2020年湖南省长沙市雅礼中学 高二数学文下学期期末试题含解析

2020年湖南省长沙市雅礼中学高二数学文下学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如图，在多面体中，已知平面
是边长为的正方形，
,,且与平面的距离
为，则该多面体的体积为（）
A．Ｂ．
Ｃ．Ｄ．
参考答案：
D 解析：过点作底面的垂面，得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱，
2. 如图，将一个各面都凃了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X，则X的均值E(X)=（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
3. 在△ABC中，，方程的根，则=（）
A.6
B.4
C.12
D.24参考答案：
C
4. 如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围（）
A B (1，2) C D (0，1)
参考答案：
D
5. 下列运算不属于我们所讨论算法范畴的是（）
A．已知圆的半径求圆的面积
B．随意抽４张扑克牌算到二十四点的可能性
C．已知坐标平面内两点求直线方程
D．加减乘除法运算法则
参考答案：
B
6. 给出以下命题：⑴若，则；⑵;⑶的原函数为
，且是以T为周期的函数，则；其中正确命题的个数为
A.0
B.
1 C.
2 D.3
参考答案：
C
略
7. 函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则的值为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
参考答案：
B
8. 一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m ），则该棱锥的全面积是（单位：m 2）．
正视图 侧视图 俯视图 （A ）
（B ）
（C ）
（D ）
参考答案：
A 9. 直线
与
的位置关系是（ ）
A ．平行
B ．垂直
[C ．斜交
D ．与
的值有关
参考答案：
B 略 10. 圆
上到直线
的距离为
的点共有（ ）
（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个
参考答案：
C 略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知圆和点则过点P 的圆的最短弦所在直线的方程是
参考答案： x+y-2=0
12. 已知
的三边
成等差数列，且
，则
的最大值是 ▲
.
参考答案：
.
13. 从棱长为3
的正四面体的各顶点截去四个棱长为1的小正四面体（使截面平行于底面），所得几何体的表面积是
.
参考答案：
14. 已知，方程表示双曲线，则是
的 _____________条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）
参考答案：
必要不充分 略
15. 三棱柱
中，底面边长和侧棱长都相等，
，则异面直线
与
所成角的余弦值为 ．
参考答案：
略
16. 变量，满足条件，则的最大值为 _______________．
参考答案：
17. 如图是某几何体的三视图，其中正视图、俯视图的长均为4， 宽分别为2与4，侧视图是等腰三角形，则该几何体的表面 积是 ．
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （6分）抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，且过点(8, 8)，焦点为F；
（1）求抛物线的焦点坐标和标准方程：
（2）P是抛物线上一动点，M是PF的中点，求M的轨迹方程。

参考答案：
（1）焦点
（2）设，由
又，
略
19. （本小题满分16分）
为庆祝江苏省启东中学九十周年校庆，展示江苏省启东中学九十年来的办学成果及优秀校友风采，学校准备校庆期间搭建一个扇形展览区，如图，是一个半径为2百米，圆心角为的扇形展示区的平面示意图．点C是半径OB上一点，点D是圆弧上一点，且．为了实现“以展养展”，现决定：在线段OC、线段CD及圆弧三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段OC 处每百米为2a元，线段CD及圆弧处每百米均为a元．设弧度，广告位出租的总收入为y元．
（1）求y关于x的函数解析式，并指出该函数的定义域；
（2）试问x为何值时，广告位出租的总收入最大，并求出其最大值．
参考答案：
（1）因为∥，所以，
在△中，，，百米，
由正弦定理得，…………………………4分
得km，百米．…………………………5分
又圆弧长为百米．
所以
，．…………………………7分
（2）记，
则，………………8分
令
，得
