2024学年吉林省长春外国语学校高一上学期12月月考数学试题及答案

长春外国语学校2023-2024学年第一学期第二次月考
高一年级数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.考试结束后，将答题卡交回.注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.
2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 函数()ln(12)f x x =-的定义域为（ ）A. 1,2
⎛⎤-∞ ⎥
⎝
⎦
B. 1,
2⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭
C. 10,2⎛⎫ ⎪
⎝
⎭
D. 1,2⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
2. 实数
0.2,a b c ===的大小关系正确的是（
）
A. a c b
<< B. a b c
<< C. b a c
<< D. b<c<a 3. 已知对数函数()log a f x x =是增函数，则函数()1f
x +的图象大致是（
）.
A.
B.
C. D.
4. 已知函数2log ,0()91,0
x x x f x x ->⎧=⎨+≤⎩，则31
((1))(log )2f f f +的值是
A. 2
B. 3
C. 5
D. 7
5. 设()e ,0
ln ,0
x x g x x x ⎧≤=⎨>⎩，则关于x 的不等式()1g x ≤的解集是（ ）
A. (]
,e -∞ B. (]
,1-∞ C. []
0,e D. []
0,16. 已知点(1,2)在α终边上，则cos α=（ ）
A.
B.
C.
23
D.
13
7. 已知α
锐角，且cos 6πα⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭，则tan 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭
（ ）
A.
B.
C.
D.
8. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度为1θC ，空气的温度是0θC ，那么t 分钟后物体的温度θ（单位C ）可由公式：()010kt
e
θθθθ-=+-求得，其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的
正常数.现有100℃的物体，放在20C 的空气中冷却，4分钟后物体的温度是60C ，则再经过（ ）分
钟，物体的温度是40C （假设空气的温度保持不变）.A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列选项中正确的是（ ）
9. 下列选项中正确的是（ ）
A. ()sin 3sin απα
-= B. 7cos sin 2απα⎛⎫
-
=- ⎪⎝
⎭C. ()tan tan απα
--=- D. 5sin cos 2
παα
⎛⎫-= ⎪⎝
⎭
的为
10. 下列所给函数中值域为()0,∞+的是（ ）
A. ()23
f x x
-= B.
()1x
f x e
=C. ()()
2
3log 1
f x x =+ D. ()15
,0
1,0
x x f x x x ⎧⎪>=⎨⎪-+≤⎩11. 若105a =，1020b =，则（ ）A. 4
a b += B. lg 4
b a -= C. 22lg 5
ab < D. lg 5
b a ->12. 下列正确的命题是（ ）A 5πlg sin 02⎛⎫
⎛⎫=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B 若()cos cos 2f x x =，则(
)
sin 30f ︒=
C. 若()1sin π2α+=-
，则()1sin 4π2
α-=-D. 若()tan π2α+=，则
()()()()
sin πcos π3
sin πcos παααα-+-=+--第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 半径为2，面积等于
45
π
的扇形的圆心角的大小是_________．14. 若函数5()log f x x =（0x >），则方程(1)(3)1f x f x ++-=的解x =________.
15. 设函数()2222
x x f x x x ⎧<=⎨≥⎩，，，若()()121f a f a +≤-，则实数a 的取值范围是__________.
16. 已知定义在R 上的函数()f x 图像关于点1(,0)2中心对称，且当1
2x >时，1()f x x m x
=++，若()f x 的值域为R ，则实数m 的取值范围为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （1）3log 2
832lg 2lg 253
log 9log 64
+++⨯（2
）2102329272()(3)(()483
----++.
.
18. 已知角α的终边落在直线4y x =-上，且0x ≤，求sin α，cos α，tan α的值．19. 已知1
sin cos 5
θθ+=，(0,)θπ∈，求下列各式的值．（1）sin cos θθ⋅；（2）sin cos θθ-．
20. 已知函数3sin cos tan()22()cos()sin(3)
x x x f x x x πππππ⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+-，且1
()3
f α=.（1）求
2sin cos sin 2cos αα
αα
-+的值；
（2）求222sin sin cos cos αααα--的值.21. 已知定义在R 上的函数2()51
x f x m =-+（1）判断并证明函数()f x 的单调性；（2）若()f x 是奇函数，求m 的值；
（3）若()f x 的值域为D ，且[3,1]D ⊆-，求m 的取值范围．22. 已知函数()1lg 1
x
f x x -=+.（1）求不等式()()()lg20f
f x f +>解集；
（2）函数()()30,1x
g x a a a =->≠，若存在[)12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取
值范围.
