复变函数积分变换模拟试卷及答案

习题一
一、填空题（每空3分，共30分） 1.
121
1,,2
z i z i =+=
+则12z z ⋅= ，12arg()z z ⋅= ． 2.
3. ()exp(2/2z π'+=
4. (2)Ln i = ，
cos i =
5．.沿圆周C 的正向积分:12
1
1z C z ze dz z -=+=-⎰Ñ ． 6. 级数
(1)
(1)n
n n i z ∞
=--∑的收敛半径R = ．
7. ()sin(2)f z z =的泰勒展开式是 ８．函数()sin(3)f t t =的拉普拉斯变换为 二、选择题（每题3分，共15分）
1.方程52z -=所表示的曲线是 （ ）
（A ）椭圆 （B ）直线3x =- （C ）直线2y = （D ）圆周
2. 已知1
()z e f z z
-=，则]0),([Re z f s （ ）
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 3. 0=z 为
4
sin z z
z
-的( ) （A ）一级极点 （B ）二级极点 （C ）三级极点 （D ）四级极点 4. 设s F()=L [()]f t ，则L 0
[()]t
f t dt ⎰
的值是（ ）
（A ）
()F s js （B ）()(0)F s f s
- （C ）()
F s s （D ）()F s
5. w 1F()=F 1[()]f t ，
w 2F ()=F 2[()]f t ，下列关于Fourier 变换的卷积公式说法错误的是（ ） （A ）1221()()=()()f t f t f t f t ** （B ）F 1212[()()]()()f t f t F w F w *=⋅
（C ）F 12121
[()()]()()2f t f t F w F w π
⋅=* （D ）F 1212[()()]()()f t f t F w F w ⋅=* 三．1.（本题5分）
24,12C dz z z i ⎛⎫+ ⎪--⎝
⎭⎰Ñ其中:3C z =为正向. 2．（本题5分）利用留数计算
221
,1C
z dz C z +-⎰Ñ为正向圆周：3z = 3. （本题5分）计算1
sin z zdz ⎰
.
四．假设
1. （本题8分）假设2222
()()f z x axy by i cx dxy y =+++++为解析函数，试确定,,,a b c d 的值.
2.（本题8分）将函数2
z z
e e shz --=展开成z 的幂级数,并指出它的收敛半径.
3.（本题8分）将函数2
1
()(1)(2)f z z z =--分别在0|1|1,0|2|1z z <-<<-<内展成洛朗
级数.
4. （本题8分）函数
2
(1)(2)()(sin )z z f z z π--=有哪些奇点？如果是极点，指出它是几级极点。

5.利用留数的方法求2
1
()(1)(2)F s s s =--的laplace 逆变换。

习题二 一．填空
1．121,12,z i z i =+=-则12z z ⋅= ； 2．方程52z -=所表示的曲线是 ； 3．(2)Ln i = ；
4.设2
()1f z z =+，则()f i '= ；
5．1=z 为
2
sin (1)z
z -的 级极点；
6．已知 z
z f sinz
)(=
，求]0),([Re z f s = ； 7．()cos(2)f z z =的泰勒展开式是 ；
8．设()t δ为单位脉冲函数，则
-()(1sin )t t dt δ+∞
∞
+=⎰
；
9．级数
21
1[
]2
n n i n ∞
=+∑是 （收敛或发散）；阿 10. 若()=s F L [()]f t ，则L 3[()]t e f t 的值是 ； 二．选择
１．复数方程 Re(2)3z -=表示的曲线是 （ ） A 、直线 B 、圆周 C 、椭圆 D 、双曲线
2．在复变函数中，下列等式中不正确的是 （ ） （A ）()212121sin sin cos cos cos z z z z z z +=- （B ）z
z
e e =')(
（C ）2
2Lnz Lnz = （D ）z z z cos sin 22sin = 3．设w F()=F [()]f t ，则F 0[(+)]f t t 的值是（ ） （A ）0
()jwt e
F w （B ）0()jwt e F w - （C ）0()F w t - （D ）0()F w t +
4．1=z 为
2
sin (1)z
z -的( )
（A ）一级极点 （B ）二级极点 （C ）可去奇点 （D ）本性奇点 5．设()Λ,2,1=+=n ib a n n n α，其中{}n a 、{}n b 为实数列，若级数
∑∞
=1
n n
α
绝对收敛，下
列说法中不正确的是 （ ） （A ）0lim =∞→n n α （B ）
∑∞
=1n n
a
、
∑∞
=1
n n
b
同时收敛
（C ）
∑∞
=1
n n
a
收敛，
∑∞
=1
n n
b
条件收敛 （D ）
||1
∑∞
=n n
α
收敛
三．
1．（本题5分）计算积分
1+1
i
z ze dz ⎰。

2． 求33(),2z C
e dz C z z +-⎰Ñ为圆周：3z =。

3. 求
3
112n
n n z n
∞
=∑幂级数的收敛半径
四．1.判断函数33
()23f z x y i =+的解析性。

2.将函数()2
z z
e e ch z -+=展开成z 的幂级数，并指出它的收敛半径
3. 计算
20
1
5+3sin d π
θθ
⎰。

4. 利用Fourier 变换求积分方程
()cos ()g t d f t ωωω+∞
=⎰
的解()g ω,其中
1,01
()0,
1.t t f t t -≤<⎧=⎨
>⎩ 5. 利用拉氏变换求解常微分方程初值问题：2(0)0t
y y e y '⎧-=⎨=⎩。

