高考复习高三期末三校(国光中学、德化一中、晋江一中)联考数学试卷(理)

2006届高三期末三校（国光中学、德化一中、晋江一中）联考数学试卷（理）
一、选择题：（每小题5分，共60分）
1、设i 为虚数单位，
3
1i
i -+的值为 （ ） A 、-1+i B 、-1-i C 、1+ i D 、1- i
2．22
132
lim 2
x x x x x →-+=+- （ ） A ．1
B
1
3
-
C 1- D
不存在
3．的值为则若其中已知向量x b a b a x x b x a ),2//()2(,0),1,(),2
1
,8(→→→→→→
+->==（ ）
A 、4
B 、8
C 、0
D 、2
4、直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++相切于点()1,3A ，则b 的值为 （ ） A 、3 B 、-3 C 、5 D 、-5
5、若不等式2ax b +<的解集为()1,2-，则实数a 等于（ ） A 、8 B 、2 C 、-4 D 、-8
6、设抛物线)0(2>=p px y 的准线为l ，将圆922=+y x 按向量)0,2(=平移后恰与l 相切，则p 的值 （ ）
A 、21
B 、2
C 、4
D 、41 C
7、如果以原点为圆心的圆经过双曲线
)0,0(12
22
2>>=-b a b y a x 的焦点，而且被该双
曲线的右准线分成弧长为2：1的两段圆弧，那么该双曲线的离心率e 等于
（ ） A ．5
B ．
2
5 C ．3 D ．2
8、已知椭圆22
12516
x y +=的焦点1F 、2F ，椭圆上一点p 有01260F PF ∠=，则12
PF F ∆的面积为 （ ）
A
、
3 B
、 C
、 D
、3
9
、棱长为 ） A 、3π B 、2π C 、π D 、2π
10、如果f(a+b)=f(a)•f(b)且f(1)=2，则
(2)(1)
f f +
(4)(3)f f +(6)(5)
f f +…+(2006)
(2005)f f 等于（ ）
A 、2005
B 、1002
C 、2006
D 、1003
11、如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，
并且总是保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是( ) A ．线段B 1
C B ．线段BC
1 C ．BB 1中点与CC 1中点连成的线段 D ．BC 中点与B 1C 1.
12、下面四个命题：
① “//a b 直线直线”的充要条件是“//a b 所在“平面”” ② “直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l α⊥平面” ③ “直线a 、b 为异面直线”的充分不必要条件是“a 、b 不相交”
④ “平面//α平面β”的必要不充分条件是“平面α内存在不等线三点到平面β的距离相等”
其中正确命题的序号是：（ ）
A 、①②
B 、②③
C 、③④
D 、②④ 二、填空题 (每小题4分，共16分)
13、已知向量OA =（k,12），OB =（4，5），OC =（－k,10），且A 、B 、C 三点共线，则k=______.
14、设实数,x y 满足约束条件0
21x x y x y ≥⎧⎪
≥⎨⎪-≤⎩
则32z x y =-的最大值
15．已知A (12-，0 )，B 是圆221
:()4(2
F x y F -+=为圆心）上一动点，线
段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为 ．
16、直线1:370l x y +-=，2:20l kx y --=与 x 轴，y 轴的正半轴围成的四边形有外接圆，则k=
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或
推演步骤。

已知}0log )(log {222<-=x x x A ，}012{22>-+-=a ax x x B ，且B A ⊆，
求实数a
18、已知点 A(2，0)，B(0，2)，C(cos α，sin α)，且0<α<π
(I) 若|OA ＋OC |
＝OB 与OC 的夹角； (II)若AC ⊥BC ，求tan α的值。

19、如图：在三棱锥P —ABC 中，AB BC ⊥ AB BC ==m,点O 、D 分别为AC 、PC 中点，OP 上底面ABC （1）求证：//OD 平面PAB
（2）当1
2
m =时，求直线PA 与平面PBC 所成角的大小
（3）当m 取何值时，O 在平面PBC 内的射影恰好为PBC ∆的重心。

20..、已知函数f(x)=ax 2+bx+1(a ，b ∈R)
O
D
A
B C
P
（1）若 f(－1)=0，且对任意实数x 均有f(x) ≥0成立，求f(x)表达式 （2）在（1）条件下，当x ∈[－2，2]时，S （x ）=xf(x)－kx 单调递增，求实数k 取值范围.
21、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，又有数列{b n }，它们满足关系b 1=a 1,对n ∈N +，有a n =n －S n , b n+1=a n+1－a n .
（1）求{b n }通项公式 （2）求lim n n a →∞
（3）若令C n =
1n
n
a a -,求满足C 1+C 2+…+C n <400的最大的正整数n. 22、已知定点R 的坐标为(0，－3)，点P 在x 轴上，PR ⊥PM ，线段PM 与y
轴交于点Q ，且满足QM ＝2PQ
(1) 若点P 在x 轴上运动，求点M 的轨迹E ；
(2) 求轨迹E 的倾斜角为4
π
的切线l 0的方程；
(3) 若(2)中切线l 0与y 轴交于点G ，过G 的直线l 与轨迹E 交于A 、B 两点，
点D 的坐标为 (0，1)，当∠ADB 为钝角时，求直线l 的斜率的取值范围。