的
长春外国语学校2023-2024学年第一学期第二次月考高一年级数学试
卷
出题人 ：赵宇
审题人：王骏牧
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.考试结束后，将答题卡交回.注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.
2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 函数()ln(12)f x x =-的定义域为（ ）A. 1,2
⎛⎤-∞ ⎥
⎝
⎦
B. 1,
2⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭
C. 10,2⎛⎫ ⎪⎝
⎭
D. 1,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
【答案】B 【解析】
【分析】使得式子有意义，列出不等式即可求解.【详解】定义域要求120x ->，即1
2
x <.故选：B ．
2. 实数
0.2,a b c ===的大小关系正确的是（
）
A. a c b <<
B. a b c
<< C. b a c
<< D. b<c<a
【答案】C
【解析】【分析】
利用指数函数、对数函数的单调性可得到a b c 、、的范围从而得到答案.
【详解】000.21a <=<=
，0.20b =<=
，1c =>=，
所以b a c <<，故选：C.
3. 已知对数函数()log a f x x =是增函数，则函数()1f
x +图象大致是（
）.
A.
B.
C. D.
【答案】B 【解析】
【分析】利用代特殊点和对数函数的图像性质排除选项即可.【详解】由题意，1a >，()()1log 1a
f
x x +=+，
()()11f x f x -+=+，所以函数()1f x +是偶函数，
当0x =时，()()01log 010a
f
+=+=，故排除选项C 、D ，
当0x >时，由对数函数的单调性，对数函数增长越来越慢，可排除选项A.故选：B
【点睛】本题主要考查函数图像的识别和判断，利用函数的奇偶性和带入特殊值排除法是解题的关键，属于基础题.
4. 已知函数2log ,0()91,0
x x x f x x ->⎧=⎨+≤⎩，则31
((1))(log )2f f f +的值是
A. 2
B. 3
C. 5
D. 7
【答案】D 【解析】
的
【分析】根据给定的分段函数，按条件分段计算即可作答.
【详解】函数2log ,0()91,0
x
x x f x x ->⎧=⎨+≤⎩，则2(1)log 10f ==，0((1))(0)912f f f ==+=，而3
31
log log 202=-<，因此，33log 2log 222331(log )(log 2)91(3)12152
f f =-=+=+=+=，所以31
((1))(log 2572
f f f +=+=故选：D
5. 设()e ,0
ln ,0
x x g x x x ⎧≤=⎨>⎩，则关于x 不等式()1g x ≤的解集是（ ）
A. (],e -∞
B. (],1-∞
C. []0,e
D. []
0,1【答案】A 【解析】
【分析】分0x ≤、0x >解不等式()1g x ≤，综合可得出原不等式的解集.【详解】当0x ≤时，由()e 1x
g x =≤可得0x ≤；
当0x >时，由()ln 1g x x =≤可得0e x <≤.综上所述，不等式()g x 的解集为(],e -∞.故选：A.
6. 已知点(1,2)在α的终边上，则cos α=（ ）
A.
B.
C.
23
D.
13
【答案】B 【解析】
【分析】根据终边上点，结合三角函数的定义求余弦值即可.
【详解】由题设cos α==
.故选：B
7. 已知α
为锐角，且cos 6πα⎛⎫
+
= ⎪
⎝
⎭，则tan 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭
（ ）
A.
B.
C.
D.
的的
【答案】D 【解析】
【分析】注意到πππ632αα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，利用同角三角函数的关系求角π6α+的正弦，再利用诱导公式求角
π3α-的正弦、余弦，从而得到π
3
α-的正切.【详解】因为α为锐角，所以ππ2π,663α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭
且πcos 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，所以22πsin 06ππsin cos 166ααα⎧⎛⎫
+> ⎪⎪⎪⎝⎭⎨
⎛⎫⎛⎫⎪+++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩
得πsin 6α⎛
⎫+= ⎪⎝⎭
由诱导公式得ππππsin sin cos 3266ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+=
⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦
，ππcos sin 36αα⎛⎫⎛
⎫-=+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.
所以πsin π3tan π3cos 3ααα⎛⎫- ⎪
⎛⎫⎝⎭-=
== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭.故选:D
8. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度为1θC ，空气的温度是0θC ，那么t 分钟后物体的温度θ（单位C ）可由公式：()010kt
e
θθθθ-=+-求得，其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的
正常数.现有100℃的物体，放在20C 的空气中冷却，4分钟后物体的温度是60C ，则再经过（ ）分
钟，物体的温度是40C （假设空气的温度保持不变）.A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】B 【解析】
【分析】根据题意将数据120θ=o
，0
100θ= ，60θ= ，4t =代入()010kt
e θθθθ-=+-，可得
1
4
12k e -⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，再将40θ =代入即可得8t =，即可得答案.