习题三
一．填空
1．
arg(1)= ；2Im
1i
i
=- ； 2．2
()1,(1)f z z f i '=++=则 ； 3．积分cos C z
I dz z
=⎰Ñ= ，其中:||4C z =取正方向； 4．
i
z ze dz ⎰
= ；
5．(1)Ln -= ； 6． 25i
e
+= ；
7．级数
1
1(1)n i n n ∞
=+∑的敛散性为： ；（收敛或发散） 8．1Re [,0]=z e s z -_____ __；0=z 是函数5sin z
z
的______ ____级极点。

二．选择
１．复数方程arg 3
z π
=
表示的曲线是 （ ）
（A ）直线 （B ）射线 （C ）椭圆 （D ）圆周
2．在复变函数中，下列等式中不正确的是 （ ） （A ）z z sin )(cos -=' （B ）sin 1z ≤（C ）1cos sin 2
2
=+z z （D ）z z z cos sin 22sin = 3.0=z 为
ln(1)
z z
+的 （ ）
（A ）一级极点 （B ）解析点 （C ）可去奇点 （D ）本性奇点 4．()-
=z z f 的解析性为 （ ） （A ）复平面上处处解析 （B ）仅在点0=z 处解析 （C ）复平面上处处不解析 （D ）复平面上处处可导 5．
⎰==-2||2)
(sin z i z zdz
（ ） （A ）0 （B ）1
（C ）2i π （D ）2cos i i π 三．
1.已知w F()=F [()]f t ，求F [(2)()]t f t -。

2. 求3sin (),24z C
e z
dz C z z +--⎰Ñ为圆周：3z =。

3. 计算幂级数n
n 3n 0z 2n
∞
=∑的收敛半径
四．1.设f(z)=my 3+nx 2y+i(x 3-3xy 2)为解析函数，试确定m 、n 的值。

2.将函数2
)2(1
)(+=
z z f 在0z =处展开为泰勒级数
3. 函数22
(2)
()(sin )
z z f z z π-=有哪些奇点？如果是极点，指出它是几级极点。

4. 求函数21
()(1)
f z z z =
-在孤立奇点处的留数。

5.求方程23t
y y y e -'''+-=满足初始条件00|0,|0t t y y =='==的解
2007年《复变函数与积分变换》试卷
一、填空题（本小题共5小题，每小题3分，满分15分）
（1）已知函数)()(2
3
2
3
lxy x i y nx my z f -+-=是解析函数，则=l ，
=m ，=n .
（2）设))(1()(2i z z z e z f z --=的Taylor 级数为∑+∞
=--0
)23(n n
n i z c ，则该级数的收敛
半径为 . （3）已知
[]2
224βωββ
πAe Ae t =
-，则
[]2
2t e t - .
（4）计算=+i
i )1( .
（5）设⎩⎨⎧⎩⎨⎧≥<=≥<=,0,,
0,0)( ,
0,,0 ,0)(21t e t t f t t t t f t
则=*)()(21t f t f . 二、选择题（本小题共5小题，每小题3分，满分15分）
（1）下列说法正确的是（ ）
（A ）若)(z f 在区域D 内可导，则)(z f 在区域D 内解析。

（B ）若)(z f 在点0z 解析，D z ∈0，则)(z f 在区域D 内可导。

（C ）若)(z f 在点0z 连续，则)(z f 在点0z 可导。

（D ）若)(z f 在点0z 可导，则)(z f 在点0z 解析。

（2）z w 1=
将z 平面上的曲线42
2=+y x 映射成w 平面上的图形为（ ） （A ）21=u 。

（B ）2=u 。

（C ）422=+v u 。

（D ）4
12
2=+v u 。

（3）设C 为正向圆周1=z ，则积分
⎰
=C
dz z
z
（ ） （A ）π4 （B ）π2 （C ）i π2 （D ）i π4 （4）级数
∑
+∞
=02
cos n n
in
（ ） （A ）敛散性不定。

（B ）发散。

（C ）条件收敛。

（D ）绝对收敛。

（5）0=z 是函数2sin )(z
z
z f =
的（ ） （A ）非孤立奇点。

（B ）可去奇点。

（C ）一级极点。

（D ）本性奇点。

三、（超出范围）（12分）验证2
2),(y
x y
y x v +=
在右半平面内是调和函数，并求以此为虚部的解析函数)(z f ，且使2)1(=f .
四、计算下列各题（本小题共6小题，每小题5分，满分30分）
（1）⎰i
zdz z 0
sin ；
（2）
⎰C dz z cos 1，其中2
3
:=z C ，取正向；
（3）
⎰
-
C
dz z z 2
)
2(cos π
，其中2:=z C ，取正向；
（4）⎰---C dz z z z 3
21
32，其中4:=z C ，取正向；
（5）⎰-C dz z z
14，其中2:=z C ，取正向；
（6）⎰-πθθ
20cos 6101d 。

五、（12分）将函数)
4)(3(10
3)(---=
z z z z f 分别在下列圆环域内展开成洛朗级数：
（1）120<-<z ； （2）43<<z ； （3）+∞<<z 4 六、（12分）用积分变换解微分方程t
e
y y y 254-=-'+''，1)0(,0)0(='=y y .
七、（超出范围）（4分）设在1≤z 上)(z f 解析，且1)(≤z f ，证明1)0(≤'f .
2008年《复变函数与积分变换》试卷
一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分。

