小学数学五年级思维奥数寒假讲义-第2讲 格点与面积(教师版)

第2讲 格点与面积
【知识梳理】
一. 正方形格点面积公式
（1）定义：在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形。

（2）公式：右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．下面就看一下其面积的计算。

用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，我们能发现如下规律：12
L
S N =+-．这个规律就是毕克定理。

二、三角形格点问题
（1）定义：所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形。

（2）公式：关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么有
22S N L =⨯+-，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界
上格点数的和减去2。

【典例精讲】
【例1】图中每个最小正方形的面积都是1平方厘米，那么三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米？
【答案】4平方厘米；4平方厘米；12平方厘米
【解析】左起第一个阴影图形可以分割成4个小正方形，面积为4平方厘米；
左起第二个阴影图形可以分割成上、下两个三角形，上面三角形的面积为2×2÷
2=2平方厘米，下面三角形的面积是2×2÷2=2平方厘米，则阴影部分的面积为
2+2=4平方厘米；
左起第三个阴影部分图形可以分割成上面一个三角形、下面一个梯形，上面三角形
的面积为5×2÷2=5平方厘米，下面梯形的面积为（2+5）×2÷2=7平方厘米，则
阴影部分的面积为5+7=12平方厘米。

【训练1】图中相邻两格点间的距离均为1厘米，那么阴影图形的面积分别为多少平方厘米？
【答案】8平方厘米；8平方厘米
【解析】左起第一个阴影部分可以分割成8个小正方形，面积为8平方厘米；
左起第二个阴影部分可以分割成上、下两个三角形，上面三角形的面积是4×2÷
2=4平方厘米，下面三角形的面积为4×2÷2=4平方厘米，则阴影部分的面积为
4+4=8平方厘米。

【例2】图中每个最小正方形的面积都是1平方厘米，那么阴影图形的面积分别为多少平方厘米？
【答案】8平方厘米；5平方厘米
【解析】左起第一个图添补成一个大长方形，如图，阴影部分的面积等于大长方形的面积减去三个小三角形的面积，大长方形的面积为5×4=20平方厘米，小三角形①的面积为5×2÷2=5平方厘米，小三角形②的面积为4×2÷2=4平方厘米，小三角形③的面积为3×2÷2=3平方厘米，则阴影部分的面积为20-（5+4+3）=8平方厘米。

左起第二个图添补成一个大三角形，如图，则阴影部分的面积等于大三角形的面积减去2个小三角形的面积，大三角形的面积为4×4÷2=8平方厘米，小三角形（4）的面积为1×2÷2=2平方厘米，小三角形（5）的面积为4×1÷2=2平方厘米，则阴影部分的面积为8-（1+2）=5平方厘米。

【训练2】图中每个最小正方形的面积都是1平方厘米，那么阴影图形的面积分别为多少平方厘米？
【答案】（1）6.5平方厘米；（2）5平方厘米
【解析】左起第一个图添补成一个长方形，如图，阴影部分的面积等于大长方形的面积减去三个小三角形的面积，大长方形的面积是4×4=16平方厘米，小三角形①的面积为4×1÷2=2平方厘米，小三角形②的面积为3×1÷2=1.5平方厘米，小三角形③的面积为4×3÷2=6
平方厘米，则阴影部分的面积为16-（2+1.5+6）=6.5平方厘米；
左起第二个图添补成一个大三角形，如图，阴影部分的面积等于大三角形的面积减去2个小三角形的面积，大三角形的面积为4×4÷2=8平方厘米，小三角形（4）的面积为1×2÷2=1平方厘米，小三角形（5）的面积为4×1÷2=2平方厘米，则阴影部分的面积为8-(1+2)=5平方厘米。

【例3】如图，相邻两格点间的距离均为1厘米，求阴影部分的面积。

【答案】7.5平方厘米；14平方厘米
【解析】直接用格点公式，左起第一个图的面积为7÷2+5-1=7.5平方厘米；左起第二个图形的面积为16÷2+7-1=14平方厘米。

【训练3】如图，相邻两格点间的距离均为1厘米，求阴影部分的面积。

【答案】5平方厘米；16平方厘米
【解析】直接用格点公式，左起第一个图的面积为6÷2+3-1×1=5平方厘米；左起第二个图形的面积为16÷2+9-1×1=16平方厘米。