参考答案：
一：ＢＢＡＡＣ ＣＤＡＡＣ ＡＤ 二：13、－
23 14、2 15、13
4
22=+y x 16、3 三： 17 （本小题满分12分）
解：由222(log )log 0x x -< 得 20log 1x << 即1<x<2
∴}21{<<=x x A ， 3分 由2
2
210x ax a -+-<得11x a x a >+<-或
∴}11{-<+>=a x a x x B 或 6分
2111,≥-≤+∴⊆a a B A 或 10分
30≥≤∴a a 或 12分
18、（12分）解：(I) ∵|OA OC +|
(2＋cos α)2＋sin 2α＝7 ∴cos α＝
12
又α∈(0，π) ∴α＝∠AOC ＝3
π 又∠AOB ＝
2π ∴OB 与OC 的夹角为6
π
5分 (II)AC ＝(cos α－2，sin α)，BC ＝(cos α, sin α－2) 又∵AC ⊥BC ∴AC ·BC ＝0
∴cos α＋sin α＝
1
2 …………………………① 8分 ∴2sin αcos α＝－34 ∵α∈(0，π) ∴α∈(2
π
，π)
又由 (cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝7
4
及cos α－sin α<0
是cos α－sin α
……………………② 10分 由①、②的cos α
sin α
∴tan α
12 19（12分）解：（1）∵O 、D 分别为AC 、PC 的中点，∴O D ∥PA 。

又PA ⊂平面PAB ，∴OD ∥平面PAB 。

4
分
（2）∵A B ⊥BC ，OA=OC ，∴OA=OB=OC ，又OP ⊥平面ABC ，
∴PA=PB=PC 。

取BC 中点E ，连结PE ，则BC ⊥平面POE 。

作OF ⊥PE 于F ，连结DF ，则OF ⊥平面PBC ，∴∠ODF 是OD 与平面PBC 所成的角。

又O D ∥PA ，∴PA 与平面PBC 所成的角的大小等于∠ODF 。

在直角⊿ODF 中，sin ∠ODF=
OF OD
=30
∴PA 与平面PBC 所成的角为
arcsin。

8分 （3） 由（2）知，OP ⊥平面ABC ，∴F 是O 在平面ABC 内的射影。

∵D 是PC 的中点，若点F 是⊿PBC 的重心，则B 、F 、D 三点共线，∴直线OB 在平面PBC 内的射影为直线BD 。

∵OB ⊥PC ，∴PC ⊥BD ， PB=PC ，即m=1.
反之，当m=1时，三棱锥O —PBC 为正三棱锥，∴O 在平面PBC 内的射影为⊿PBC 的重心。

12分
解法2：建立空间直角坐标系亦同样得分。

20（12分）解：（1）∵任意，x ∈R ，均有f(x)≥0,而f(－1)=0
∴a>0，且f(x)=a(x+1)2
从而ax 2+bx+1=a(x+1)2得：b=2a 且a=1
∴f(x)=x 2+2x+1 6
分
（2）依题意，当x ∈[－2，2]时，g(x)=x 3+2x 2+x －kx 为增函数
∴g(x)=3x 2+4x+1－k ≥0
即k ≤3(x+23)2－1
3
∵3（x+23）2－13≥－1
3在[－2，2]恒成立.
∴k ≤－1
3 12
分
21、（12分）（1）当n ≥2时，S n =n －a n ,S n —1=（n －1）－a n —1
∴a n =S n －S n —1=1+a n —1－a n 2 ∴2(a n －1)=a n —1－1 即
111n n a a ---=1
2
而a 1=1－S 1⇒a 1=12 4
∴数列{a n －1}是以a 1－1=－
12为首项，以1
2
为公比的等比数列 ∴11112n n a a --=+=1－12n ，从而b n+1=a n+1－a n =12n －112n +=1
2n 6 分
（2）lim n →∞a n =lim n →∞(1－1
2
n )=1 8 分
（3）C n =2n －1 ∴C 1+C 2+…+C n
=（2+22+…+2n ）－n
=2n+1－2－n 10
分
∴2n+1－2－n<400 故n=7 12
分
22、（１４分）解：(1) 设点M 的坐标为 (x, y)，点P 的坐标为 (x 1，0)，点Q 的坐标为
(0，y 2) (x 1≠0)，则PR ＝(－x 1，－3)，PM ＝(x －x 1，y)，PQ ＝(－x 1，y 2) ∵PR ⊥PM ∴PR ·PM ＝0 ∴－x 1(x －x 1)－3y ＝0
即x 12－x 1x －3y ＝0 由QM ＝2PQ 得PQ ＝
1
2
QM ∴x 1＝－2x 代入上式的y ＝1
4
x 2 (x ≠0) 6分
(2) 设切点为 (x 0, y 0) ∵y 1＝12x ∴切线l 0＝12x 0＝tan 4
π
＝1
∴x 0＝2 切点为 (2，1) ∴切线l 0的方程为x －y －1＝0 8分 (3) ∵l 0的切线方程为x －y －1＝0 ∴G (0, －1)
设l 的斜率为k ∴l 的方程为y ＝kx －1
由2114
y kx y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩的x 2－4k π＋4＝0…………①
设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1, x 2是方程①的两根
∴△＝16k 2－16 >0 ∴k 2>1 10分
∵∠ADB 为钝角 ∴0
||||1
DA DB DA DB ⎧⋅<⎪⎨⋅≠-⎪⎩
而|DA |＝(x 1；y 1－1)，DB ＝(x 2, y 2－1)
∴x 1·x 2＋(y 1－1) (y 2－1)<0 ∴x 1x 2＋(k x 1－2) (kx 2－2) <0
∴x 1x 2＋k 2 x 1x 2－2k(x 1＋x 2)＋4<0即k 2－2>0 ∴k<
14分
沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。

望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。

山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。

须晴日，看红装素裹，分外妖娆。

江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。

惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。

一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。

俱往矣，数风流人物，还看今朝。