） （1）i
)1(-的主值是 。

（2）已知)()(2
323lxy x i y nx my z f +++=为解析函数，则m = ，=n ，l = 。

（3）如果)2)((cos )(--=z i z z z f 的Taylor 级数为∑∞
=-0
)3(n n
n z c ，则该级数的收敛半径为。

（4）设z
e z z
f 13)(=，则Res []=0),(z f 。

（5）设⎩⎨
⎧≥<=,0,2,0,0)(1t t t f ⎩⎨⎧≥<=,
0,sin ,
0,0)(2t t t t f 则=*)()(21t f t f 。

二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分。

） （1）若21z
z
e e =，则（ ）
（A ）21z z =。

（B ）πk z z 221+=（k 为任意整数）。

（C ）πik z z +=21。

（D ）πk i z z 221-=（k 为任意整数）。

（2）设曲线C 为单位圆1=z ，取正向，则积分
⎰=+C dz z z
2cos 2（ ）
（A ）0． （B ）i π。

（C ）i π-。

（D ）i π2。

（3）如果级数
∑∞
=-0
)
3(n n
n z c 在点1=z 处收敛，则该级数必在（ ）
（A ）点4=z 处绝对收敛。

（B ）点4=z 处条件收敛。

（C ）点5=z 处收敛。

（D ）点6=z 处发散。

（4）z w 1=
将z 平面上的曲线1)1(2
2=+-y x 映射成w 平面上的曲线（ ） （A ）21=u 。

（B ）2
1=v 。

（C ）12
2=+v u 。

（D ）1)1(22=+-v u 。

（5）0=z 是函数2sin )(z
z
z f =的（ ）
（A ）本性奇点。

（B ）可去奇点。

（C ）一级极点。

（D ）二级极点 三、（10分）已知调和函数)0(2
2>+=
x y x y
v ，求调和函数u ，使iv u z f +=)(成为解析
函数，并满足0)2(=f 。

四、（25分）计算下列积分： （1）
dz z C
⎰
，其中C 是从0=z 到i z +=1的直线段；
（2）
⎰+=++-C y x y x C dz z z )(2:,)1()1(12
222，正向
（3）⎰=-+C iz i z C dz z e 2
3
2:,12
，正向 （4）⎰∞
+∞-++dx x x x )
4)(1(222
；
（5）
θθ
θ
π
d ⎰
-20
cos 452cos 。

五、（15分）将函数2
)
1(1
)(z z z f -=
分别在下列圆环域内展开成Laurent 级数。

（1）10<<z ； （2）110<-<z ； （3）+∞<-<11z 。

六、（5分）已知函数⎩⎨⎧≥<=-0
,,0,0)(t e t t f t β（0>β），求)()(0t tf e t g t jw =的Fourier 变换。

七、（10分）应用Laplace 变换解微分方程：
⎪⎩⎪⎨
⎧='==+'-''==.
1,0,
3400t t t
y y e y y y 八、（5分）如果),(),(y x iv y x u +是区域D 内的解析函数，那么),(),(y x iu y x v +在D 内
是否一定也是解析函数？为什么？
专业： 电学类各专业 课程名称： 复变函数与积分变换 学分： 3 试卷编号(A)
课程编号： 4110731 考试方式： 闭 卷 考试时间： 100 分钟 拟卷人(签字)： 拟卷日期： 2009.05.25 审核人(签字)： 得分统计表：
一．选择、填空题：（共45分，每题3分）
1．arg(i 31-)= ;
()()sin t t e t dt δ+∞-∞
-=⎰
；2．若C 取正向, ()f z 在复平面上解析，则:1()
cos C z f z dz z
==⎰Ñ ；
3．()1
2f z z
=
+在圆域1<z 内的泰勒级数为 ； 4． (1)i
i += (化简到基本复数形式) ；
5． sin Re ,0z s z ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
_____ __；0=z 是函数1cos z -的__________级零点； 6． 8sin Re ,0z z s z -⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
_____ __；0
cos z zdz π=⎰ ； 7．若
()
1n
n n i z ∞
=+∑ 的收敛半径R= ；
8．由1
w z
=将z 平面上的曲线y x =映射成w 平面的曲线轨迹是 （ ）
（A ）直线 （B ）圆 （C ）射线 （D ）角形区域
9．在复变函数中，下列等式中不正确的是 （ ）
（A ）()212121sin sin cos cos cos z z z z z z +=- （B ）1cos sin 2
2
=+z z
（C ）sin 1z ≤ （D ）z z z cos sin 22sin = 10．关于
sin C
zdz ⎰
的值，下列说法中最准确的说法是
（ ）
（A ）可能与C 的积分路径有关 （B ）有时与C 的积分路径有关，有时无关
（C ）始终与C 的积分路径无关，只与C 的起点和终点有关 （D ）不仅与C 的积分路径有关，且与C 的起点和终点有关 11
．
()f z z
=的解析性为
（ ）
（A ）复平面上处处解析 （B ）复平面上有时解析，有时不解析 （C ）复平面上处处不解析 （D ）复平面有时可导，有时不可导 12
．
拉
氏
变
换
下
的
卷
积
2t t
e e *为
（ ）
（A ）2t
t
e e - （B ）2t
e （C ）2t
t
e e - （D ）t
e
二、解答题（共15分，每题5分）
1、（本题5分）若()=ωF F [()]f t ，试计算()()g t tf t ''=的傅氏变换。