． ……………………………………………10分
当x 变化时，
，
的变化如下表：
所以在处取得极大值，这个极大值就是最大值．
即． ………………………………………………14分
答：（1）y 关于x 的函数解析式，定义域为 ： ；
（2）广告位出租的总收入的最大值为元．………………………16分
20. 已知函数f （x ）=cos （2x ﹣）﹣cos2x （x∈R）．
（I ）求函数f （x ）的单调递增区间；
（II ）△ABC 内角A 、B 、C 的对边长分别为a ，b ．，c ，若f （）=﹣，b=1，c=
且a ＞b ，求B
和C ．
参考答案：
【考点】正弦定理的应用；两角和与差的正弦函数．
【分析】（1）将f （x ）解析式第一项利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的递增区间为[2k π﹣，2k π+
]，x∈Z 列出关于x 的不等式，求出不等式的解集即可得到f （x ）的递增区间；
（2）由（1）确定的f （x ）解析式，及f （）=﹣
，求出sin （B ﹣
）的值，由B 为三角形的
内角，利用特殊角的三角函数值求出B 的度数，再由b 与c 的值，利用正弦定理求出sinC 的值，由C 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出C 的度数，由a 大于b 得到A 大于B ，检验后即可得
到满足题意B 和C 的度数．
【解答】解：（1）f （x ）=cos （2x ﹣）﹣cos2x=sin2x ﹣cos2x=sin （2x ﹣），
令2kπ﹣
≤2x﹣≤2kπ+，x∈Z，解得：kπ﹣
≤x≤kπ+
，x∈Z，
则函数f （x ）的递增区间为[k π﹣，k π+
]，x∈Z；
（2）∵f（B ）=sin （B ﹣）=﹣，∴sin（B ﹣）=﹣，
∵0＜B ＜π，∴﹣
＜B ﹣
＜
，
∴B﹣=﹣，即B=，
又b=1，c=，
∴由正弦定理
=
得：sinC==，
∵C 为三角形的内角， ∴C=或
，
当C=
时，A=；当C=时，A=
（不合题意，舍去），
则B=
，C=
．
21. 如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD ，PA=AD=1，E 、F 分别为PD 、AC 的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAB ；
（Ⅱ）求直线EF 与平面ABE 所成角的大小．
参考答案：
【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．
【专题】空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．
【分析】（Ⅰ）取PA中点M，AB中点N，连接MN，NF，ME，容易证明四边形MNFE为平行四边形，所以EF∥MN，所以得到EF∥平面PAB；
（Ⅱ）分别以向量的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系A﹣xyz．可以确定点P，A，B，C，D，E，F的坐标，从而确定向量的坐标，设平面ABE的法向量为，根据即可求得一个法向量，根据法向量和向量的夹角和EF与平面ABE所成的角的关系即可求出所求的角．
【解答】解：（Ⅰ）证明：分别取PA和AB中点M，N，连接MN、ME、NF，则NF∥AD，且NF=，
ME∥AD，且ME=，所以NF∥ME，且NF=ME所以四边形MNFE为平行四边形；
∴EF∥MN，又EF?平面PAB，MN?平面PAB，∴EF∥平面PAB；
（Ⅱ）由已知：底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，所以AP，AB，AD两两垂直；
如图所示，以A为坐标原点，分别以为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系A﹣xyz，所以：
P（0，0，1），A（0，0，0，），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），
；
∴，；
设平面ABE法向量，则；
∴令b=1，则c=﹣1，a=0；
∴为平面ABE的一个法向量；
设直线EF与平面ABE所成角为α，于是：
；
所以直线EF与平面ABE所成角为．【点评】考查线面平行的判定定理，通过建立空间直角坐标系，用向量的方法求一直线和平面所成的角，以及两非零向量垂直的充要条件．
22. 已知函数.
(1) 若,求使时的取值范围;
(2) 若存在使成立,求实数的取值范围.
参考答案：
（I）的取值范围为或--------------------（6分）
（II）由题应有----------------------------------（9分）
而，当时，-------------------（11分）
所以的取值范围为---------------------------------（12分）。