【详解】由题意知：120θ=o
，0
100θ= ，60θ= ，4t =
代入()010kt
e θθθθ-=+-得：()4602010020k
e
-=+-，
解得14
12k e -⎛⎫= ⎪
⎝⎭
所以当40θ =时，()14
40201002012t ⎛⎫ -⎪
⎭
=+⎝，
解得：12
4
114212t ⎛⎫== ⎛⎫ ⎝⎪⎭⎪
⎭⎝，
所以8t =，
所以再经过4分钟物体的温度是40C ， 故选：B
【点睛】本题主要考查了指数函数的综合题，关键是弄清楚每个字母的含义，属于中档题.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列选项中正确的是（ ）
9. 下列选项中正确的是（ ）
A. ()sin 3sin απα
-= B. 7cos sin 2απα⎛⎫
-
=- ⎪⎝
⎭C. ()tan tan απα--=- D. 5sin cos 2
παα
⎛⎫-= ⎪⎝⎭
【答案】BCD 【解析】
【分析】利用诱导公式一一验证即可；
【详解】解：sin(3)sin()sin()sin απαππαα-=-=--=-，故A 不正确；
71cos cos sin 22απαπα⎛⎫⎛
⎫-=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；
tan()tan()tan απαα--=-=-，故C 正确；
51sin sin cos 22παπαα⎛⎫⎛⎫
-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故D 正确.
故选：BCD
10. 下列所给函数中值域为()0,∞+的是（
）
A. ()23
f x x
-
= B.
()1x
f x e
=C. ()()
2
3log 1
f x x =+ D. ()15
,0
1,0
x x f x x x ⎧⎪>=⎨⎪-+≤⎩【答案】AD 【解析】【分析】
A. 利用幂函数的性质判断；
B.令 ()()1
,00,t x
=
∈-∞⋃+∞，转化为指数函数判断；C. 令211t x =+≥，转化为对数函数判断；D. 分0x >和 0x ≤讨论求解判断.
【详解】A. 因为()23
f x x -
=的定义域为{}|0x x ≠，因为函数在()0,∞+上是减函数且为偶函数，所以其值
域是()0,∞+，故正确；
B.令 ()()1
,00,t x
=∈-∞⋃+∞，则()()()10,11,x f x e =∈⋃+∞，故错误；
C. 令211t x =+≥，则()()
2
3log 1[0,)f x x =+∈+∞，故错误；
D. 当0x >时，()()0,f x ∈+∞，当 0x ≤时，()[1,)f x ∈+∞，综上：()()0,f x ∈+∞，故正确；故选：AD
11. 若105a =，1020b =，则（ ）A. 4a b += B. lg 4
b a -= C. 22lg 5
ab < D. lg 5
b a ->【答案】BC 【解析】
【分析】由105,1020a b ==，得lg 5,lg 20a b ==，再利用对数运算公式对,a b 进行a b +，b a -，ab 运算，从而可判断各选项.
【详解】由105,1020a b ==，得lg 5,lg 20a b ==，
则()lg 5lg 20lg 520lg1002a b +=+=⨯==，选项A 错误；
20
lg 20lg 5lg
lg 4lg 55
b a -=-==<，选项B 正确，选项D 错误；()2lg 5lg 20lg 5lg 4lg 5lg 5lg 4lg 5ab =⨯=⨯+=⨯+，lg 4lg 5<Q ，
222lg 5lg 4lg 5lg 5lg 5lg 52lg 5⨯+<⨯+=∴，
22lg 5ab <∴ ，选项C 正确.
故选：BC.
12. 下列正确的命题是（ ）A. 5πlg sin 02⎛
⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B. 若()cos cos 2f x x =，则()sin 30f ︒=
C. 若()1sin π2α+=-，则()1sin 4π2
α-=-D. 若()tan π2α+=，则
()()()()sin πcos π3
sin πcos παααα-+-=+--【答案】ACD
【解析】【分析】运用诱导公式、特殊角的三角函数值及同角三角函数的商数关系即可求得各个选项.
【详解】对于A 项，5ππlg sin lg sin lg1022⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，故A 项正确；对于B 项，因为()cos cos 2f x x =，所以1(sin 30)(cos 60)cos1202f f ︒︒︒===-
，故B 项错误；对于C 项，因为()1sin πsin 2αα+=-=-
，所以1sin 2
α=，所以()1sin 4πsin()sin 2ααα-=-=-=-，故C 项正确；对于D 项，因为()tan πtan 2αα+==，所以()()()()sin πcos πsin cos sin cos tan 1213sin πcos πsin cos sin cos tan 121
αααααααααααααα-+---+++=====+---+---，故D 项正确.故选：ACD.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 半径为2，面积等于
45π的扇形的圆心角的大小是_________．【答案】
25
π【解析】
【分析】根据扇形面积公式即可求出．
【详解】设扇形的圆心角的大小为α，由212S r α=可得，241252
πα=⨯⨯，解得25πα=．故答案为：25
π．14. 若函数5()log f x x =（0x >），则方程(1)(3)1f x f x ++-=的解x =________.
