概率统计-习题及答案 (2)

习题二
2.1 从装有4个黑球，8个白球和2个黄球的箱子中，随机地取出2个球，假定每取出1个黑球得2分，而每取出1个白球失1分，每取出1个黄球既不得分也不失分。

以X 表示我们得到的分数，求X 的概率分布。

2.2 口袋中有5个球，分别标有号码1，2，3，4，5，现从这口袋中任取3个球。

（1）设X 是取出球中号码的最大值，求X 的概率分布，并求出4X ≤的概率； （2）设Y 是取出球中号码的最小值，求Y 的概率分布，并求出3Y >的概率。

2.3 10个灯泡中有2个坏的，从中任取3个，设X 是取出3个灯泡中好灯泡的个数。

（1）写出X 的概率分布和分布函数。

（2）求所取的3个灯泡中至少有2个好灯泡的概率。

2.4 某种电子产品中，合格品占43，不合格品占41，现在对这批产品随机抽取，逐个测试，设第X 次才首次测到合格品，求X 的概率分布。

2.5 已知某人在求职过程中每次求职的成功率都是0.4，问他预计最多求职多少次，就能保证有99%的把握获得一个就业机会？
2.6 已知1000个产品中有100个废品。

从中任意抽取3个，设X 为取到的废品数。

（1）求X 的概率分布，并计算X =1的概率。

（2）由于本题中产品总数很大，而从中抽取产品的数目不大，所以，可以近似认为是“有放回地任意抽取3次”，每次取到废品的概率都是0.1，因此取到的废品数服从二项分布。

试按照这一假设，重新求X 的概率分布，并计算X =1的概率。

2.7 一个保险公司推销员把保险单卖给5个人，他们都是健康的相同年龄的成年人。

根据保险统计表，这类成年人中的每一个人未来能活30年的概率是2/3。

求： （1）5个人都能活30年的概率；
（2）至少3个人都能活30年的概率； （3）仅2个人都能活30年的概率； （4）至少1个人都能活30年的概率。

2.8 一张答卷上有5道选择题，每道题列出了3个可能的答案，其中有一个答案是正确的。

某学生靠猜测能答对至少4道题的概率是多少？
2.9 设随机变量X 、Y 都服从二项分布，X ～),2(p b ，Y ～),3(p b 。

已知5{1}9
P X ≥=，试求{1}P Y ≥的值。

2.10 设在某条公路上每天发生事故的次数服从参数3=λ的普阿松分布。

（1）试求某天出现了3次或更多次事故的概率。

（2）假定这天至少出了一次事故，在此条件下重做（1）题。

2.11 某商店出售某种商品，据以往经验，月销售量服从普阿松分布)3(P 。

问在月初进货时要库存多少此种商品，才能以99%的概率充分满足顾客的需要。

2.12 考虑函数
3(2)02/5
()0C x x x f x ⎧-<<=⎨
⎩
其他 能否作为随机变量的概率密度？如果能，试求出常数C 的值。

2.13 已知随机变量X 的概率密度为
01
()0
Ax x f x <<⎧=⎨
⎩其他 ， 求：（1）系数A ；（2）概率{0.5}P X ≤； （3）随机变量X 的分布函数。

2.14 已知随机变量X 的概率密度为()x
f x Ae
-=，（+∞<<∞-x ）。

求：
（1）系数A ；（2）随机变量X 落在区间（0，1）内的概率； （3）随机变量X 的分布函
数。

2.15 函数2
11
)(x
x F +=
是否是连续型随机变量X 的分布函数，如果X 的可能值充满区间 （1） ),(+∞-∞； （2）)0,(-∞。

2.16 设连续型变量X 的分布函数为：
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<≤<=1
11000)(2
x x Ax x x F 求：（1）系数A ；（2）X 的概率密度)2(ϕ； （3）{0.30.7}P X -<<。

2.17 （柯西分布）设连续型随机变量X 的分布函数为
x B A x F arctan )(+=，)(∞<<-∞x ，
求：（1）系数A 、B ； （2）(1,1)X ∈-的概率； （3）X 的概率密度。

