不识试题真“面目”只缘未破其“伪装”——一道中考题的思索
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＝
已知 ： 方 形 Ｏ Ｂ 正 Ａ Ｃ中 ， Ａ Ｏ
２ 点 Ｍ， 分 别 在 Ａ Ｂ ， Ｎ Ｂ， Ｃ边
上 ， ＭＯ ４ 。ＭＮ∥Ａ ， Ｎ： ５ ， Ｃ 如图
３ 求 Ｃ Ｎ的度 数． ， Ｏ
素 的“ 伪装 ” 将 动态型 问题转 化 为静态 问题 ， ， 还原 题 目 的静态 “ 目” 便 能化 解题 目的难 度 ， 高解题 的成功 面 ， 提 率， 收获解 题 的喜悦 与快 乐． 面结合 一 道 中考试 题谈 下
十。般 ・ （ ｌ年 ９ 初中 ） ７ ７ ２ １ 第 期・ 版 ｏ
． 复习参考 ．
试 题 真 “而 ＂
— — 一
缘 未破 萁 “ 装 ” 伪
周 余 孝
道 中考题 的 思 索
６９ ０ 四川省 蓬 溪县 师资 培训 中心 ２ １０
各类考 试 中的动态型探索 性试题 ， 因其 变化 的 干 常 扰 因素使 许 多 同学 觉得 扑朔迷 离 ， 眼花缭 乱 ， 直接 考验 同学们 的智 慧和能力． 分析题 目时若 能排除 动态 干扰 因
Ｃ
图 ４
已 知 ： 方 形 Ｏ Ｂ 中， 正 ＡＣ 点
Ⅳ 分 别 在 Ａ Ｂ 边 上， Ｂ， Ｃ
程 中 ， 是否有变化？请证明你的结论． Ｐ值
２ 揭去“ 伪装” 在正方形 Ｏ Ｂ Ａ Ｃ绕 ０点 的旋 转过程 中， １中始终 图
Ｄ Ⅳ＝４ 。 如 图 ５ 求 证 ： ５， ， Ａ
／ ｋＭＯ ／ ＯＤ 。 Ｄ ｋＭ Ｍ Ｍ Ｎ ： Ａ ＋ ＣＮ． Ｍ
中。｜・ （ｌ 第 期・ 中 ） ７Ｅ７ ２１ ９ 初 版 ’ 幺 Ｏ年
． ．
４ ７
Ｃ ＯＮ ＝ Ｅ０Ｇ．
＝
Ｒｔ ＣＯ ，， △ ＧＯＥ ． △ Ｎ Ｉ Ｒｔ
： ： ＧＯ ＧＥ 一 ， Ｎ ： Ｖ 叩 ． Ｃ …
已 知 ： Ｏ ＝４ 。 半 ／Ａ Ａ ５，
，
上述 问题 去掉 了动态因素 的干扰 ， 呈现 了题 目的静
态面貌 ， 中问题 （ ） （ ） 其 １ ，２ 较为简单 ， 面对 问题 （ ） 下 ３ 的
解题 策略及解法作些探索．
／ Ｄ
图２
பைடு நூலகம்
证 明一条线段等 于两条 线段之 和 ， 常策 略是考 虑 通
（） ３ 已知 Ｐ值 ， 考虑起始与停止时 ， 图４ Ｂ 或 Ｂ 如 ，Ｍ Ｎ 为 ０ Ｐ＝２＋２＝ ． 一般 情形 下 ， ， ４在 只需 证 明 Ａ ＋Ｃ Ｍ Ｎ＝ ＭＮ即可． 于是 问题 （ ） 实质上即为 ： ３其
Ｊ ，
时停 止旋 转 ， 旋转过程 中，Ｂ边交 直线 Ｙ＝ 于点 Ｍ， Ｃ Ａ Ｂ
又面 ＝ Ｍ Ｏ Ｎ＝ 而 Ｏ
，
图８
③ 由正方形的对 称性 ， Ｂ 在 Ｃ延长线可类似操作．
均可实现集中Ａ 与 Ｃ Ｍ Ｎ于一线段 ， 完成题 目的证 明．
证 明一条线段 等 于两 条线 段 之和 的另一 常用 策 略