【答案】4.
【解析】
【分析】根据对数的运算性质，可得(1)(3)5x x +-=，解得答案．
【详解】解：因为5()log f x x =，
所以()()555(1)(3)log 1log 3log (1)(3)f x f x x x x x ++-=++-=+-，
5(1)(3)log (1)(3)1
f x f x x x ++-=+-= 即(1)(3)5x x +-=，
所以4x =或2x =-（舍去），
故答案为：4．
【点睛】本题考查对数函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，属于基础题．
15. 设函数()2222
x x f x x x ⎧<=⎨≥⎩，，，若()()121f a f a +≤-，则实数a 的取值范围是__________.
【答案】[2,)
+∞【解析】
【分析】根据指数函数和幂函数的性质可得()f x 在R 上为增函数，利用函数的单调性解不等式即可得解.
【详解】由于当2x <时，()2x
f x =为增函数，且()()24f x f <=，由于当2x ≥时，()2
f x x =为增函数，且()()24f x f ≥=，∴()f x 在R 上为增函数，
∵()()121f a f a +≤-，∴121a a +≤-，解得2a ≥，
所以实数a 的取值范围为[2,)+∞，
故答案为：[2,)+∞．
16. 已知定义在R 上的函数()f x 图像关于点1(,0)2中心对称，且当12x >时，1()f x x m x =++，若()f x 的值域为R ，则实数m 的取值范围为________．
【答案】(,2]
-∞-【解析】
【分析】由题可得函数()f x 关于点1,02⎛⎫
⎪⎝⎭对称，进而可得当12x >时，1()0f x x m x =++≤有解，利用基本不等式即得.
【详解】∵定义在R 上的函数()f x 满足1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，∴函数()f x 关于点1,02⎛⎫
⎪⎝⎭对称，又当12x >时，1()f x x m x =++，在1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，()f x 单调递减，当()1,x ∈+∞，()f x 单调递增，要使函数()f x 的值域为R ，则当12x >时，1()0f x x m x
=++≤有解，
又当12x >时，12x m m m x ++≥=+，当且仅当1x x =，即1x =取等号，∴20m +≤，即实数m 的取值范围为(,2]-∞-.
故答案为：(,2]-∞-.
四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （1）3log 2832lg 2lg 253log 9log 64
+++⨯
（2）2102329272()(3)(()483
----++【答案】（1）8 ；（2）
132
【解析】【分析】（1）利用对数运算性质化简即可得出答案
（2）利用指数运算性质化简即可得到答案.
【详解】(1)原式6
232=lg 4lg 252log 3log 23
+++⨯2lg100263
=++⨯2248=++=；
(2)原式34413162992
=--++=18. 已知角α的终边落在直线4y x =-上，且0x ≤，求sin α，cos α，tan α的值．
【答案】sin α=，cos α=tan 4α=-.【解析】【分析】根据给定条件，求出角α的终边上一个点的坐标，再利用三角函数定义求解即得.
【详解】角α的终边落在直线4y x =-上，且0x ≤，取角α的终边上的点(1,4)P -，
则||r OP ==
=，
所以sin α==cos α==；4tan 41α==--.19. 已知1sin cos 5θθ+=
，(0,)θπ∈，求下列各式的值．（1）sin cos θθ⋅；
（2）sin cos θθ-．
【答案】（1）1225-
；（2）75
．【解析】【分析】（1）由1sin cos ,(0,)5
θθθπ+=∈，利用三角函数的基本关系式，即可求解；（2）由（1）知sin cos 0θθ⋅<，得出可得sin θcos θ0->，结合三角函数的基本关系式，即可求解.
【详解】（1）由题意知1sin cos ,(0,)5
θθθπ+=∈，可得21(sin cos )12sin cos 25θθθθ+=+⋅=
，解得12sin cos 25θθ⋅=-．（2）由（1）知12sin cos 025
θθ⋅=-
<，所以sin 0,cos 0θθ><，可得sin θcos θ0->，
所以sin cos θθ-=
=
=75
=．20. 已知函数3sin cos tan()22()cos()sin(3)
x x x f x x x πππππ⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+-，且1()3f α=.（1）求2sin cos sin 2cos αααα
-+的值；（2）求222sin sin cos cos αααα--的值.
