201x-201x学年高中数学 第三章 变化率与导数 3 计算导数实用 北师大版选修1 -1

2．f′(x)与 f′(x0)既有区别，又有联系，f′(x)是导函数，f′(x0) 是当 x＝x0 时导函数 f′(x)的一个函数值，是一个确定的值．
利用导函数的定义求导数
[例 1] 一运动物体的位移 s(单位：m)关于时间 t(单位：s) 的函数关系式为 s(t)＝t2＋t.求 s′(0)，s′(2)，s′(5)，并说明它 们的意义．
m/s.
[一点通]
利用定义求函数 y＝f(x)的导函数的一般步骤：
(1)确定函数 y＝f(x)在其对应区间上每一点都有导数；
(2)计算 Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；
(3)当 Δx 趋于 0 时，得到导函数
f′(x)＝ lim Δx→0
fx＋Δx－fx
Δx
.
1．已知函数 f(x)＝x2＋x，则 f′(x)＝
3．若 f(x)＝3 x，则 f′(1)＝ A．0 C．3
B．－13 D.13
()
解析：f′(x)＝(x
1 3
)′＝13x
2 3
＝331x2，∴f′(1)＝13.
答案：D
4．给出下列结论： ①(cos x)′＝sin x；②sinπ3′＝cosπ3；③若 y＝x12， 则 y′＝－1x；④ 1x′＝－2x1 x . 其中，正确的命题序号是________．
Δx
.
问题 3：f′(x)与 f′(1)有什么关系？
提示：f′(1)可以认为把 x＝1 代入导函数 f′(x)得到的值．
1．导函数 若一个函数 f(x)在区间(a，b)上的每一点 x 处都有导数，导数 值记为 f′(x)：
fx＋Δx－fx
f′(x)＝ lim
Δx
Δx→0
则 f′(x)是关于 x 的函数，称 f′(x) 为 f(x)的导函数，简称
s′(t)＝lim
Δt→0
st＋ΔΔtt－st＝Δlitm→0
(Δt＋2t＋1)＝2t＋1.
因此，s′(0)＝2×0＋1＝1，它表示物体的初速度为 1 m/s；
s′(2)＝2×2＋1＝5，它表示物体在第 2 s 时的瞬时速度为 5 m/s；
s′(5)＝2×5＋1＝11，它表示物体在第 5 s 时的瞬时速度为 11
[思路点拨] 先求出 s(t)的导函数，然后分别把 t＝0,2,5 代 入即可．
[精解详析] 由题意 Δs＝s(t＋Δt)－s(t)＝(t＋Δt)2＋(t＋Δt)－(t2＋
t)＝(Δt)2＋2t·Δt＋Δt.
∴ΔΔst＝Δt2＋2Δtt·Δt＋Δt＝Δt＋2t＋1.
当 Δt 趋于 0 时，可以得出导函数为
为 导数 ．
2．导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)
函数
导函数
y＝c (c 是常数)
y′＝0
y＝xα(α 为实数)
y′＝ αxα－1
y′＝ axln a ， y＝ax (a>0，a≠1)
特别地(ex)′＝ ex
函数
导函数
y＝sin x y′＝ cos x
y＝cos x y′＝ －sin x
的值．
解：f′(x)＝ lim Δx→0
2x＋Δx2＋4x＋Δx－2x2＋4x Δx
＝ lim Δx→0
4x·Δx＋2Δx2＋4Δx Δx
＝lim (4x＋2Δx＋4)＝4x＋4， Δx→0
f′(3)＝4×3＋4＝16.
利用导数公式求导数
[例 2] 求下列函数的导数． (1)y＝x x；(2)y＝log3x； (3)y＝2cossin2x2x－1；(4)y＝5x. [思路点拨] 先对函数式进行必要的化简，再选择导数公式进行 求解．
1 y＝tan x y′＝ cos2 x
y＝loga x (a>0， a≠1)
1
y′＝ xln a ， 1
特别地(ln x)′＝ x
y＝cot x y′＝－sin12 x
1．导数公式表中(ax)′＝axln a 与(logax)′＝xln1 a较易混淆， 要区分公式的结构特征，找出它们之间的差异去记忆．
(2)若直线 l 与曲线 y＝x3 在第一象限相切于某点，切线的斜率为 3，求直线 l 与坐标轴围成的三角形面积．
[思路点拨] (1)可设出切点为(x0，x03)，由导数的几何意义及斜 率公式建立关于 x0 的方程求解．(2)先求切线的方程，从而求出切线 与 x，y 轴的交点坐标，再求三角形的面积．
§
3
第 三计 章算
导
数
理解教材 新知
把握热点 考向
应用创新 演练
考点一 考点二 考点三
§3
计算导数
对于函数 y＝－12x2＋2x. 问题 1：如何求 f′(1)?
提示：f′(1)＝ lim Δx→0
f1＋Δx－f1
Δx

问题 2：如何求 f′(x)?
提示：f′(x)＝ lim Δx→0
fx＋Δx－fx
[精解详析] (1)y′＝3x2，设 B(x0，x30)(x0≠0)，则切线斜率 k ＝3x02.
又直线 l 过点(0，－1)，∴k＝x03x＋0 1. ∴3x02＝x30x＋0 1，
3 ∴2x03＝1，∴x0＝
12，x03＝12，
∴B
3
12，12.
()
A．1
B．2
C．2x
D．2x＋1
解 析 ： f′(x) ＝ lim Δx→0
[x＋Δx2＋x＋Δx]－x2＋x Δx
＝
lim
Δx→0
2x·Δx＋ΔΔxx2＋Δx＝Δlixm→0 (2x＋Δx＋1)＝2x＋1.
答案：D
2．求函数 f(x)＝2x2＋4x 的导数，并利用导函数 f′(x)求 f′(3)
解析：因为(cos x)′＝－sin x，所以①错误；
sinπ3＝ 23，而 23′＝0，所以②错误；
x12′＝(x－2)′＝－2x－3，所以③错误；
1x′＝(x
1 2
)′＝－12x
3 2
＝－12
1x3＝－2x1
， x
故④正确．
答案：④
导数的应用
[例 3] (1)若直线 l 过点 A(0，－1)且与曲线 y＝x3 切于点 B，求 B 点坐标．
3
[精解详析] (1)y＝x x＝x 2 ，
∴y′＝(x
3 2
)′＝32x
1 2
＝32
x.
(2)y′＝(log3x)′＝xln1 3.
(3)∵y＝2cossin2x2x－1＝csions xx＝tan x，
∴y′＝(tan x)′＝co1s2x.
(4)y′＝(5x)′＝5xln 5.
[一点通] 求简单函数的导函数有两种基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂； (2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题 时根据所给函数的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适 的求导公式．如将根式、分式转化为指数式，利用幂函数的求导公 式求导．