2.18 公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过。

乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的，求乘客候车时间不超过3分钟的概率。

2.19 假定一个新的灯泡的寿命X （单位：小时）服从以100/1=λ为参数的指数分布。

求： （1）灯泡的寿命在50到200之间的概率；
（2）设)(x F 是ξ的分布函数，已知p x F p =)(，10<<p ，求p x 。

2.20 修理某机器所需时间（单位：小时）服从以2/1=λ为参数的指数分布。

试问： （1）修理时间超过2小时的概率是多少？
（2）若已持续修理了9小时，总共需要至少10小时才能修好的条件概率是什么？
2.21 设随机变量X ～)2,1(2
N ，求：
（1）{ 2.2}P X <； （2）{ 1.6 5.8}P X -≤<； 3）{ 3.5}P X ≤；（4）{ 4.56}P X ≥。

2.22 某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布),72(2
σN ，且96分以上占学生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60至84分之间的概率。

2.23 在电源电压不超过200V ，在200~240V 之间和超过240V 的三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2。

假设电源电压X ～)25,220(2
N ，试求： （1）该电子元件损坏的概率；
（2）该电子元件损坏时，电源电压在200~240V 之间的概率。

2.24 假设测量的随机误差X ～)10,0(2
N ，试求在100次独立重复测量中，至少有2次测量误差的绝对值大于19.6的概率。

2.25
求：（1）常数a ； （2）Y 2
X =的概率分布。

2.26 设随机变量X 服从]1,0[上的均匀分布)1,0(U ，1Y X =。

求随机变量Y 的概率密度。

2.27 如果随机变量X ～)1(E ，ln Y X =。

试求随机变量η的概率密度。

2.28分子运动速度的绝对值X是服从麦克斯威尔分布的随机变量，其概率密度为：
2
2
2
()
00
x
a x
f x
x
-
⎧
>
=
≤
⎩
，（0
>
a）。

求分子动能2
1
2
Y mX
=（m为质量）的概率密度。

习题二
2.1因为
{P取到2白球
91
28
}2
{
}
2
14
2
8=
=
-
=
=
C
C
Pξ，
{P取到1白球1黄球
91
16
}1
{
}
2
14
1
2
1
8=
=
-
=
=
C
C
C
Pξ，
{P取到2黄球
91
1
}0
{
}
2
14
2
2=
=
=
=
C
C
Pξ，
{P取到1白球1黑球
91
32
}1
{
}
2
14
1
4
1
8=
=
=
=
C
C
C
Pξ，
{P取到1黄球1黑球
91
8
}2
{
}
2
14
1
4
1
2=
=
=
=
C
C
C
Pξ，
{P取到2黑球
91
6
}4
{
}
2
14
2
4=
=
=
=
C
C
Pξ，
所以，ξ的概率分布为
2.2
（1）从5个球中取3个球，最大号码为k ，相当于先取1个号码为k 的球，再从号码小于k
的1-k 个球中取2个球，所以 3
5
2
111}{C C C k P k -==ξ1021
-=k C （5,4,3=k ） 。

由此求得ξ的概率分布为
4.03.01.0}4{}3{}4{=+==+==≤ξξξP P P ；
（2）从5个球中取3个球，最小号码为k ，相当于先取1个号码为k 的球，再从号码大于k
的k -5个球中取2个球，所以 3
5
2
511}{C C C k P k -==η1025k
C -= （3,2,1=k ） 。

由此求得η的概率分布为
0}3{=>ηP 。

2.3 （1）ξ可能的取值为1，2，3。

从8个好灯泡和2个坏灯泡中任取3个，恰好取到k 个好灯泡和k -3个坏灯泡的概率为
3
10
32
8}{C C C k P k
k -==ξ（3,2,1=k ）。

由此求得ξ的概率分布为
ξ的分布函数为
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
≥==+=+=<≤==+=<≤==<=≤=31
}3{}2{}1{3215
/8}2{}1{2115/1}1{10}{)(x P P P x P P x P x x P x F ξξξξξξξ 。

（2）P {3个灯泡中至少有2个好灯泡}=15/14}3{}2{)2(==+==≥ξξξP P P 。

2.4 显然这是一个独立试验序列。

测到合格品为止所需要的测试次数ξ服从4
3
=
p 的几何
分布，即
)4
3
(~g ξ ，ξ的概率分布为
4
3
)41()1(}{11⨯=-==--k k p p k P ξ （ ,2,1=k ） 。

2.5 设n 是为了要有%90的把握成功，预计所需的求职次数的上限，ξ是到成功为止，实际所需的求职次数，显然 ξ～)4.0(g 。

根据题意，要有
∑∞
+=-⨯-
=+≥-=≤1
1
4.06
.01}1{1}{n k k n P n P ξξ1)1(6.01-+-=n n 6.01-=9.0≥ ，
即要有1.06.0≤n
，1.0log 6.0≥n ≈5076.4，取整可得 5=n ，即预计最多求职5次，就能有%90的把握获得一个就业机会。