△ ０Ｅ
．
△ ＯＮＭ ．
ＭＮ＝ ２ Ｆ： Ｍ ＋Ｃ ． ０Ｅ Ａ Ｎ
＋ ＣＮ ：Ｍ Ｎ．
去掉题 目“ 伪装 ” 这便 是一 ， 道经典几何 问题．
３ 解法探索
图 ５
有 ／ＭＯ ４ 。直 线 Ｙ＝ Ｎ： ５ ， 与 Ｙ轴 问所夹 锐角 为 ４ 。正 ５，
方形 Ｏ Ｂ Ａ Ｃ的边 长 为 ２ 因此 有 ．
（ ） Ａ在旋 转过 程 中所 １Ｏ 扫过 的图形 是 以 Ｏ Ａ为半径 ， 圆心 角为 ４ 。 ５ 的扇形 ， 图 ２ 如 ． 因此 问题 （ ） １ 即为 ：
，
注 ① 在 正 方 形 外 作
／ Ｏ ＝ Ｃ Ｎ 交 Ｂ 延 ＿Ａ Ｄ Ｏ Ａ
长线 于 Ｄ， 连接 Ｏ ． Ｄ
同 理 Ａ ＝ Ｇ Ａ ＋Ｃ Ｍ Ｆ， Ｍ Ｎ
：
② 以点 ０为 圆心 ， Ｎ Ｏ 为半径 画弧 交 Ｂ Ａ延 长 线
于 Ｄ， 连接 Ｏ ． Ｄ
图６
ＥＦ．
将两线 段之一移至另一线段处 构成两 线段 之和来 考虑 ，
故 有
径 Ｏ Ａ：２ 求 扇形 Ａ Ａ 的面 ， Ｏ 。 积． 答 案 ： 于半 径 为 ２的 （ 等
１ 一
策略一
集中Ａ Ｃ ． Ｍ， Ｎ
圆 面积的 即 ． ÷， ｝）
（） ２ 由于正方形 Ｏ Ｂ Ａ Ｃ的旋转 角即为 Ｃ Ｎ， Ｍ Ｏ 在 Ｎ
边交 轴于点 Ⅳ， 如图 １ ． （） Ｏ １ 求 Ａ在旋转过 程中所 扫过的面积 ； （） 转过程中， Ｍ 与 Ａ ２ 旋 当 Ｎ Ｃ平行 时 ， 正 方 形 求 ＯＢ Ａ Ｃ旋转 的度数 ； （ ） ＡＭＢ 的周长 为 Ｐ 在 正方 形 Ｏ Ｂ ３设 Ｎ ， Ａ Ｃ旋 转 过
，
／
谈笔者 的一些思索．
１ 试 题 重 现
事实 上 ， ＭＮ∥Ａ Ｃ时 ， 知 易
ＡＭ ＝ Ｃ ． Ａ ＯＡＭ Ｒｔ ０ＣＮ ， Ｎ Ｒｔ ａ
Ｃ ｒ＝ ＡＯ ，而 Ｃ Ⅳ ＋ Ｍ Ｄ
图 ３
／Ａ Ｍ ＝ ５ ， Ｏ ４ 。 故 Ｃ Ｎ ＝ ２ ５ ． Ｏ ２．。
题 目 （ ０ ９年 济 宁 市 中 ２０ 考题 ） 平 面直 角坐 标 系 中， 在 边 长 为 ２的正 方形 Ｏ Ｂ Ａ Ｃ的 两顶 点 Ａ， ｃ分别在 ｙ轴 ， 的正半 轴 轴上 ， ０在坐 标 原点． 将正 点 现 方形 Ｏ Ｂ Ａ Ｃ绕 ０点 顺时针旋转 ， 当 Ａ点第一 次落在 直线 Ｙ＝ 上 图１
证法 ６ 如图 ８ ‘ 点 Ｅ， Ｃ Ｎ共 圆 ， ，‘ ． ０， ，
‘
是考虑将这一条线段分解成 两段 ， 虑证 明所 分两段 分 考
别等于两线段 中的一段． 故有． 策 略 ２ 分解线段 ＭＮ ．
／Ａ ／ Ｃ时 ， 问题 （ ） ： ２为
证 法 １ 延长 Ｍ Ａ至 Ｄ， Ａ Ｃ 连接 Ｏ 如图 ６ 使 Ｄ＝ Ｎ， Ｄ， ．
则 Ｒ Ｏ ｔ ＡＣ Ｎ Ｒ Ｏ Ｃ Ｎ ＝ ／ＡＯ 进 而 知 ｔ ＡＡ Ｄ， Ｏ Ｄ，
ＤＤＭ ＝４ ， Ｄ ＝ Ｏ ， ５。 Ｏ Ｎ
・
复习参考 ・