2、（本题5分）求2:21z C z ze I dz z ==-⎰Ñ，其中C 为正向。

3、（本题5分）设()f z u iv =+为区域D 上的解析函数，试证明：当()f z 在D 上也解析时，
()f z
为常数。

三、解答题（40分，每题10分）
1、（本题共10分）将
2
)
1(1
z z -在011z <-<内展开成洛朗级数 2、（本题共10分）利用拉氏变换的性质求积分
22
sin t
dt t +∞⎰
3、（本题共10分）利用留数计算广义积分20
2cos d πθ
θ
+⎰
4、（本题共10分）求()()
2
2
1
22F s s
s =++的拉氏逆变换
专业：
电学类各专业
课程名称： 复变函数与积分变换 学分： 3 试卷编号(B)
课程编号： 4110731 考试方式： 闭 卷 考试时间： 100 分钟 拟卷人(签字)：
拟卷日期： 2009.06.05 审核人(签字)：
一、客观题
㈠填空题（每空3分，共30分）
1．121,22,z i z i =+=-则12z z ⋅= ，12arg()z z ⋅= ． 23i ．
3. ln 22
i
e
π
+= ，Ln i = .
4．()sin(2)z π'+= .
５.沿圆周C 的正向积分:21
2z
C z e dz z -==-⎰Ñ ． ６．级数
(1)
n
n n i z ∞
=+∑的收敛半径R = ．
７.()cos(2)f z z =的泰勒展开式是 ． ８. 函数()sin(2)f t t =的拉普拉斯变换为 ．
㈡选择题（每题3分，共15分）
１．将13i +化为三角形式，正确的是 （ ）
（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛+ππ32sin 3cos 2i （B ）sin cos 33i ππ+（C ）i e 6
2π
（D ）⎪⎭⎫ ⎝
⎛+3sin 3cos 2ππi
2. 方程
1
)2Re(-=+z 所表示的曲线是
（ ）
（A ）扇形 （B ）直线3x =- （C ）直线2x = （D ）圆周
3．()i y x z f 3
3
32+=的解析性为 ( )
（A ）复平面上处处解析 （B ）仅在直线032=±y x 上解析 （C ）复平面上处处不解析 （D ）复平面上处处可导 4．关于幂级数
()∑
∞
=-1
1n n n
z ，
下列说法中正确的是 ( )
（A ）在11≤-z 内收敛 （B ）在11<-z 内收敛，在11=-z 有时收敛，有时发散 （C ）在11≤-z 内发散 （D ）在11<-z 内收敛，但在11=-z 发散
5. 设()=ω1F F ()[]t f 1,()=ω2F F ()[]t f 2,下列关于Fourier 变换的卷积公式说法错误．．
的是
( )
（A ）()()()()1221f t f t f t f t *=* （B ） F ()()()()1212*f t f t F F ωω=⋅⎡⎤⎣⎦
（C ）F ()()()()12121
2f t f t F F ωωπ
⋅=*⎡⎤⎣⎦ （D ）F ()()()()1212f t f t F F ωω⋅=*⎡⎤⎣⎦ 二、计算下列积分（3小题，共15分） 1．（本题5分）
4
3,12C dz z z i ⎛⎫+ ⎪++⎝
⎭⎰Ñ其中:4C z =为正向. 2．（本题5分）利用留数计算
22
,2C
z dz C z z +-⎰Ñ为正向圆周：3z =. 3. （本题5分）计算1
sin z zdz ⎰.
三、计算题（5小题，共40分）
1. （本题8分）设3232()()f z my nx y i x lxy =+++为解析函数，
试确定,,l m n 的值.
2. （本题8分）将函数()2
z z
e e
f z -+=展开成z 的幂级数,并指出它的收敛半径.
3.（本题8分）将函数2
1
()(1)
f z z z =-分别在0||1,0|1|1z z <<<-<内展成洛朗级数.
4.（本题8分）函数22
3
(1)(2)()(sin())
z z f z z π--=有哪些奇点？如果是极点，指出它是几级极点。

5. （本题8分）求()()211
s s e F s s --=+的拉氏逆变换
答案
1-3参考答案
试题一
一 1.
11(
)(),2222i -++ 2.
5266
3
2,2,2i
i i e e e
πππ 3.
2exp(2)2
z π+ 4. 1
ln 2(2)22e e i k k π
π-+++为整数
5. 2(1)i e π+
6. 2
7.
21
(2)(1)(21)!n n
n z n +∞
=-+∑ 823
Re()09
s s >+ 二．1-5 D A A C D
三．1. 解:由于=1z ，=2z i ，均位于圆周内，由柯西积分公式得
2343
1212C C
C
dz dz dz z z i z z i ⎛⎫+=+ ⎪--++⎝
⎭⎰⎰
⎰蜒? 224212i i i πππ=⨯+⨯=
注:其他解法正确也应给分
2. 解: ()f z 在C 所围成的区域内有121,1z z ==-两个孤立奇点,
221
1213211Re [(),1]lim(1)
,Re [(),1]lim(1)1212
z z z z s f z z s f z z z z →→-++=-=-=+=--,2'
所以由留数定理,原式()2Re [(),1]Re [(),1]224i s f z s f z i i πππ=⋅+-=⨯=.
注:其他解法正确也应给分 3. 解:
1
1
sin cos z zdz z d z ⋅=-⎰
⎰
1
11000cos |cos cos1sin |z z z zdz z =⎡⎤⎡⎤=--=--⎣⎦⎢⎥⎣⎦
⎰
sin1cos1.=-
四．1. 解:因为2
2
u x axy by =++,2
2
v cx dxy y =++
2,2,2,2u u v v
x ay ax by cx dy dx y x y x y ∂∂∂∂=+=+=+=+∂∂∂∂ 要使
,u v u v x y y x
∂∂∂∂==-∂∂∂∂
只需22,22x ay dx y ax by cx dy +=++=-- 得到2,1,1,2a b c d ==-=-=
2. 解:
23231,
2!3!!(1)1,
2!3!!
n
z
n z
n z z z e z n z z e z z n -=++++++-=-+-+++L L L L 3521
()23!5!(21)!z z n n e e z z z f z z n -+∞=-∴==+++=+∑L
收敛半径.R =+∞
3. 解:
011z <-<时，()2
1111
()()(1)(1)2
2f z z z z z '=
⋅=⋅----- 因为()()0111121111n
n z z z z ∞
===-=----+---∑
所以()1
1
1()12n n n z z ∞-='=---∑ 所以 ()()12
11
1()111n n n n f z n z n z z ∞∞
--===-=--∑∑ 当 021z <-<时，22
111()(1)(2)(2)12(2)n n
n f z z z z z ∞
==⋅=⋅---+--∑ 20
(1)
(2)n
n n z ∞
-==--∑
4. 22
(2)
()(sin )z z f z z π-=
sin()0z z k πππ=⇒=，故()f z 的奇点为,0,1,2,z k k ==±±L ---------
当()(),sin |0,sin |0z k z k z k z z ππ=='==≠，z k ∴=是sin()z π的一级零点， 是2
(sin())z π的二级零点 ------------------
又由于12z =，是(1)(2)z z --的一级零点 所以12z =，是()f z 的一级极点，-------
当,1,2z k z =≠时，k 是()f z 的二级极点。

