2013全国统一考试普通高等学校招生数学能力加强卷04理学生专用

2013全国统一考试普通高等学校招生数学能力加强卷
数学理（4） 第I 卷
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 【湖北省黄冈中学2012届高三五月模拟考试】设集合}1,0,1{-=M ，},{2
a a N =则使M ∩N ＝N 成立的a 的值是
A ．1
B ．0
C ．－1
D ．1或－1
2.
(A) (-1, 2) (B) (0, 2] (C) (0, 2) (D) (-1, 2]
3. 【湖北八校2013届高三第一次联考】已知函数413
|log 1|2,||11(),||11x x f x x x ⎧--≤⎪
=⎨>⎪
+⎩，则((27))f f =
（ ）
A.0
B.
1
4
C.4
D.－4 4. 【山 西 省2012—2013年度高三第二次诊断考试】1tan
12
tan
12
π
π
-
等于
A ．4
B ．—4
C
．D
．—5. 【河南中原名校2012—2013学年度第一学期期中联考】已知a>l ，22(),x x
f x a +=则使
()1f x <成立的一个充分不必要条件是（ ）
A ． 10x -<<
B ． 21x -<<
C ． 20x -<<
D ． 01x <<
6. 【江西省八所重点高中2012届高三4月高考模拟联考】设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若 45710,15,21S S S ≥≤≥,则7a 的取值区间为（ ） A. ,7]-∞（ B. [3,4] C. [4,7] D. [3,7]
7. 【湖北省黄冈中学2012届高三5月模拟考试】直线440kx y k --=（k R ∈）与抛物线
2y x =交于A 、B 两点，若||4AB =，则弦AB 的中点到直线1
02
x +=的距离等于
（ ） A.
74
B.2
C.
94
D.4
8. 【湖北省武汉外国语学校、钟祥一中2013届高三1月联考】设,x y 满足360203x y x y x y --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+≥⎩
，
若目标函数(0)z ax y a =+>最大值为14，则a 为（ ） A ．
539
B ．23
C ．2
D ．1
9.【原创题】一组数据3，4，5，,s t 的平均数是4，这组数据的中位数是m,则过点P
（4s t ⎛+
⎝）和Q （m,m ）的直线与直线4y x =-+的位置关系是（ ）
A.平行
B.相交但不垂直
C.垂直
D.重合
10. 【天津耀华中学2013届高三年级第一次月考】定义域为R 的函数()f x 满足
(+2)=2()f x f x ，当x ∈[0，2)时，2|x-1.5|
-,[0,1)()=-(0.5),[1,2)
x x x f x x ⎧∈⎨∈⎩若[-4,-2]x ∈时，1
()-42t f x t ≥恒成立，则实数t 的取值范围是 A 、[-2，0)(0，l) B 、[-2，0) [l ，+∞) C 、[-2，l] D 、(-∞，-2] (0，l]
第Ⅱ卷
二。

填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11. 【仙桃市2012年五月高考仿真模拟试题】已知二项式6
)(x
a x +
展开式的常数项为,3cos 560
tdt ⎰
π
则=a .
12.【湖北八校2013届高三第一次联考】观察下列等式：
231111222⨯=-⨯，
2231411112223232⨯+⨯=-⨯⨯⨯，233
3141511
112223234242
⨯+⨯+⨯=-⨯⨯⨯⨯，…，由以上等式推测到一个一般结论为：__________________.
13. 【改编题】过双曲线22
22x y a b
-=1(a >0,b >0)的左焦点F ，作圆
2
2
2
4
a x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若E 为PF 的中点，则双
曲线的离心率为 .
14. 【山西省2012年高考考前适应性训练】执行右面的程序框图，如果输入的x 是7，那么输出的y 为 .
15. （1）【2013届襄阳五中高三年级第一次适应性考试
】已知直线的极坐标方程为
sin()4πρθ+=
7(2,)4A π到这条直线的距离为 ． （2）【改编题】设函数|32||12|)(-+-=x x x f ，∈x R ．若m
x f x g +=
)(1
)(的定义域为R ，
求实数m 的取值范围 ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16. 【湖北八校2012届高三第二次联考】（本题满分12分）
已知公差不为0的等差数列{}n a 的前3项和3S ＝9，且125,,a a a 成等比数列。

（1）求数列{}n a 的通项公式和前n 项和n S （2）设n T 为数列1
1
{
}n n a a +的前n 项和，若1n n T a λ+≤对一切n N *∈恒成立，求实数λ的最小值。

17. 【江西省2012届高三高考压轴数学】（12分）
已知函数21()cos cos 2
f x x x x =--，.x R ∈
（1）求函数()f x 的最大值和最小正周期；
（2）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别,,,a b c 且3c =,()0f C =，若sin()2sin A C A +=，求,a b 的值．
18【河北省邯郸市2013届高三12月教学质量检测】小型风力发电项目投资较少，开发前景广阔.受风力自然资源影响，项目投资存在一定风险.根据测算，IEC （国际电工委员会）风能风区分类标准如下：
某公司计划用不超过100万元的资金投资于A 、B 两个小型风能发电项目.调研结果是，未来一年内，位于一类风区的A 项目获利40%的可能性为0.6，亏损20%的可能性为0.4；B 项目位于二类风区，获利35%的可能性为0.6，亏损10%的可能性是0.2，不赔不赚的可能性是0.2.假设投资A 项目的资金为x （0≥x ）万元，投资B 项目资金为y （0≥y ）万元，且公司要求对A 项目的投资不得低于B 项目.
（Ⅰ）请根据公司投资限制条件，写出y x ,满足的条件，并将它们表示在平面xOy 内; （Ⅱ）记投资A ，B 项目的利润分别为ξ和η，试写出随机变量ξ与η的分布列和期望ξE ，ηE ; （Ⅲ）根据（Ⅰ）的条件和市场调研，试估计一年后两个项目的平均利润之和ηξE E z +=的最大值，并据此给出公司分配投资金额建议.
19. (2012年大连沈阳联合考试第二次模拟试题) (本小题满分12分) 如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，点O 、E 分别是
11C A 、1AA 的中点，⊥AO 平面111C B A .已知
90=∠BCA ，21===BC AC AA .
(Ⅰ)证明：//OE 平面11C AB ； (Ⅱ)求异面直线1AB 与C A 1所成的角； (Ⅲ)求11C A 与平面11B AA 所成角的正弦值．
A
B
C
O
1
A 1
C 1
B E
20. 【河北省邯郸市2012届高三12月教学质量检测】（本小题满分12分）已知两定点
E(-2,0),F(2,0),动点P 满足0PE PF =，由点P 向x 轴作垂线段PQ ，垂足为Q ，点M 满足PM MQ =，点M 的轨迹为C. （Ⅰ）求曲线C 的方程；
（Ⅱ）过点D （0，－2）作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，点N 满足ON OA OB =+（O 为
原点），求四边形OANB 面积的最大值，并求此时的直线l 的方程.
21. 【改编题】已知函数()()ln 0x a
f x ax a x
-=-
≠ （Ⅰ）求此函数的单调区间及最值；
（Ⅱ）求证：对于任意正整数n ，均有11
11ln 23
!
n
e n n +++
+≥（e 为自然对数的底数）
； （Ⅲ）当a ＝1时，是否存在过点（1，－1）的直线与函数y ＝f （x ）的图象相切? 若存在，
有多少条?若不存在，说明理由．。