2019年青岛市高三数学下期末试题含答案

2019年青岛市高三数学下期末试题含答案
一、选择题
1．已知等比数列{}n a 的各项都是正数，且13213,,22
a a a 成等差数列，则
8967a a a a +=+ A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
2．在等差数列{a n }中，a 1＞0，a 10·a 11＜0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项的和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是 （ ） A ．24
B ．48
C ．60
D ．84
3．已知回归直线方程中斜率的估计值为1.23，样本点的中心()4,5，则回归直线方程为（ ）
A ． 1.2308ˆ.0y x =+
B ．0.0813ˆ.2y
x =+ C ． 1.234ˆy
x =+ D ． 1.235ˆy
x =+ 4．若3
tan 4
α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） A ．
6425
B ．
4825
C ．1
D ．
1625
5．已知平面向量a r
=（1，－3），b r
=（4，－2），a b λ+r
r
与a r
垂直，则λ是（ ） A ．2
B ．1
C ．－2
D ．－1
6．若以连续掷两颗骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 落在圆
229x y +=内的概率为（ ）
A ．
536
B ．
29
C ．
16
D ．
19
7．函数(
)f x =的图象关于( )
A ．x 轴对称
B ．原点对称
C ．y 轴对称
D ．直线y x =对称 8．若,,a b R i ∈为虚数单位，且()a i i b i +=+，则
A ．1,1a b ==
B ．1,1a b =-=
C ．1,1a b ==-
D ．1,1a b =-=-
9．若0,0a
b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
10．已知长方体的长、宽、高分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个
球的表面积是（ ） A ．25π
B ．50π
C ．125π
D ．都不对
11．在等比数列{}n a 中，44a =，则26a a ⋅=（ ） A ．4
B ．16
C ．8
D ．32
12．若奇函数()f x 在[1,3]上为增函数，且有最小值0，则它在[3,1]--上 （ ）
A ．是减函数，有最小值0
B ．是增函数，有最小值0
C ．是减函数，有最大值0
D ．是增函数，有最大值0
二、填空题
13．已知实数
，且
，则
的最小值为____
14．已知数列{}{}n n a b 、满足ln n n b a =，*n ∈N ，其中{}n b 是等差数列，且
431007e a a ⋅=，则121009b b b +++=L ________．
15．已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__________． 16．在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆2cos ρθ=相切，则
a =__________．
17．已知直线：与圆
交于两点，过分别作的垂线与
轴交于
两点.则
_________.
18．若函数2
()1ln f x x x a x =-++在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的最小值是__________．
19．如图，已知P 是半径为2
，圆心角为
3
π
的一段圆弧AB 上一点，2A B B C =u u u v u u u v ，则PC PA ⋅u u u v u u u v
的最小值为_______．
20．设函数2
1()ln 2
f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 取值范围为_______________.
三、解答题
21．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 11
4
=，公比q >0，S 1+a 1，S 3+a 3，S 2+a 2成等差数列.
（1）求{a n }； （2）设b n ()
()22
21
2n n n n c n b b log a +=
=+，，求数列{c n }的前n 项和T n .
22．已知公比为4的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且485S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{(1)}n n a -的前n 项和n T ． 23．已知数列{}n a 满足1112,22n n n a a a ++==+.
（1）设2n
n n
a b
=
，求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （3）记()
()
2
1
1422n
n
n n n n
n c a a +-++=
，求数列{}n c 的前n 项和n T .
24．已知2256x ≤且21log 2x ≥
，求函数22
()log log 2
2
x x
f x =⋅的最大值和最小值． 25．在ABC △中，BC a =，AC b =，已知a ，b 是方程22320x x -+=的两个根，且2cos()1A B +=． （1）求角C 的大小； （2）求AB 的长．
26．如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A AC C ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，
11
30,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是11,AC A B 的中点.
（1）证明：EF BC ⊥；
（2）求直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值.
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一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】
设各项都是正数的等比数列{a n }的公比为q ，（q ＞0），由题意可得关于q 的式子，解之可得q ，而所求的式子等于q 2，计算可得． 【详解】
设各项都是正数的等比数列{a n }的公比为q ，（q ＞0）
由题意可得3121
2322
a a a ⨯
=+， 即q 2-2q-3=0， 解得q=-1（舍去），或q=3，
故()2
672896767
9a a q
a a q a a a a ．++===++ 故选：D ． 【点睛】
本题考查等差数列和等比数列的通项公式，求出公比是解决问题的关键，属基础题．
2．C
解析：C 【解析】
试题分析：∵11011101100000a a a d a a ⋅∴＞，＜，
＜，＞，＜， ∴18110111810181060T a a a a S S S =+⋯+--⋯-=-
-=（），选C . 考点：1.等差数列的求和；2.数列的性质.