--------------------2'
5. 1s =是分母的单零点，2s =是二阶零点，则
12()|lim []2st st s s e d e f t ds =→=
++2
22(s-2)(s-2)(s-2)(s-1)(s-1)(s-2) 22+lim []=+lim()st st st t
t
s s d e te e e e ds →→=-2s-1s-1(s-1)
22t t t e te e =+- 0t >
习题二
一．1、3i - 2、圆周 3、1
ln 2(2)2
k i π++， k 为整数 4、2i 5、二
6、0
7、
20
(2)(1)(2)!n
n
n z n ∞
=-∑ 8、1 9、收敛 10. (3)F s - 二．1-5 ACABC 三．1．解：
111111
1
1
|i
i
i
z z z i z ze dz zde ze e dz ++++==-⎰
⎰
⎰
…………………………………… 111(1)()(sin1cos1)i
i i i e
e e e ie e i +++=+---==-+……………
2.解：3333
()=+22z z C C C
e e dz dz dz z z z z +--⎰⎰⎰蜒? 01=2()|+32=72!
z
z i e i i πππ=''⋅
⋅ 3.由于31
2n n c n =，所以，311321lim lim 2(1)2n n n n n n
c n c n ++→∞→∞==+ ……… 故收敛半径为2R = ………………………………… 四．1解：因为3
2u x =,3
3v y = 226,0,0,9u u v v
x y x y x y
∂∂∂∂====∂∂∂∂ 要使
,u v u v x y y x
∂∂∂∂==-∂∂∂∂′ 则 22
690=0
x y ⎧=⎨⎩
所以函数仅在=3
y x ±
可导，在整个复平面处处不解析。

2.解：()f z 函数()f z 在||+z <∞内处处解析。

………………………
当||+z <∞时，21......2!!
n
z
z z e z n =+++++， 2(1)1......2!!
n n
z
z z e
z n --=-++++………………………
22201......22!(2)!(2)!
z z n n
n e e z z z chz n n -∞
=+==++++=∑。

………… 收敛半径为R=+∞。

……
3. 解：令,,i i dz
z e dz ie d d iz
θ
θ
θθ===
则，于是
2220
|z|=1|z|=1
112
=z 15+3sin 3z 1035+3
2dz d dz iz iz iz
π
θθ=-+-⎰
⎰⎰蜒
|z|=13
2121
23332
)(33
i z dz i i z i z z i π
π=-
=
=⋅⋅=
+++⎰Ñ()
4.解：由于
2
2
()cos ()g t d f t ωωωπ
π
+∞
=
⎰
则
2
()f t π
为()g ω的傅立叶余弦逆变换，从而，
1
2
2
()=()cos (1)cos g f t t dt t t dt ωωωπ
π
+∞
=
-⎰
⎰ 1
2
2
2
=
cos cos =
1cos t t tdt ωωωπ
πω--⎰
（）
5.解：设方程的解为()y t ，方程两端同取拉普拉斯变换，可得： 1
()()2
sY s Y s s -=
-
所以1
()(1)(2)
Y s s s =
--，
两边同取拉普拉斯逆变换，可得2()t
t
y t e e =-′ 习题三 一．1. 13
π
-
， 2. 2(1)i + 3. 2i π 4. (1)1i i e -+ 5. (2)k i k ππ+为整数
6. 2
(cos5sin 5)e i + 7.发散 8. 0，2 二．1-5 BBCCD
三．1.解：F [(2)()]t f t -= F [()2()]tf t f t -=()2()d
j
F w F w dw
- 2. 解：2z e z -在圆周内满足柯西积分公式，3sin 4
z
z -在圆周内处处解析，则
3sin 3sin ()=+2424z z C C C
e z e z dz dz dz z z z z +----⎰⎰⎰蜒? 22
=202z z i e
e i ππ=⋅+=
3. 由于31
2n n c n =，所以，311321lim lim 2(1)2
n n n n n n c n c n ++→∞→∞==+ ……… 故收敛半径为2R = …… 四．1. 因为3
2
u my nx y =+,3
2
3v x xy =-
22222,3,33,6u u v v
nxy my nx x y xy x y x y
∂∂∂∂==+=-=-∂∂∂∂ 要使
,u v u v
x y y x
∂∂∂∂==-∂∂∂∂′ 只需22222=6,3=3+3nxy xy my nx x y -+-
解得3,
1n m =-=
2. ()f z 奇点为2z =-，则函数()f z 在||2z <内处处解析。

