ,全为零 （3）2
3)21()2
1(≤ （4）5既是奇数又是偶数
解：
（1）四条边相等的四边形不都是正方形
（2）若
022=+y x 则y x ,不全为零 （3）2
3)21()2
1(> （4）5不是奇数或5不是偶数
[例4] 对命题p ：{}a x x <∈21，q ：{}a x x <∈22，当a 为何值时，p 或q 为真？当a 为
何值时，p 且q 为真？
解：∵ {}a x x <∈21 ∴ 1>a 又 ∵ {}a x x <∈22 ∴ 4>a
∴ 当1>a 时 p 或q 为真 当4>a 时 p 且q 为真
[例5] 写出下列命题的逆命题，否命题和逆否命题，并判断真假。

（1）若0>m 则关于x 的方程02=-+m x x 有实数根
（2）若2=x 或3=x 则0652=+-x x
（3）若0>m 且0>n 则0>+n m
解：
（1）逆命题：若关于x 的方程02=-+m x x 有实数根则0>m （假）
否命题：若0≤m 则关于x 的方程02=-+m x x 没有实数根（假）
逆否命题：若关于x 的方程02=-+m x x 没有实数根则0≤m （真）
（2）逆命题：若0652=+-x x 则2=x 或3=x （真）
否命题：若2≠x 且3≠x 则0652≠+-x x （真）
逆否命题：若0652≠+-x x 则2≠x 且3≠x （真）
（3）逆命题：若0>+n m 则0>m 且0>n （假）
否命题：若0≤m 或0≤n 则0≤+n m （假）
逆否命题：若0≤+n m 则0≤m 或0≤n （真）
[例6] 求证：若a 、b 、c 均为实数且
222π+-=y x a ，322π+-=z y b ，622π+-=x z c ，
则a 、b 、c 中至少有一个大于0。

证明：（反证法）假设a 、b 、c 都不大于0即0≤a ，0≤b ，0≤c
∴ 0≤++c b a
又 ∵ 3)12()12()12(2
22-++-++-++-=++πz z y y x x c b a
)3()1()1()1(222-+-+-+-=πz y x 由0)1(2≥-x ，0)1(2≥-y ，0)1(2≥-z ，03>-π 知0>++c b a
∴ 0≤++c b a 与0>++c b a 矛盾
∴ 假设不成立原命题成立即a 、b 、c 中至少有一个大于0。

[例7] 求证：2是无理数
证明：（反证法）假设2不是无理数即2是有理数
设m n =2，其中m 、n 是正整数，且m 、n 互质
∴
22
2m n = ∴ 222m n = ∴ 2n 是偶数 ∴ n 是偶数 ∵ z k ∈∃使k n 2= ∴ 2224m k = ∴ 222k m =
∴ m 为偶数，这与m 、n 互质矛盾 ∴ 2是无理数
【模拟试题】（答题时间：15分钟）
一. 选择题
1. 下列语句是命题的是（ ）
A. 对角线相等的四边形
B. 5≥x
C. 0322<--x x
D. 同位角相等
2. 命题“p 或q ”是真命题，则下列结论中正确的个数为（ ）
①“p 且q ”是真命题 ②“p 且q ”是假命题
③“非p 或非q ”是真命题 ④“非p 或非q ”是假命题
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
3. 命题“0322>+-mx mx 恒成立”是真命题，则m 的取值范围是（ ）
A. 0≥m
B. 33<<-m
C. 30≤≤m
D. 30<≤m
4. 下列4个命题是真命题的是（ ）
①“若
022=+y x 则x 、y 均为零”的逆命题 ②“相似三角形的面积相等”的否命题
③“若B A I A =则B A ⊆”的逆否命题
④“末位数字不是零的数可被3整除”的逆否命题
A. ①②
B. ②③
C. ①③
D. ③④
二. 填空题
1. 若“42<m 且0>m ”为真，则m 的取值范围 。

2. 命题p ：0不是自然数，命题q ：2是无理数，则在“p 且q ”，“p 或q ”“非p ” “非q ”中真命题是 ，假命题是 。

3. 命题“各位数字之和是3的倍数的正整数可以被9整除”，在原命题和它的逆命题，否命题及逆否命题中，假命题有 个，真命题有 个。

4.“在整数范围内，a ，b 是偶数，则b a +是偶数”的逆否命题是 。

三. 解答题
1. R c b a ∈,,，试写出“若0<ac 则02=++c bx ax 有两个不等实根”的逆命题，否命
题，逆否命题并判断真假。

2. 已知R c b a ∈,,，0>++c b a ，0>++ac bc ab ，0>abc ，求证：0>a ，0>b ，0>c 。

试题答案
一. 1. D 2. A 3. D 4. C
二. 1. 20<<m 2. 真命题：p 或q ，非p ；假命题：p 且q ，非q
3. 2，2
4. 在整数范围内，若b a +不是偶数则b a ,不都是偶数。

三. 1. 逆命题：若02=++c bx ax 有两个不等实根则0<ac （假）
否命题：若0≥ac 则02=++c bx ax 没有两个不等实根（假）
逆否命题：若02=++c bx ax 没有两个不相等实根则0≥ac （真）
2. 证：假设c b a ,,不同时为正
不妨先考虑a 不是正数，有0=a 和0<a 两种情形
（1）若0=a 则0=abc 与0>abc 矛盾 ∴ 不成立
（2）若0<a ∵ 0>abc ∴ 0<bc 又 ∵ 0>++c b a
∴ 0>->+a c b
∴ 0)(<++=++bc c b a ac bc ab 与0>++ac bc ab 矛盾
∴ 0<a 也不成立
∴ 0>a 成立
同理可证0>b ，0>c 成立。