3．A
解析：A 【解析】 【分析】
由题意得在线性回归方程$ˆy bx
a =+$中 1.23
b =$，然后根据回归方程过样本点的中心得到$a
的值，进而可得所求方程． 【详解】
设线性回归方程$ˆy bx
a =+$中，由题意得 1.23
b =$， ∴$1.23ˆy x a
=+． 又回归直线过样本点的中心()4,5，
∴$5 1.234a
=⨯+， ∴$0.08a
=， ∴回归直线方程为 1.2308ˆ.0y
x =+． 故选A ． 【点睛】
本题考查线性回归方程的求法，其中回归直线经过样本点的中心时解题的关键，利用这一性质可求回归方程中的参数，也可求样本数据中的未知参数，属于基础题．
4．A
解析：A 【解析】
试题分析：由3tan 4α=
，得34sin ,cos 55αα==或34
sin ,cos 55
αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525
αα+=
+⨯=，故选A ． 【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式．
【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．
5．D
解析：D 【解析】 【详解】
试题分析：()()(),34,24,32a b λλλλλ+=-+-=+--r r ，由a b λ+r r 与a r 垂直可知
()
()()·0433201a b a λλλλ+=∴+---=∴=-r r r
考点：向量垂直与坐标运算
6．D
解析：D 【解析】
掷骰子共有36个结果,而落在圆x 2+y 2=9内的情况有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)这4种,
∴P=
41
369=. 故选D
7．C
解析：C 【解析】 【分析】
求函数的定义域，判断函数的奇偶性即可． 【详解】
解：()f x =Q
0x ∴≠解得0x ≠
()f x ∴的定义域为()(),00,D =-∞+∞U ，D 关于原点对称.
任取x D ∈，都有()()f x f x x
-=
==，
()f x ∴是偶函数，其图象关于y 轴对称，
故选：C .
【点睛】
本题主要考查函数图象的判断，根据函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性是解决本题的关键．
8．C
解析：C 【解析】 【分析】
利用复数乘法的运算法则化简原式，利用复数相等的性质可得结果. 【详解】
因为()a i i b i +=+， 即1ai b i -+=+，
因为,,a b R i ∈为虚数单位，所以1,1a b ==-， 故选C. 【点睛】
本题主要考查复数的乘法运算以及复数相等的性质，属于基础题.
9．A
解析：A 【解析】 【分析】
本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取
,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】
当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得
4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成
立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 【点睛】
易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.
10．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得2
25
2
R =，再由球的表面积公式，即可求解． 【详解】
设球的半径为R ，根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，可得
2
2
2
3524R =++，解得2
252R =
，所以球的表面积为2
2544502
S R πππ==⨯
=球. 故选：B 【点睛】
本题主要考查了长方体的外接球的性质，以及球的表面积的计算，其中解答中熟练应用长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得球的半径是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
11．B
解析：B 【解析】
等比数列的性质可知2
26416a a a ⋅==,故选B .
12．D
解析：D 【解析】 【分析】 【详解】
因为()f x 为奇函数，且在[1,3]上为增函数，且有最小值0， 所以()f x 在[3,1]--上为增函数，且有最大值0，选D.