2
111()(2)22(1)2z z z '
⎡⎤⎢⎥'=-=-⎢⎥++⎢⎥+⎣⎦
1
111011
11[(1)](1)(1)22222n
n n n n n n n n n n n z n n z z ∞∞∞
-+-+==='=--=--=-∑∑∑
3. 22
(2)()(sin )
z z f z z π-= sin()0z z k πππ=⇒=，故()f z 的奇点为,0,1,2,z k k ==±±L ---------
当()(),sin |0,sin |0z k z k z k z z ππ=='==≠，z k ∴=是sin()z π的一级零点， 是2
(sin())z π的二级零点 ------------------
又由于2z =是2
(2)z z -的一级零点， 0z =是2
(2)z z -的二级零点 所以2z =是()f z 的一级极点，-------
由于22222200(2)1()2
lim lim(2)(sin )(sin )z z z z z z z z πππππ
→→--=-⋅= 所以0z =是()f z 的可去奇点。

当,0,2z k z =≠时，k 是()f z 的二级极点。

--------------------2' 4.函数()f z 孤立奇点为0z =二级极点，1z = 一级极点 …
22011
Re [(),0]lim()1(21)!(1)z s f z z z z →'=
=---
2
1
1
Re [(),1]lim(1)
1(1)
z s f z z z z →=-=- … 5. 求方程
23t y y y e -'''+-=满足初始条件00|0,|1t t y y =='==的解
解：设方程的解为()y t ，方程两端同取拉普拉斯变换，可得： 2
1
()12()3()1
s Y s sY s Y s s -+-=
+ 所以 (+2)()(+1)(1)(+3)s Y s s s s =
-，可化为13111
()(+1)8(1)8(+3)
Y s s s s -=++-
两边同取拉普拉斯逆变换，可得3131()488
t t t
y t e e e --=-+-…………4′
2007年《复变函数与积分变换》试题解答
一、（1）-3，1，-3； （2）22； （3）422
4
)2(ωπω--e ；
（4）()2ln sin 2ln cos )4
1
2(i e k ++-π（5）1--t e t .
二、（1）A ； （2）D ； （3）C ； （4）B ； （5）C.
三、.)
(,)(22
2222222y x y x y v y x xy x v +-=∂∂+-=∂∂ 由R C -方程，
).()
().()(2,)
(22222222222222x y x y x x u x y x x
dy y x xy u y x xy
x v y u ϕϕ'++-=∂∂++-=+=+-=∂∂-=∂∂⎰
又2
2222)(y x y x y v x u +-=
∂∂=∂∂，故有 0)(='x ϕ， C x =)(ϕ.
所以C y x x
u ++-
=2
2，
.
1
)(2
222C z
y x y
i
C y x x iv u z f +-=++++-=+=
由2)1(=f 得3=C ，所以z
z f 13)(-
=. 四、（1）原式.sin cos cos cos )(cos 0
0⎰
⎰
-=+-=+-=-=i
i
i i
ie i i i zdz z z z zd
（2）因为
z
cos 1
在C 上及C 内部解析，由Cauchy-Coursat 基本定理，原式=0.
（3）原式.2)sin (2cos 22
2i z i z dz d
i
z z πππππ-=-===
=
（4）原式.6423211i i i dz z z C πππ=+=⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-++=
⎰ （5）原式⎰=--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--++=
C i i i i dz i z i z z z .0)2222(4
1
11111141ππππ （6）令θ
i e z =，则.1
,22cos 1dz iz
d z z
e e i i =+=+=--θθθθ
原式⎰=--=
1
.)3)(13(z dz z z z i
记)
3)(13()(--=
z z z i
z f ，则
Res i z f z z f z 8
3
)(31lim 31),(3
1-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
→,
Res [].3
)(lim 0),(0
i
z zf z f z =
=→ 原积分12
3832π
π=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=i i i .
五、4
2
31)(-+
-=
z z z f . （1）在120<-<z 内，
[]
().
2211 )2()2(1 2
2
11
)2(112)2(21)2(1)(02
2∑∞
=-⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-=+-+-+-=---
---=--+--=
n n z z z z z z z z f Λ （2）在43<<z 内，
Λ
Λ+---+++=--
-⋅=
52
32322221133 4
11213111)(z z z z z z
z z z f
（3）在+∞<<z 4内，
.23 44123311 4
1123111)(01
1
222
∑∞
=+++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫
⎝⎛++=-⋅+-⋅=
n n n n z z z z z z z z
z z z z f ΛΛ
六、记
)()(s Y t y =，对方程两边取Laplace 变换， ,2
1
)(5))0()((4)0()0()(2+=
--+'--s s Y y s sY y sy s Y s 解得
.1
92
291591)(-++-
++-
=s s s s Y
=)(t y 1-[].9
2
9191)(25t t t e e e s Y +--=--
七、设曲线1:=z C ，取正向。

由导数公式，
⎰=
'C dz z
z f i f .)
(21)0(2π 因为,1)(≤z f 所以
ds z
z f dz z z f f C
C
⎰
⎰≤=
'2
2)(21
)(21
)0(ππ
.121
)(21=≤
=
⎰
⎰C
C ds ds z f π
π
2008年《复变函数与积分变换》试题解答
一、（1）π
-e
； （2）1，-3，-3； （3）1； （4）
24
1
； （5）)cos 1(2t -
二、（1）D ； （2）A ； （3）A ； （4）A ； （5）C 三、由2
2y x y
v +=
知
222)(2y x xy x v +-=∂∂， 2
22
2
2)
(y x y x y v +-=∂∂。

由R C -方程知
222)
(2y x xy x v y u +=∂∂-=∂∂，所以 ⎰
++=+=),()(222222x y x x
dy y x xy u ϕ
)()
(2222
2x y x x y x u ϕ'++--=∂∂. 又
y v x u ∂∂=∂∂，故有C x x ==')(,0)(ϕϕ，所以C y x x
u ++-=2
2。