2.6 （1）用超几何分布计算，ξ的概率分布为 3
1000
3900
100}{C C C k P k k -==ξ（3,2,1,0=k ） ， ===3
1000
29001100}1{C C C P ξ5538913485
≈24346.0 。

（2）用二项分布近似计算，ξ的概率分布为 k
k k C k P -⨯⨯==339.01.0}{ξ（3,2,1,0=k ），
211
39.01.0}1{⨯⨯==C P ξ24300.0= 。

2.7 设ξ是5个人中未来能活30年的人数，显然有 ξ～)3
2
,5(b 。

（1）5人都能活30年的概率
243
32
)32(}5{5=
==ξP ； （2）至少3人能活30年的概率
}5{}4{}3{}3{=+=+==≥ξξξξP P P P
243
192)32(31)32()31()32(5445233
5=+⨯⨯+⨯⨯=C C ；
（3）仅2人能活30年的概率
}2{=ξP 243
40)31()32(3225=⨯⨯=C ；
（4）至少1人能活30年的概率
}0{1}1{=-=≥ξξP P 243
242
24311)31(15=
-=-= 。

2.8 设ξ是5道题中能答对的题数，显然有 ξ～)3
1,5(b 。

}5{}4{}4{=+==≥ξξξP P P 243
11
)31(32)31(5445=
+⨯⨯=C 。

2.9 由 9
5
)1(1}0{1}1{2
=
--==-=≥p P P ξξ 可解得 32941±=±=-p ，因为01>-p ，舍去负值，得到321=
-p ，即有 3
1
=p 。

所以 27
19
2781)3
1
1(1)1(1}0{1}1{3
3
=
-
=--=--==-=≥p P P ηη 。

2.10 设ξ是每天发生事故数，ξ～)3(P 。

（1）发生3次或更多次事故的概率为
}3{≥ξP ∑==-=2
0}{1k k P ξ=∑=--2
03
e !
31k k k 3e 2171--=≈57681.0 ；
（2）在已知至少发生1次事故的条件下，发生3次或更多次事故的概率为
}0{1}3{}1{}3{}13{=-≥=≥≥=≥≥ξξξξξξP P P P P 3
3
e 1e
2171----
=≈60703.0 。

2.11 设月初要进货a 件，ξ是月销售量，ξ～)3(P 。

要满足顾客需要，必须有a ≤ξ，根据题意，要有
∑===≤a
k k P a P 0}{}{ξξ∑=-=a
k k k 03
e !
399.0≥ 。

直接计算或查书后附录中普阿松分布的概率表，可以求得：
37
0e !3-=∑k k k ≈99.0988.0< ，3
8
0e !3-=∑k k k ≈99.0996.0> 。

由此可见，月初至少要进货8件，才能以%99以上的概率满足顾客的需要。

2.12 它不能作为随机变量的概率密度。

例如，当1=x 时，C C =-⨯=)112()1(3
ϕ，当
2=x 时，C C 4)222()2(3-=-⨯=ϕ，不管0>C 或0<C ，)1(ϕ和)2(ϕ中总有一个
是负值，这就与0)(≥x ϕ发生矛盾，如果0=C ，则与
1d )(=⎰
+∞
∞
-x x ϕ矛盾，所以，它不能
作为随机变量的概率密度。

2.13 （1）因为 ⎰+∞
∞
-=x x d )(1ϕ⎰=1
0d x Ax 2
2
1
02A
Ax =
=
，所以 2=A ； （2）25.0d 2d )(}5.0{5.00
2
5
.00
5
.0====
≤⎰
⎰
∞
-x x x x x P ϕξ ；
（3）⎪⎪⎩
⎪
⎪
⎨⎧≥=++<≤=+<===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞
-∞-∞-∞-11d 0d 2d 010d 2d 0000d )()(110020
0x t t t t x x t t t x dt t t x F x
x x
x ϕ 。