二、填空题
13．3+54【解析】【分析】由a+b ＝2得出b ＝2﹣a 代入代数式中化简后换元t ＝2a ﹣1得2a ＝t+1得出1＜t ＜3再代入代数式化简后得出2t6t-(t2+5)然后在分式分子分母中同时除以t 利用基本不等 解析：
【解析】 【分析】
由a +b ＝2得出b ＝2﹣a ，代入代数式中，化简后换元t ＝2a ﹣1，得2a ＝t +1，得出1＜t ＜3，再代入代数式化简后得出，然后在分式分子分母中同时除以t ，利用基本不
等式即可求出该代数式的最小值． 【详解】
解：由于a +b ＝2，且a ＞b ＞0，则0＜b ＜1＜a ＜2， 所以，
，
令t ＝2a ﹣1∈（1，3），则2a ＝t +1，
所以，
． 当且仅当，即当时，等号成立． 因此，的最小值为
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查利用基本不等式求最值，解本题的关键就是对代数式进行化简变形，考查计算能力，属于中等题．
14．2018【解析】【分析】数列{an}{bn}满足bn ＝lnann∈N*其中{bn}是等差数列可得bn+1﹣bn ＝lnan+1﹣lnan ＝ln 常数t 常数et ＝q ＞0因此数列{an}为等比数列由可得a1
解析：2018 【解析】 【分析】
数列{a n }、{b n }满足b n ＝lna n ，n ∈N *，其中{b n }是等差数列，可得b n +1﹣b n ＝lna n +1﹣lna n ＝ln
1n n a a +=常数t ．1n n
a
a +=常数e t ＝q ＞0，因此数列{a n }为等比数列．由431007e a a ⋅=， 可得a 1a 1009＝a 2a 10084
31007a a e =⋅==L ．再利用对数运算性质即可得出．
【详解】
解：数列{a n }、{b n }满足b n ＝lna n ，n ∈N *，其中{b n }是等差数列， ∴b n +1﹣b n ＝lna n +1﹣lna n ＝ln
1
n n
a a +=常数t ． ∴1
n n
a a +=常数e t ＝q ＞0， 因此数列{a n }为等比数列．
且4
31007e a a ⋅=，
∴a 1a 1009＝a 2a 10084
31007a a e =⋅==L ．
则b 1+b 2+…+b 1009＝ln （a 1a 2…a 1009）41009()ln e ==lne 2018＝2018． 故答案为：2018． 【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式与性质、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15．【解析】【分析】由圆的几何性质得圆心在的垂直平分线上结合题意知求出的垂直平分线方程令可得圆心坐标从而可得圆的半径进而可得圆的方程【详解】由圆的几何性质得圆心在的垂直平分线上结合题意知的垂直平分线为令
解析：22(2)10x y -+=. 【解析】 【分析】
由圆的几何性质得，圆心在AB 的垂直平分线上,结合题意知，求出AB 的垂直平分线方程，令0y =，可得圆心坐标，从而可得圆的半径，进而可得圆的方程. 【详解】
由圆的几何性质得，圆心在AB 的垂直平分线上,结合题意知，AB 的垂直平分线为
24y x =-，令0y =，得2x =，故圆心坐标为(2,0)，所以圆的半径
=22
(2)10x y -+=.
【点睛】
本题主要考查圆的性质和圆的方程的求解,意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.
16．【解析】【分析】根据将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程再根据圆心到直线距离等于半径解出【详解】因为由得由得即即因为直线与圆相切所以【点睛】（1）直角坐标方程化为极坐标方程只要运用公式及直接代入并化
解析：1【解析】 【分析】
根据2
2
2
,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程，再根据圆心到直线距离等于半径解出a . 【详解】
因为2
2
2
,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==， 由cos sin (0)a a ρθρθ+=>，得(0)x y a a +=>，
由2cos ρθ=，得2
=2cos ρρθ，即22=2x y x +，即22(1)1x y -+=，
1101a a a =∴=±>∴=+Q ，，
【点睛】
（1）直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式cos x ρθ=及sin y ρθ=直接代入并化简即可；
（2）极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如2
cos ,sin ,ρθρθρ的形式，
进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.
17．4【解析】试题分析：由x-3y+6=0得x=3y-6代入圆的方程整理得y2-33y+6=0解得y1=23y2=3所以x1=0x2=-3所以|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=23又直线l 的
解析：4 【解析】 试题分析：由
，得
，代入圆的方程，整理得，解得
，所以
，所以
．又直线的倾斜角为
，由平面几何知识知在梯
形
中，
．
【考点】直线与圆的位置关系
【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系的非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．
18．【解析】【分析】由函数单调递增可得导函数在区间内大于等于零恒成立根据分离变量的方式得到在上恒成立利用二次函数的性质求得的最大值进而得到结果【详解】函数在上单调递增在上恒成立在上恒成立令根据二次函数的
解析：1
8
【解析】 【分析】
由函数单调递增可得导函数在区间内大于等于零恒成立，根据分离变量的方式得到
22a x x ≥-在()0,∞+上恒成立，利用二次函数的性质求得22x x -的最大值，进而得到结
果. 【详解】
Q 函数()21ln f x x x a x =-++在()0,∞+上单调递增
()210a
f x x x
'∴=-+
≥在()0,∞+上恒成立 22a x x ∴≥-在()0,∞+上恒成立 令()2
2g x x x =-，0x > 根据二次函数的性质可知：当14
x =
时， ()max 18g x =
1
8a ∴≥
，故实数a 的最小值是18
本题正确结果：1
8
【点睛】
本题考查根据函数在区间内的单调性求解参数范围的问题，关键是能将问题转化为导函数
的符号的问题，通过分离变量的方式将问题转变为参数与函数最值之间的关系问题.