已知 ： 方 形 Ｏ Ｂ 正 Ａ Ｃ中 ， Ａ Ｏ
２ 点 Ｍ， 分 别 在 Ａ Ｂ ， Ｎ Ｂ， Ｃ边
上 ， ＭＯ ４ 。ＭＮ∥Ａ ， Ｎ： ５ ， Ｃ 如图
３ 求 Ｃ Ｎ的度 数． ， Ｏ
素 的“ 伪装 ” 将 动态型 问题转 化 为静态 问题 ， ， 还原 题 目 的静态 “ 目” 便 能化 解题 目的难 度 ， 高解题 的成功 面 ， 提 率， 收获解 题 的喜悦 与快 乐． 面结合 一 道 中考试 题谈 下
十。般 ・ （ ｌ年 ９ 初中 ） ７ ７ ２ １ 第 期・ 版 ｏ
． 复习参考 ．
试 题 真 “而 ＂
— — 一
缘 未破 萁 “ 装 ” 伪
周 余 孝
道 中考题 的 思 索
６９ ０ 四川省 蓬 溪县 师资 培训 中心 ２ １０
各类考 试 中的动态型探索 性试题 ， 因其 变化 的 干 常 扰 因素使 许 多 同学 觉得 扑朔迷 离 ， 眼花缭 乱 ， 直接 考验 同学们 的智 慧和能力． 分析题 目时若 能排除 动态 干扰 因
Ｃ
图 ４
已 知 ： 方 形 Ｏ Ｂ 中， 正 ＡＣ 点
Ⅳ 分 别 在 Ａ Ｂ 边 上， Ｂ， Ｃ
程 中 ， 是否有变化？请证明你的结论． Ｐ值
２ 揭去“ 伪装” 在正方形 Ｏ Ｂ Ａ Ｃ绕 ０点 的旋 转过程 中， １中始终 图
Ｄ Ⅳ＝４ 。 如 图 ５ 求 证 ： ５， ， Ａ
／ ｋＭＯ ／ ＯＤ 。 Ｄ ｋＭ Ｍ Ｍ Ｎ ： Ａ ＋ ＣＮ． Ｍ
中。｜・ （ｌ 第 期・ 中 ） ７Ｅ７ ２１ ９ 初 版 ’ 幺 Ｏ年
． ．
４ ７
Ｃ ＯＮ ＝ Ｅ０Ｇ．
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Ｒｔ ＣＯ ，， △ ＧＯＥ ． △ Ｎ Ｉ Ｒｔ
： ： ＧＯ ＧＥ 一 ， Ｎ ： Ｖ 叩 ． Ｃ …
已 知 ： Ｏ ＝４ 。 半 ／Ａ Ａ ５，
，
上述 问题 去掉 了动态因素 的干扰 ， 呈现 了题 目的静
态面貌 ， 中问题 （ ） （ ） 其 １ ，２ 较为简单 ， 面对 问题 （ ） 下 ３ 的
解题 策略及解法作些探索．
／ Ｄ
图２
பைடு நூலகம்
证 明一条线段等 于两条 线段之 和 ， 常策 略是考 虑 通
（） ３ 已知 Ｐ值 ， 考虑起始与停止时 ， 图４ Ｂ 或 Ｂ 如 ，Ｍ Ｎ 为 ０ Ｐ＝２＋２＝ ． 一般 情形 下 ， ， ４在 只需 证 明 Ａ ＋Ｃ Ｍ Ｎ＝ ＭＮ即可． 于是 问题 （ ） 实质上即为 ： ３其
Ｊ ，
时停 止旋 转 ， 旋转过程 中，Ｂ边交 直线 Ｙ＝ 于点 Ｍ， Ｃ Ａ Ｂ
又面 ＝ Ｍ Ｏ Ｎ＝ 而 Ｏ
，
图８
③ 由正方形的对 称性 ， Ｂ 在 Ｃ延长线可类似操作．
均可实现集中Ａ 与 Ｃ Ｍ Ｎ于一线段 ， 完成题 目的证 明．
证 明一条线段 等 于两 条线 段 之和 的另一 常用 策 略
△ ０Ｅ
．
△ ＯＮＭ ．
ＭＮ＝ ２ Ｆ： Ｍ ＋Ｃ ． ０Ｅ Ａ Ｎ