2.14 （1）因为 ⎰
+∞
∞
-=
x x d )(1ϕ⎰+∞
∞
-=x A x
-d e
A x A x 2d e 20
==⎰
+∞
-，所以 2
1
=
A ； （2）2
e 1d e 21d )(}10{1
1
01
0---===<<⎰⎰x x x P x ϕξ ≈ 31606.0 ；
（3）当0<x 时，⎰
∞
-=
x
x x x F d )()(ϕ⎰
∞-==x
x x x e 2
1
d e 21 ； 当0≥x 时，⎰∞-=x
x x x F d )()(ϕ⎰⎰-∞-+=x x
x x x 00
d e 21d e 21 x x ---=-+
=e 2
112e 121 ； 即有
⎪⎩⎪⎨
⎧≥-<=-0
e 2
110
e
21)(x x x F x x。

2.15（1）如果211)(x x F +=
定义在),(+∞-∞上，则有011
lim )(2=+=+∞+∞→x
F x ，与分布函数性质1)(=+∞F 发生矛盾，所以它不可以成为某个随机变量的分布函数 ；
（2）如果2
11)(x x F +=定义在)0,(-∞上，可以设⎪⎩⎪
⎨⎧≥<+=0
1
011)(2x x x x F ，它单调非降，
连续，且有0)(=-∞F ，1)(=+∞F ，可以成为某个连续随机变量的分布函数。

2.16（1）因为 ξ 连续，在1=x ，有)1()01(F F =-，而 A A F =-=-+→2
)1(lim )01(εε，
1)1(=F ，所以必有 1=A ；
（2）)(d d )(x F x x =ϕ⎪⎩
⎪
⎨⎧≥='<≤='<='=101102)(00
02x x x x x ，即有 ⎩⎨
⎧<≤=其它0102)(x x x ϕ ； （3）49.007.0)3.0()7.0(}7.03.0{2
=-=--=<<-F F P ξ 。

2.17 （1）由分布函数性质可知
B A x B A F x 2
)arctan (lim )(0π
-
=+=-∞=-∞
→ ，B A x B A F x 2
)arctan (lim )(1π
+
=+=+∞=+∞
→ ，
即有 ⎪⎩⎪⎨⎧
=+=-1202B A B A π
π ，解此方程，求得 ⎪⎩
⎪⎨
⎧=
=π121B A 。

（2）)1()1(}11{--=<<-F F P ξ5.02
1
])1arctan(21[])1arctan(21[==-+-+=ππ ；
（3）)
1(1
)arctan 21()(d d )(2x x x F x x +='+==ππϕ 。

2.18 设ξ表示乘客的候车时间，根据题意可知 ξ～)5,0(U ，ξ的概率密度为：
⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它0
5051
)(x x ϕ 。

乘客候车时间不超过3分钟的概率为：
6.0d 5
1
d )(}3{3
3
⎰⎰
∞
-===≤x x x P ϕξ。

2.19 （1）由已知条件，ξ～)1001(E ，ξ的分布函数为
⎩
⎨
⎧≤>-=-0
00e 1)(100
x x x F x 。

于是，
)50()200(}20050{F F P -=≤≤ξ
471.0)1()1(22/1100/50100200≈-=---=----e e e e ；
（2）由
100
100
100
1d )(p p p
x x t x t p e
e
t e
x F p ----=-===⎰λ，得p
x p -=11
ln
100 。

2.20 设ξ是修理时间，ξ～)21(E ，ξ的分布函数为⎪⎩⎪
⎨⎧≤>-=-0
0e
1)(2x x x F x 。

（1）12
2
e )e
1(1)2(1}2{1}2{--=--=-=≤-=>F P P ξξ ≈ 367879.0 ；
（2）}9{}10{}910{>>=>>ξξξξP P P 21
2
92
102
9
2
10e e e
)e 1(1)e 1(1-----==----= ≈ 606531.0 。

2.21 因为ξ～)2,1(2
N ，参数1=μ，2=σ，所以有：
（1）7257.0)6.0()2
1
2.2(
}2.2{=Φ=-Φ=<ξP ； （2）)3.1()4.2()2
1
6.1()218.5(}8.56.1{-Φ-Φ=--Φ--Φ=<≤-ξP
)]3.1(1[)4.2(Φ--Φ=9032.019918.0+-=8950.0= ； （3）=≤}5.3{
ξP )2
1
5.3()215.3(
}5.35.3{--Φ--Φ=≤≤-ξP )25.2()25.1(-Φ-Φ=)]25.2(1[)25.1(Φ--Φ=9878.018944.0+-=8822.0= ； （4）=≥}56.4{
ξP =<-}56.4{1ξP }56.456.4{1<<--ξP
)2
1
56.4()2156.4(
1--Φ+-Φ-=)78.2()78.1(1-Φ+Φ-= )78.2(1)78.1(1Φ-+Φ-=9973.019625.01-+-=0402.0= 。

