2017_2018学年高考数学大题精做04解三角形的实际应用含解析文新人教A版

精做04 解三角形的实际应用
1．如图，港口A 北偏东30°方向的C 处有一检查站，港口正东方向的B 处有一轮船，距离检查站31海里，该轮船从B 处沿正西方向航行20海里后到达D 处观测站，已知观测站与检查站距离21海里，问此时轮船离港口A 还有多远？
【答案】15海里.
代入并计算得15=AD ，即此时轮船距港口A 还有15海里．
2．如图，一山顶有一信号塔CD （CD 所在的直线与地平面垂直），在山脚A 处测得塔尖C 的仰角为α，沿倾斜角为的山坡向上前进米后到达B 处，测得C 的仰角为β.
A
E D
C
B
α
βθ
（1）求BC 的长；
（2）若24,45,75,30l αβθ====，求信号塔CD 的高度.
【答案】（1）
sin()
sin()
l --αθβα；
（2）2483-.
【名师点睛】解三角形应用题的一般步骤：（1）读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系．（2）根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型．（3）选择正弦定理或余弦定理求解．（4）将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．
3．如图，有一段河流，河的一侧是以O 为圆心，半径为103米的扇形区域OCD ，河的另一侧是一段笔直的河岸l ，岸边有一烟囱AB （不计B 离河岸的距离），且OB 的连线恰好与河岸l 垂直，设OB 与圆弧CD 的交点为E ．经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点
C ，点O 和点E 处测得烟囱AB 的仰角分别为45︒，30︒和60︒．
（1）求烟囱AB 的高度；
（2）如果要在CE 间修一条直路，求CE 的长． 【答案】（1）15米；（2）10米．
答：CE 的长为10米．
4．如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A ，B 之间的距离，他在西江南岸找到一个点C ，从C 点可以观察到点A ，B ；找到一个点D ，从D 点可以观察到点A ，C ；找到一个点E ，从E 点可以观察到点B ，C .并测量得到数据：90ACD ∠=，60ADC ∠=，
30ACB ∠=，105BCE ∠=，
45,CEB ∠=DC =CE =2（百米）
．
（1）求CDE △的面积； （2）求A ，B 之间的距离．
【答案】（1）2平方百米；（2）2532-百米.
【解析】（1）连接DE ，在CDE △中，=3609030105=135DCE ∠---，
则112
sin 222222
CDE S DC CE DCE =
⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△（平方百米）.
则235221220-=-=
AB （百米）.
5．为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，如图所示，,,A B C 三地位于同一水平面上，这种仪器在C 地进行弹射实验，观测点,A B 两地相距100米，60BAC ∠=，在A 地听到弹射
声音的时间比B 地晚
2
17
秒，在A 地测得该仪器至最高点H 处的仰角为30.
（1）求,A C 两地的距离；
（2）求这种仪器的垂直弹射高度HC （已知声音的传播速度为340米/秒）. 【答案】（1）420米；（2）1403米． 【解析】（1）设BC x =，由条件可知2
3404017
AC x x =+
⨯=+， 在△ABC 中，由余弦定理，可得222
2cos BC AB AC AB AC BAC =+-⨯∠，
即222
1
100(40)2100(40)2
x x x =++-⨯⨯+⨯
，解得380x =. 所以38040420AC =+=（米）. 故,A C 两地的距离为420米．
（2）在ACH △中，420AC =米，30,903060HAC AHC ∠=︒∠=︒-︒=︒，
由正弦定理，可得
sin sin AC HC AHC HAC =∠∠，即420sin 60sin 30HC
=︒︒，
所以14202140332
HC ⨯
==（米）， 故这种仪器的垂直弹射高度为1403米．
6．海岛B 上有一座高为10米的塔，塔顶的一个观测站A ，上午11时测得一游船位于岛北偏东15°方向上，且俯角为30°的C 处，一分钟后测得该游船位于岛北偏西75°方向上，且俯角45°的D 处（假设游船匀速行驶）.
