高一数学上册(基本不等式及其应用)练习 沪教版 试题

上海理工大学附属中学高一数学上册《基本不等式及其应用》练习 沪教版
2.4基本不等式及其应用 1.通晓两种基本不等式的形式：
○
1基本不等式1：对任意实数a 和b ，有22
2a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立。

○
2基本不等式2：对任意正数,a b
，有2
a b
+≥，当且仅当a b =时等号成立。

2.全面理解基本不等式：
○
1对于基本不等式2，,a b R +
∈条件可减弱为0,0a b ≥≥，所以上述条件只是充分不必要条件； ○
2
基本不等式的主体是2
a b
+≥,a b R +∈）
，即两正数的算术平均值不小于其几何平均值； ○
3基本不等式等号成立的充要条件是a b =（0,0a b >>）； ○
4掌握不等式2的变形：
(,)2a b a b R ++≥∈，变形得：2
2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
（,a b R +
∈），由此可知，当积为定值，和有最小值；当和为定值，积有最大值。

3.知道基本不等式还有其推广形式：
○
1对任意,,a b c R +
∈
，有a b c ++≥，当且仅当a b c ==时等号成立； ○2对任意12,,,n a a a R +∈，有12
12n n n a a a n a a a ++≥，当且仅当12n a a a ===
例1.（1）当0x >，1
x x
+的取值范围，并指出取的最小值时的x 的值；
（2）当0x <，求4
2x x
+的最值，并指出取最值时x 的值；
（3）若1x >，求1
1
x x +-的取值范围；
（4）如果3x >，求231
3
x x x -+-的取值范围；
例2.（1）已知,x y R +
∈，且21x y +=，求证：1
8
xy ≤
，并指出等号成立的条件；
（2）已知01x <<，求当x 取何值时，(1)x x -值最大；
（3）已知1
02
x <<，则当_________x =时，3(12)x x -有最大值
_________；
（4）当________x =时，___________；
例3.已知,a b R +
∈且1a b +=，求11
a b
+的最小值；
变式一：已知,a b R +
∈且321a b +=，求11
a b
+的最小值；
变式二：已知,a b R +
∈且231a b +=，求21
a b
+的最小值；
变式三：已知,a b R +
∈且21
1a b
+=，求a b +的最小值；
例4.对于问题“已知正数,x y 满足21x y +=，求
11
x y
+的最小值”有如下做法： 21x y +=
且,0x y
>
，1111(2)x y x y x y ⎛⎫∴+=+
+≥= ⎪⎝⎭，min
11x y ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭
判断以上解法是否正确？说明理由；若不正确，请给出正确的解法。

例5.下列四个命题中真命题的是 （ ） （A ）1x x +
的最小值为2； （B
的最小值为2；
（C
2； （D ）4
2x x
+
-的最小值为2 例6.在4×□＋9×□=60的两个□中，分别填入两自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上
和 。

例7.（1）若502
x <<，求2
(52)y x x =-的最大值；
（2）若0x >，求2
6
y x x
=+的最小值；
（3）已知命题：若+
∈R b a ,，且1=+b a ，那么41
1≥+b
a ○
1证明此命题是真命题。

○2如果+
∈R c b a ,,，且1=++c b a ，能得到什么结论？推广上述结论。

例8.一批赈灾物资随26列货车从某地出发以v 千米每小时的速度匀速直达灾区，已知两地铁路线长为400
千米，为了安全起见，两列货车的间距不得小于2
20v ⎛⎫
⎪⎝⎭
千米，假设列车中途不停车（列车长度不计）
，求这批物资全部运到灾区最快所需要的时间及最省时货车的速度。

作业：
1.求下列各式的取值范围：
（1）1(1)1a a a +>-； （2）11
()212
x x x +>-； （3）
233(2)2x x x x -+>-
2.已知0a >，当1x >时，222
1
x x a x -++-有最小值4，求此时a 及x 的值。

3. （1）已知正数a 和b 满足条件1a b +=，求代数式12
a b
+的最小值。

（2）设,,a b u 都是正实数且,a b 满足19
1a b
+=，求使得a b u +≥恒成立的u 的取值范围。

4.某工厂计划建造一座平面图形为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池，中间有两道隔墙，如果池的外围周壁建造单价为每米400元，中间两道隔墙的造价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁厚度忽略不计，设计池的长和宽，使总造价最低，并求最低造价。