2.22 设ξ是学生外语成绩，ξ～),72(2
σN ，已知
023.0)24
(
1)72
96(
1}96{=Φ-=-Φ-=>σ
σ
ξP ，
即有 977.0)24(
=Φσ，查表得
9954.124
=σ，9954
.124
=
σ≈ 12 ，于是有
}8460{≤≤ξP )7260()7284(σσ-Φ--Φ= ≈ )12
72
60()127284(-Φ--Φ
)1(1)1()1()1(Φ+-Φ=-Φ-Φ=6826.08413.018413.0=+-= 。

2.23 设=A {电子元件损坏}，=1B }200{≤ξ,=2B }240200{≤<ξ,=3B }240{>ξ。

因为
ξ～)25,220(2N ，所以
2119.07881.01)8.0(1)25
220
200(
}200{)(1=-=Φ-=-Φ=≤=ξP B P ， =)(2B P )25
220
200()25220240(}240200{-Φ--Φ=≤<ξP )8.0()8.0(-Φ-Φ=
7881.017881.0)8.0(1)8.0(+-=Φ+-Φ=5762.0=，
=)(3B P )25
220
240(
1}240{-Φ-=>ξP 2119.07881.01)8.0(1=-=Φ-=， 1.0)(1=B A P ，001.0)(2=B A P ，2.0)(3=B A P 。

（1）由全概率公式得
∑==3
1
)()()(i i i B A P B P A P 2.02119.0001.05762.01.02119.0⨯+⨯+⨯= ≈ 0641.0；
（2）由贝叶斯公式得
0641
.0001
.05762.0)
()
()()(222⨯=
=
A P
B A P B P A B P ≈ 0090.0 。

2.24 设η是在100次测量中，事件}6.19{>=ξA 发生的次数，显然η～),100(p b ，
其中
}6.196.19{1}6.19{)(≤≤--=>==ξξP P A P p )]10
6
.19()106.19([1-Φ-Φ-= 05.09750.022)96.1(1)96.1(1=⨯-=Φ-+Φ-= 。

在100次测量中，事件}6.19{
>=ξA 至少发生2次的概率为
}1{}0{1}2{=-=-=>ηηηP P P 991
100
10095.005.095.01⨯⨯--=C ≈96292.0 。

2.25 （1）由 158730113613}{15
1
+=++++
===
∑=a a a a x P i i ξ 可解得 15
1
=a 。

ξ的概率分布为
（2）η2
ξ=的概率分布为
2.26 因为ξ～)1,0(U ，ξ的概率密度为⎩
⎨⎧≤≤=其他01
01)(x x ξϕ 。

当)1,0(∈x 时，x x f y 1)(== 严格单调下降，反函数为y y f
x 1)(1
==-，
),1(+∞∈y ，
21
1)1()(d d
y
y y f y
-='=-。

所以，ξη1=的概率密度为
⎪⎩
⎪⎨⎧+∞∈=-==--其他
0),1(1
1)(d d ))
(()(2211y y
y y f y y f y ξηϕϕ 。

2.27 因为ξ～)1(E ，ξ的概率密度为 ⎩⎨
⎧≤>=-0
e )(x x x x
ξϕ 。

当),0(+∞∈x 时，x x f y ln )(== 严格单调上升，反函数为y y f x e )(1
==-，
+∞-∞∈,(y ）
，y y y f y
e )e ()(d d 1
='=-。

⎪⎩
⎪⎨⎧+∞-∞∈===---其他
0),(e e e )(d d ))
(()(e e -1
1y y f y
y f y y y y y ξηϕϕ 。

即有 )(y ηϕy
y e
e -= ),(+∞-∞∈y 。

2.28 当),0(+∞∈x 时，2
21)(mx x f y =
= 严格单调上升，反函数为m
y y f x 2)(1==-，+∞∈,0(y ），
my
m y
y f y 21
)2()(d d 1='=-。

⎪⎪
⎩⎪⎪⎨⎧+∞∈==---其他
),0(21e )2(4)(d d ))(()(2
2
)2(
3
211y my
a m y y f y y f y a m y πϕϕξη 。

⎪⎩⎪
⎨⎧≤>=-0
0e 24223y y m y ma ma y
π 。