19．5﹣【解析】【分析】设圆心为OAB 中点为D 先求出再求PM 的最小值得解【详解】设圆心为OAB 中点为D 由题得取AC 中点M 由题得两方程平方相减得要使取最小值就是PM 最小当圆弧AB 的圆心与点PM 共线时PM 最
解析：5﹣213 【解析】 【分析】 设圆心为O,AB 中点为D,先求出2221944
PC PA PM AC PM ⋅=-=-u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，再求PM 的最小值得解.
【详解】
设圆心为O,AB 中点为D,
由题得22sin 2,36AB AC π
=⋅⋅=∴=.
取AC 中点M ，由题得2PA PC PM PC PA AC ⎧+=⎨-=⎩
u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v , 两方程平方相减得2221944PC PA PM AC PM ⋅=-=-u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r ， 要使PC PA ⋅u u u r u u u r 取最小值，就是PM 最小，
当圆弧AB 的圆心与点P 、M 共线时，PM 最小.
此时DM=221113,()3222
DM ∴=+=, 所以PM 有最小值为2﹣
13， 代入求得PC PA ⋅u u u r u u u r 的最小值为5﹣213．
故答案为5﹣213
【点睛】
本题主要考查直线和圆的位置关系，考查平面向量的数量积及其最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 20．【解析】试题分析：的定义域为由得所以①若由得当时此时单调递增当时此时单调递减所以是的极大值点；②若由得或因为是的极大值点所以解得综合①②：的取值范围是故答案为考点：1利用导数研究函数的单调性；2利用 解析：
【解析】
试题分析：()f x 的定义域为()()10,,'f x ax b x
+∞=--，由()'00f =，得1b a =-，
所以()()()11'ax x f x x
+-=.①若0a ≥，由()'0f x =，得1x =，当01x <<时，()'0f x >，此时()f x
单调递增，当1x >时，()'0f x <，此时()f x 单调递减，所以1x =是()f x 的极大值点；②若0a <，由()'0f x =，得1x =或1x a
=-.因为1x =是()f x 的极大值点，所以11a
-
>，解得10a -<<，综合①②：a 的取值范围是1a >-，故答案为()1,-+∞. 考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值. 三、解答题
21．（1）a n 11()
2n +=；（2）T n 2211311436(2)(3)n n ⎡⎤=--⎢⎥++⎣⎦. 【解析】
【分析】
（1）根据等差中项的性质列方程，并转化为1,a q 的形式，由此求得q 的值，进而求得数列{}n a 的通项公式.
（2）利用裂项求和法求得数列{}n c 的前n 项和n T .
【详解】
（1）由S 1+a 1，S 3+a 3，S 2+a 2成等差数列，
可得2（S 3+a 3）=S 2+a 2+S 1+a 1，
即有2a 1（1+q +2q 2）=3a 1+2a 1q ，
化为4q 2=1，公比q >0，
解得q 12=
. 则a n 14= ⋅（12）n ﹣111()2
n +=； （2）b n 212222111()(2)(1)n n log a log n --=
==+， c n =（n +2）b n b n +2=（n +2）⋅
22221111(1)(3)4(1)(3)n n n n ⎡⎤=-⎢⎥++++⎣⎦
， 则前n 项和T n =c 1+c 2+c 3+…+c n ﹣1+c n 14=[222222222211111111112
43546(2)(1)(3)n n n n -+-+-++-+-+++L ] 2211111449(2)(3)n n ⎡⎤=+--⎢⎥++⎣⎦
2211311436(2)(3)n n ⎡⎤=--⎢⎥++⎣⎦
. 【点睛】
本小题主要考查等差中项的性质，考查等比数列通项公式的基本量计算，考查裂项求和法，属于中档题.