【答案】（1）17-
；（2）-1.【解析】
【分析】（1）用诱导公式化简函数得()tan f x x =，已知条件为1tan 3
α=
，然后求值式利用弦化切法化为正切的函数，再求值；（2）由“1”的代换得2222
222sin sin cos cos 2sin sin cos cos sin cos αααααααααα----=+，然后分子分母同除以2cos αtan α的函数再代入求值．
【详解】（1）cos sin (tan )()tan cos sin x x x f x x x x -=
=- ∵1()3f α=，∴1tan 3
α= 2sin cos 2tan 1sin 2cos tan 2αααααα--=++121131723
⨯-==-+（2）2222
222sin sin cos cos 2sin sin cos cos sin cos αααααααααα----=+2
211212tan tan 19311tan 119ααα⨯----===-++．【点睛】本题考查诱导公式，考查同角间三角函数关系，齐次式求值问题．关于sin ,cos αα的齐次分式均可化为关于tan α的函数求值．
21. 已知定义在R 上的函数2()51
x f x m =-
+（1）判断并证明函数()f x 的单调性；的
（2）若()f x 是奇函数，求m 的值；
（3）若()f x 的值域为D ，且[3,1]D ⊆-，求m 的取值范围．
【答案】（1）见解析；
（2）1；
（3）[1,1]
-【解析】
【分析】（1）利用函数单调性的定义进行证明即可；
（2）利用函数奇偶性的定义求解即可；
（3）求出函数的值域，利用子集关系求解即可.
【小问1详解】
证明：设12x x <且12,x x R
∈则()()()()()121212122552251515151x x x x x x f x f x m m -⎛⎫-=---= ⎪++++⎝⎭121212510,510,550
x x x x x x <∴+>+>-< ()()120f x f x -<即()()
12f x f x <()f x 在R 上单调递增
【小问2详解】
()f x 是R 上的奇函数，
22()()05151
x x f x f x m m -+-=-+-=++即225202205151x x x m m ⎛⎫⨯-+=⇒-= ⎪++⎝⎭
1
m =【小问3详解】
由22500225151
x x x m m m >⇒<<⇒-<-<++(2,)D m m =-，[3,1]
D ⊆-23111m m m -≥-⎧⇒-≤≤⎨≤⎩m 的取值范围是[1,1]
-
22. 已知函数()1lg
1x f x x -=+.（1）求不等式()()()lg20f f x f +>的解集；
（2）函数()()30,1x g x a
a a =->≠，若存在[)12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）19,
311⎛⎫ ⎪⎝⎭
（2）()
3,+∞【解析】【分析】（1）求得()f x 的定义域和值域及函数的单调性，得
1111012
x x -<<+，解不等式即可得到所求范围；（2）求得当01x ≤<时，()f x 的值域；以及讨论1a >，01a <<时()g x 的值域，由题意可得()f x 和()g x 的值域存在交集，即可得到所求范围；
【小问1详解】由
101
x x ->+，可得11x -<<，故函数定义域为()1,1-，关于原点对称，又()()11lg lg 11x x f x f x x x +--==-=--+，即()f x 为奇函数.又()()1212lg lg lg 1111x x f x x x x -++-⎛⎫===-+ ⎪+++⎝⎭，函数211
y x =-++在()1,1-上单调递减，值域()0,∞+.由复合函数的单调性质知()f x 在()1,1-上单调递减，且()f x 的值域为R ，不等式()()()lg20f f x f +>，转化为()()()lg2f f x f >-，
因为()f x 为奇函数，所以()()()()lg2lg2f
f x f f >-=-，因为()f x 在()1,1-上单调递减，所以()1lg2f x -<<-，
即11lg lg21
x x --<<-+，即1111012x x -<<+，即111102x x x ++<-<，解得19311
x <<，为
则原不等式的解集为19,
311⎛⎫ ⎪⎝⎭
.【小问2详解】因为存在[)12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x =成立，所以[)0,1x ∈时，()f x 的值域与()g x 的值域有交集.
因为()2lg 11f x x ⎛⎫=-+ ⎪+⎝
⎭在[)0,1上是减函数，()01f =，所以()f x 的值域为(],0-∞，
当1a >时，()3x
g x a =-在[)0,1上单调递减，故()g x 的值域为(]3,2a -，所以30a -<即3a >，
当01a <<时，()3x
g x a =-在[)0,1上单调递增，故()g x 的值域为[)2,3a -，不符.综上所述，实数a 的取值范围为()3,+∞.。