【例4】图中每个最小正方形的面积都是2平方厘米，那么阴影图形的面积为多少平方厘米？
【答案】26平方厘米
【解析】直接用格点公式，图形的面积为（12÷2+8-1）×2=26平方厘米。

【训练4】图中每个最小正方形的面积都是4平方厘米，那么阴影图形的面积为多少平方厘米？
【答案】70平方厘米
【解析】直接用格点公式，图形的面积为（13÷2+12-1）×4=70平方厘米。

【能力提升】图中每个最小正方形的面积都是1平方厘米，那么阴影图形的面积为多少平
方厘米？
【答案】49平方厘米
【解析】阴影部分的面积等于整个图形的面积减去内部空白部分的面积，用格点公式，整个图形的面积为16÷2+58-1=65平方厘米，空白部分的面积为10÷2+12-1=16平方厘米，则阴影部分的面积为65-16=49平方厘米。

【课后巩固】
1.图中每个最小正方形的面积都是1平方厘米，那么阴影图形的面积是__________平方厘米。

【答案】5
【解析】阴影部分可以分割成5个小正方形，面积为5平方厘米。

2.图中每个最小正方形的面积都是1平方厘米，那么阴影图形的面积是___________平方厘
米。

【答案】12
【解析】阴影部分可以分割成上面一个三角形、下面一个长方形，上面三角形的面积为4×2÷2=4平方厘米，下面长方形的面积为4×2=8平方厘米，则阴影部分的面积为4+8=12平方厘米。

3.图中每个最小正方形的面积都是1平方厘米，那么阴影图形的面积是___________平方厘米。

【答案】7
【解析】阴影部分可以分割成7个小正方形，面积为7平方厘米。

4.图中每个最小正方形的面积都是1平方厘米，那么阴影图形的面积是___________平方厘米。

【答案】6
【解析】阴影部分可以分割成上、下两个三角形，上面三角形的面积为3×2÷2=3平方厘米，
下面三角形的面积为3×2÷2=3平方厘米，则阴影部分的面积为3+3=6平方厘米。

5.图中每个最小正方形的面积都是1平方厘米，那么阴影图形的面积是___________平方厘米。

【答案】4
【解析】添补成一个大正方形，如图，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去3个小正方形的面积，大正方形的面积为3×3=9平方厘米，小三角形①的面积为3×1÷2=1.5平方厘米，小三角形②的面积为2×2÷2=2平方厘米，小三角形③的面积为3×1÷2=1.5平方厘米，则阴影部分的面积为9-（1.5+2+1.5）=4平方厘米。

6.图中每个最小正方形的面积都是1平方厘米，那么阴影图形的面积是___________平方厘米。

【答案】6
【解析】添补成一个大三角形，如图，阴影部分的面积等于大三角形的面积减去小三角形①的面积，大三角形的面积为5×3÷2=7.5平方厘米，小三角形①的面积为3×1÷2=1.5平方厘米，则阴影部分的面积为7.5-1.5=6平方厘米。

7.如图，相邻两格点间的距离均为1厘米，那么阴影部分图形的面积是__________平方厘米。

【答案】8
【解析】直接用格点公式，图形的面积为（8÷2+5-1）×1=8平方厘米。

8.如图，相邻两格点间的距离均为1厘米，那么阴影部分图形的面积是__________平方厘米。

【答案】9
【解析】直接用格点公式，图形的面积为（12÷2+4-1）×1=9平方厘米。

9.图中每个最小正方形的面积都是2平方厘米，那么阴影图形的面积是___________平方厘
米。

【答案】26
【解析】直接用格点公式，图形的面积为（12÷2+8-1）×2=26平方厘米。

10.图中每个最小正方形的面积都是3平方厘米，那么阴影图形的面积是___________平方厘米。

【答案】39
【解析】直接用格点公式，图形的面积为（12÷2+8-1）×3=39平方厘米。

【小测验】
1.图中每个最小正方形的面积都是1平方厘米，则阴影图形的面积是________平方厘米。

【答案】6
2.图中每个最小正方形的面积都是1平方厘米，则阴影图形的面积是__________平方厘米。

【答案】7
3.图中每个最小正方形的面积都是1平方厘米，则阴影图形的面积是__________平方厘米。

【答案】7
4.如图，相邻两格点间的距离均为1厘米，那么阴影图形的面积是_________平方厘米。

【答案】10
5.图中每个最小正方形的面积都是2平方厘米，则阴影图形的面积是__________平方厘米。

【答案】16。