22．（1）14
n n a -=，*n N ∈；（2）4(34)49
n n n T +-⋅=． 【解析】
【分析】
（1）设公比为q ，运用等比数列的求和公式，解方程可得首项，进而得到所求通项公式；
（2）求得1(1)(1)4n n n a n --=-⋅，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和．
【详解】
（1）设公比q 为4的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且485S =， 可得41(14)8514
a -=-，解得11a =， 则14n n a -=，*n N ∈；
（2）1(1)(1)4n n n a n --=-⋅，
前n 项和2310142434(1)4n n T n -=+⋅+⋅+⋅+⋯+-⋅，
23440142434(1)4n n T n =+⋅+⋅+⋅+⋯+-⋅，
两式相减可得23134444(1)4n n n T n --=+++⋯+--⋅
14(14)(1)414
n n n --=--⋅-， 化简可得4(34)49
n
n n T +-⋅=． 【点睛】
本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用、数列的错位相减法，考查化简运算能力，属于中档题．
23．（1）n b n =（2）()112
2n n S n +=-+（3）()()()1
14123312n n n n +++---+⋅ 【解析】
【分析】
【详解】
（1）由1122n n n a a ++=+得11n n b b +=+，得n b n =； （2）易得2n n a n =g ，1223112222,212222,n n n n S n S n +=⨯+⨯++⨯=⨯+⨯++⨯L L
错位相减得1211122222
2212n n n n n S n n ++--=+++-⨯=⨯-⨯-L 所以其前n 项和()112
2n n S n +=-+； （3）()()()()()()()()()()2221
111422142
121·2?12?12?12n n n n n n n n n n n n n n n n n c n n n n n n +++-++-++-++++===+++ ()()()()()()1111111111112?21?222?21?2n
n n n n n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫---⎛⎫ ⎪=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， ()()()()()()2231212231111111111122221?22?22?23?2?21?2n n n n n n T n n ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪=-+-++-+-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
L L ()()1112113621?2n n n n ++-⎛⎫=-+-- ⎪+⎝⎭或写成()()()1
1412331?2n n n n +++---+. 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
24．最小值为14-
，最大值为2. 【解析】
【分析】 由已知条件化简得
21log 32x ≤≤，然后化简()f x 求出函数的最值 【详解】
由2256x ≤得8x ≤，2log 3x ≤即21log 32
x ≤≤ ()()()222231log 1log 2log 24f x x x x ⎛⎫=-⋅-=-- ⎪⎝
⎭. 当23log ,2x =
()min 14f x =-，当2log 3,x = ()max 2f x =． 【点睛】
熟练掌握对数的基本运算性质是转化本题的关键，将其转化为二次函数的值域问题，较为基础．
25．120o C =
,c =
【解析】
试题分析：解：（1）()()1cos cos cos 2
C A B A B π⎡⎤=-+=-+=-⎣⎦，所以120C =o
（2）由题意得23{2a b ab +==
∴222222cos 2cos120AB AC BC AC BC C a b ab =+-⋅⋅=+-o
=()()222223
210a b ab a b ab ++=+-=-= ∴10AB =
考点：本题考查余弦定理，三角函数的诱导公式的应用
点评：解决本题的关键是用一元二次方程根与系数之间关系结合余弦定理来解决问题
26．（1）证明见解析；（2）
35
. 【解析】
【分析】
(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义即可证得线线垂直；
(2)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后结合线面角的正弦值和同角三角函数基本关系可得线面角的余弦值.
【详解】
(1)如图所示，连结11,A E B E ，
等边1
AAC △中，AE EC =，则1A E AC ⊥， 平面ABC ⊥平面11A ACC ，且平面ABC ∩平面11A ACC AC =，
由面面垂直的性质定理可得：1A E ⊥平面ABC ，故1A E BC ⊥，
由三棱柱的性质可知11A B AB ∥，而AB BC ⊥，故11A B BC ⊥，且1111A B A E A =I ， 由线面垂直的判定定理可得：BC ⊥平面11A B E ，
结合EF ⊆平面11A B E ，故EF BC ⊥.
(2)在底面ABC 内作EH ⊥AC ，以点E 为坐标原点，EH ,EC ,1EA 方向分别为x ,y ,z 轴正方向建立空间直角坐标系E xyz -.
设1EH =，则3AE EC ==1123AA CA ==3,3BC AB ==， 据此可得：()()()
1330,3,0,,,0,0,3,3,022A B A C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 由11AB A B =u u u r u u u u r 可得点1B 的坐标为1333,322B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 利用中点坐标公式可得：333,344F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，由于()0,0,0E ， 故直线EF 的方向向量为：333,344EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r 设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =u r ，则： ()()13333,,,,33022223333,,022m A B x y z x y z m BC x y z x y u u u v v u u u v v ⎧⎛⎫⋅=⋅-=+-=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅=⋅-=-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩
， 据此可得平面1A BC 的一个法向量为()
3,1m =u r ，333,344EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r 此时4cos ,53552
EF m EF m EF m ⋅===⨯⨯u u u r u r u u u r u r u u u r u r ， 设直线EF 与平面1A BC 所成角为θ，则43sin cos ,,cos 55
EF m θθ===u u u r u r . 【点睛】 本题考查了立体几何中的线线垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.。