因此 C z
y x y i C y x x iv u z f +-=++++-
=+=1
)(2
222. 由0)2(=f 可得21=
C ，所以2
1
1)(+-=z z f . 四、（1）在曲线C 上，dx i dz x i ix x iy x z )1(,)1(+=+=+=+=.
⎰
⎰
+=
+=C
i dx i x dz z )1(2
2
)1(21
. （2）1=z 是)
1()1(1
)(22+-=z z z f 在C 内的二级极点, i z =是)(z f 在C 内的一级
极点.
Res [],2
1)11(lim
1),(21-=+=→z dz d z f z Res [].4
1
)()1(1lim
),(2=+-=→i z z i z f i
z
原式=i i 2
)4121(2ππ-=+-
. （3）原式=
⎰
=
+⋅=-+=C
i z iz iz
e
i
z e i dz i z i z e π
π2)
(.
（4）)
4)(1()(222
++=z z z z R .i i z 2,=分别是)(z R 在上半平面内的两个一级极点.
Res [],61
)4)((lim
),(22i z i z z i z f i z =++=→ Res [].3
1
)2)(1(lim 2),(2
22i i z z z i z f i z -=++=→ 原积分=.3
)3
6(2π
π=
-i i
i
（5）令θ
i e z =，则.2
22cos ,22cos 2
2221----+=+=+=+=
z z e e z z e e i i i i θθθθθθ 原式=⎰=--⋅+-+11
2212
45z dz iz z z z z =.)()
2
1)(211()
1(211
2
4⎰⎰===--+-z z dz z f dz z z z z i
0=z 是)(z f 在1:=z C 内部的2级极点，2
1
=
z 是)(z f 在C 内部的一级极点. [].617)21)(211()1(2)21(lim 21),(Re 25)21)(211(1lim 0),(Re 24
2
12
4
20i z z z z i z z f s i
z z z z z dz d z f s z z =⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣
⎡--+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡
-
=⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣
⎡--+=→→
原式=.32617252ππ-=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+-
i i i 五、（1）10<<z 时，
.
1)1(111)1(1,1111
2
1121
1
02
2
∑∑∑∑∑∞=-∞=-∞=-∞=∞===-='⎪⎭⎫ ⎝⎛='
⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=+++=-n n n n n n n n n n nz nz z z z nz z z z z z z z Λ
（2）
)
1(11
)1(1)1(12
2z z z z --⋅-=-
[]
.
)1()1()1( )1()1(1)
1(10
20
22
2
∑∑∞
=-∞=---=-=+-+-+-=
n n n n n z z z z z Λ
（3）
z z z z z z --⋅--=--⋅-=
-1111
)1(1 )1(11)1(1)1(1
3
22 .
)1(1
)1( 11111)1(1 3
2
3+∞
=--=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫
⎝⎛-+-+--=∑n n n
z z z z Λ 六、⎰
⎰⎰+∞
∞
-+∞
+--+∞
--+=
===
ω
βωωβωβωj dt e dt e e dt e
t f F t j t j t t
j 1
)()(0
)(0。

[]2)(11)(ωβωβωj j d d j
t tf +=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=. [][]
2
)(1)(0ωω
βω-+=
j t tf e
t
j .
七、令
[])()(s Y t y =。