＋ ＣＮ ：Ｍ Ｎ．
去掉题 目“ 伪装 ” 这便 是一 ， 道经典几何 问题．
３ 解法探索
图 ５
有 ／ＭＯ ４ 。直 线 Ｙ＝ Ｎ： ５ ， 与 Ｙ轴 问所夹 锐角 为 ４ 。正 ５，
方形 Ｏ Ｂ Ａ Ｃ的边 长 为 ２ 因此 有 ．
（ ） Ａ在旋 转过 程 中所 １Ｏ 扫过 的图形 是 以 Ｏ Ａ为半径 ， 圆心 角为 ４ 。 ５ 的扇形 ， 图 ２ 如 ． 因此 问题 （ ） １ 即为 ：
，
注 ① 在 正 方 形 外 作
／ Ｏ ＝ Ｃ Ｎ 交 Ｂ 延 ＿Ａ Ｄ Ｏ Ａ
长线 于 Ｄ， 连接 Ｏ ． Ｄ
同 理 Ａ ＝ Ｇ Ａ ＋Ｃ Ｍ Ｆ， Ｍ Ｎ
：
② 以点 ０为 圆心 ， Ｎ Ｏ 为半径 画弧 交 Ｂ Ａ延 长 线
于 Ｄ， 连接 Ｏ ． Ｄ
图６
ＥＦ．
将两线 段之一移至另一线段处 构成两 线段 之和来 考虑 ，
故 有
径 Ｏ Ａ：２ 求 扇形 Ａ Ａ 的面 ， Ｏ 。 积． 答 案 ： 于半 径 为 ２的 （ 等
１ 一
策略一
集中Ａ Ｃ ． Ｍ， Ｎ
圆 面积的 即 ． ÷， ｝）
（） ２ 由于正方形 Ｏ Ｂ Ａ Ｃ的旋转 角即为 Ｃ Ｎ， Ｍ Ｏ 在 Ｎ
边交 轴于点 Ⅳ， 如图 １ ． （） Ｏ １ 求 Ａ在旋转过 程中所 扫过的面积 ； （） 转过程中， Ｍ 与 Ａ ２ 旋 当 Ｎ Ｃ平行 时 ， 正 方 形 求 ＯＢ Ａ Ｃ旋转 的度数 ； （ ） ＡＭＢ 的周长 为 Ｐ 在 正方 形 Ｏ Ｂ ３设 Ｎ ， Ａ Ｃ旋 转 过
，
／
谈笔者 的一些思索．
１ 试 题 重 现
事实 上 ， ＭＮ∥Ａ Ｃ时 ， 知 易
ＡＭ ＝ Ｃ ． Ａ ＯＡＭ Ｒｔ ０ＣＮ ， Ｎ Ｒｔ ａ
Ｃ ｒ＝ ＡＯ ，而 Ｃ Ⅳ ＋ Ｍ Ｄ
图 ３
／Ａ Ｍ ＝ ５ ， Ｏ ４ 。 故 Ｃ Ｎ ＝ ２ ５ ． Ｏ ２．。
题 目 （ ０ ９年 济 宁 市 中 ２０ 考题 ） 平 面直 角坐 标 系 中， 在 边 长 为 ２的正 方形 Ｏ Ｂ Ａ Ｃ的 两顶 点 Ａ， ｃ分别在 ｙ轴 ， 的正半 轴 轴上 ， ０在坐 标 原点． 将正 点 现 方形 Ｏ Ｂ Ａ Ｃ绕 ０点 顺时针旋转 ， 当 Ａ点第一 次落在 直线 Ｙ＝ 上 图１
证法 ６ 如图 ８ ‘ 点 Ｅ， Ｃ Ｎ共 圆 ， ，‘ ． ０， ，
‘
是考虑将这一条线段分解成 两段 ， 虑证 明所 分两段 分 考
别等于两线段 中的一段． 故有． 策 略 ２ 分解线段 ＭＮ ．
／Ａ ／ Ｃ时 ， 问题 （ ） ： ２为
证 法 １ 延长 Ｍ Ａ至 Ｄ， Ａ Ｃ 连接 Ｏ 如图 ６ 使 Ｄ＝ Ｎ， Ｄ， ．
则 Ｒ Ｏ ｔ ＡＣ Ｎ Ｒ Ｏ Ｃ Ｎ ＝ ／ＡＯ 进 而 知 ｔ ＡＡ Ｄ， Ｏ Ｄ，
ＤＤＭ ＝４ ， Ｄ ＝ Ｏ ， ５。 Ｏ Ｎ
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复习参考 ・