方程两边取Laplace 变换，得
[]1
1)(3)0()(4)0()0()(2-=
+--'--s s Y y s sY y sy s Y s . 即 1
1)(3)(41)(2
-=+--s s Y s sY s Y s . 解得 )
3()1()(2--=
s s s
s Y .
1=s 是)(s Y 的二级极点，3=s 是)(s Y 的一级极点
Res [
]
t t st s st
te e e s s ds d e s Y 21
433lim
1,)(1--=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-→. Res [
]
.4
3)1(lim
3,)(323t st s st
e e s s e s Y =-=→
=
)(t y 1
-[].4
32
14
3)(3t t t e te e s Y +--=
八、因为iv u +是D 内的解析函数，由R C -方程，
y v x u ∂∂=∂∂， x
v y u ∂∂-=∂∂ （1） 如果iu v +也是D 内的解析函数，则
y u x v ∂∂=∂∂， x
u y v ∂∂-=∂∂. （2） 为使（1），（2）同时成立，当且仅当
0=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂y
v x v y u x u . 所以21C ，v C u ==（21，C C 为常数）.因此，只有当iv u +在D 内为常数时，iu v +才能在D 内解析，否则iu v +不解析.
一、客观题
1、3π-；1；
2、0；
3、10
(1)2n n n n z ∞
+=-∑； 4
、(22cos sin ln ()k e
i k Z ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
∈； 5、0； 6、；
1
7!
、2-； 7
、
2
8、A 9、C 10、C 11、C 12、C 二、计算题
1、F ()()()22
()f t j F F ωωωω''==-⎡⎤⎣⎦
……………3分 F ()()()()()22
2d tf t j
F j F F d ωωωωωωω
''⎡⎤=-=--⎡⎤⎣⎦⎣⎦………2分 2、被积函数的奇点1z =±均在2z =的内部,且均为一级极点………1分
又1Re [(),1]22z z ze e s f z z =⎡⎤==⎢⎥⎣⎦………1分 11
Re [(),1]22z z ze s f z z e
=-⎡⎤==⎢⎥
⎣⎦………1分
由留数定理可知,原式=1222e i e π⎛⎫
+
⎪⎝
⎭……….2分 3、设()f z u iv =+，则()f z u iv =-，（1分）由()f z 解析可知，,x y y x u v u v ==-，（1分）再由()f z 解析可知，,x y y x u v u v =-=（1分），从而0x y y x u v u v ====（1分），
所以()f z u iv =+≡常数
三、解答题
1、2220
2
01111
(1)(1)
(1)(1)1(1)(1)(1)(1)n
n
n n n n z z z z z z z ∞
=∞
-==⋅=
----+--=--∑∑前两步每步3分，最后一步4
分
2、L 2
[sin ]t = L 21cos 21[
]222(4)
t s
s s -=-+……………4分 而L 22222sin 11[][]ln 22(4)442
s s t s s s
ds ds s arctn t s s s ∞∞=-=+++⎰⎰……………4分
22
sin st
t e dt t +∞
-⎰
由拉氏变换定义………………….1分，上式中取0s =，即得 2222
sin 1ln 4422s t s s dt s arctn t s π
+∞
=⎡⎤=+=⎢⎥+⎣⎦⎰
……………1分 3、令i z e θ
=，21
,cos 2dz z d iz z
θθ+==…………4分 则原式2:1
21
41C z dz i z z ==
++⎰Ñ，C 为正向圆周，…………2分 令2
1
()41
f z z z =++，其在C 内的奇点为23-+，且为一极极点…………2分 则原式2:12122Re (),23413C z dz i s f z i z z i π=⎡=
=⋅⋅-=⎣++⎰Ñ2分 4、2211
()2222
F s s s s s =
⋅
++++……………2分 Q
2
122
s s ++的拉氏逆变换为sin t
e t -．．．．．．．．．．．．3分 ()()()0
()sin sin sin sin()t t t t f t e t e t e e t d τττττ-----∴=*=⋅-⎰………………3分
()1sin cos 2
t
e t t t -=
-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 专业：
电学类各专业 课程名称： 复变函数与积分变换 学分： 3 试卷编号(B) 课程编号： 4110731
考试方式： 闭 卷 考试时间： 100 分钟
拟卷人(签字)：
拟卷日期： 2009.06.05 审核人(签字)：
一、客观题：
（一）填空题（每空3分，共30分）
1.4， 0 ；
11
,,22
i i i +- ； 3.2i ，(
2),0,1,2,2
k i k π
π+=±±L ； 4.2cos(2)z π+ ；
5.2
2i e π⋅；
； 7.220
(1)2(2)!n n n
n z n ∞
=-∑ ； 8.
22
,Re()04
s s >+其中 . (二)选择题（每题3分，共15分）
1. D ;
2. B ;
3. C ;
4. B ;
5. D.
二、计算下列积分(3小题,共15分)：
1.(本题5分)分别小圆12,C C 包围点121,2,z z i =-=-使得12,C C 互不相交,且在C 内,-----1'
则
12434343121212C C C dz dz dz z z i z z i z z i ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎰⎰⎰蜒? --------------2' 423214i i i πππ=⨯+⨯= . -------- --------------------------------------------------------2'
注:其他解法正确也应给分
2. (本题5分)()f z 在C 所围成的区域内有120,2z z ==两个孤立奇点,------------- 1'
220
222
Re [(),0]lim 1,Re [(),2]lim(2)222z z z z s f z z
s f z z z z z z
→→++==-=-=--,-----------2'
所以由留数定理,原式
()2Re [(),0]Re [(),2]212i s f z s f z i i πππ=⋅+=⨯=.-----------2'
注:其他解法正确也应给分
3. (本题5分)
1
1
sin cos z zdz z d z ⋅=-⎰
⎰ -------------1'
1
1
1
000
cos |cos cos1sin |z z z zdz z =⎡⎤⎡⎤=--=--⎣⎦⎢⎥⎣
⎦
⎰
-----------2'
sin1cos1.=- --------------2'
三、计算题(5小题,共40分)
1. (本题8分)解:设3
2
3
2
(,),(,)u x y my nx y v x y x lxy =+=+.
222,3,u u nxy my nx x y ∂∂==+∂∂ 223,2,v v x ly lxy x y ∂∂=+=∂∂ ------------- 3' 由柯西-黎曼(C-R)条件,()2222
22333,3nxy lxy n l my nx x ly n l m
=⇒=⎧⎪⎨+=-+⇒=-=-⎪⎩ ----- 3' 所以,3, 1.n l m ==-= ------------------2'
2. (本题8分)解:23231,
2!3!!
(1)1,
2!3!!
n
z
n
z n
z z z e z n z z e z z n -=++++++-=-+-+++L L L L -----------------------------3' 2420
()1224(2)!z z n
n e e z z z f z n -∞
=+∴==+++=∑L --------------------------3'
收敛半径.R =+∞ ------------------------2'
3. (本题8分)解: 01z <<时，1
2
1
111()(1)n n f z nz z z z ∞-==⋅=⋅-∑----------------2' 2
1
1
(2)n n
n n nz
n z
∞
∞
-==-==
+∑∑ ---------------------2'
011z <-<时，()22
1
11()(1)(1)(1)1(1)1n n
n f z z z z z ∞==⋅=---+--∑ ---------------2' 2
2
(1)(1)
(1)(1)
n
n n
n
n n z z ∞
∞
-==-=--=
--∑∑。

----------------------2'
4. (本题8分)解: sin()0z z k πππ=⇒=，故()f z 的奇点为,0,1,2,z k k ==±±L ---------2'
当()(),sin |0,sin |0z k z k z k z z ππ=='==≠，z k ∴=是sin()z π的一级零点， 是3
(sin())z π的三级零点 ------------------2'
又由于1,1z =-是22(1)(2)z z --的一级零点，2z =是22
(1)(2)z z --的二级零点， 所以1,1z =-是()f z 的二级极点，2z =是()f z 的一级极点，-----------------2' 当,1,1,2z k z =≠-时，k 是()f z 的三级极点。

--------------------2'
5. (本题8分)解: 22()11
s
s se F s s s -=-++。

2分 L []2cos 1
s
t s =+。

3分 L ()2cos 11s se t s --=⎡⎤⎣⎦+。

3分 所以原式cos cos(1)t t =--。

2分。