（1）求该船行驶的速度（单位：米/分钟）；
（2）又经过一段时间后，游船到达海岛B 的正西方向E 处，问此时游船距离海岛B 多远. 【答案】（1）20米/分钟；（2）65米.
故又经过一段时间后，游船到达海岛B 的正西方向E 处，此时游船距离海岛65米. 7．如图，某城市有一条公路从正西方AO 通过市中心O 后转向东偏北α角方向的OB ．位于该市的某大学M 与市中心O 的距离313km OM =，且AOM ∠=β．现要修筑一条铁
路L ，L 在OA 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在AB 部分为直线段，且经过大学M ．其中tan 2=α，3
cos 13
=
β，15km AO =．
（1）求大学M 与站A 的距离AM ； （2）求铁路AB 段的长．
【答案】（1）62km ;（2）302km .
【解析】（1）在AOM △中，15AO =，AOM β∠=且3
cos 13
=
β
，313OM =， 由余弦定理得，2222cos AM OA OM OA OM AOM =+-⋅⋅∠
223(313)1523131513
=+-⨯⨯⨯ 139151523153
72.
=⨯+⨯-⨯⨯⨯=
62AM ∴=，即大学M 与站A 的距离AM 为62km ；
（2）3
cos 13
=
β，且β为锐角， 2
sin 13
∴=
β， 在AOM △中，由正弦定理得，sin sin AM OM MAO
=∠β,即623132sin 13
MAO =∠，
2sin 2
MAO ∴∠=， π4MAO ∴∠=
，π
4
ABO ∴∠=-α， tan 2=α，
2sin 5∴=
α，1cos 5
=α， π1
sin sin()410
ABO ∴∠=-=α，
又πAOB ∠=-α，
2
sin sin(π)5
AOB ∴∠=-=
α， 在AOB △中，15AO =，由正弦定理得，sin sin AB AO
AOB ABO
=∠∠，即15
2
1510AB =， 302AB ∴=，即铁路AB 段的长为302km ．
8．如图所示，PAQ ∠是某海湾旅游区的一角，其中120PAQ ∠=，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸AP 和AQ 上分别修建观光长廊AB 和AC ，其中AB 是宽长廊，造价是800元/米，AC 是窄长廊，造价是400元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段BC 上靠近点B 的三等分点D 处建一个观光平台，并建水上直线通道AD （平台大小忽略不计）
，水上通道的造价是1000元/米．
（1）若规划在三角形ABC 区域内开发水上游乐项目，要求ABC △的面积最大，那么AB 和AC 的长度分别为多少米？
（2）在（1）的条件下，建直线通道AD 还需要多少钱？
【答案】（1）AB 和AC 的长度分别为750米和1500米;（2）50万元.
（2）解法一：在（1）的条件下，750m,1500m AB AC ==．
由2133AD AB AC =+得2
22133AD AB AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
22441999AB AB AC AC =+⋅+
224411
750750150015009929
⎛⎫=⨯+⨯⨯⨯-+⨯ ⎪⎝⎭ 250000=. 所以500AD =，
所以1000500500000⨯=元，即建水上通道AD 还需要50万元． 解法二：在ABC △中，222cos120BC AB AC AB AC =
+-⋅
22750150027501500cos120=+-⨯⨯7507=.
在ABC △中，2
2
2
cos 2AB BC AC B AB BC +-=⋅()
2
2
27507507150027507507
+-=
⨯⨯277=.
所以()
250,2503D . 所以()
()
2
2
250025030
AD =
-+- 500=.
所以1000500500000⨯=元，即建水上通道AD 还需要50万元．
9．（2014·上海卷理）如图，某公司要在A B 、两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米.设点A B 、在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为βα和.
（1）设计中CD 是铅垂方向，若要求βα2≥，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？
（2）施工完成后，CD 与铅垂方向有偏差.现在实测得，，
45.1812.38==βα求CD 的长（结果精确到0.01米）.
【答案】（1）28.28米；（2）26.93米．
【解析】（1）∵2αβ≥，且022βαπ<≤<， tan tan 20αβ∴≥>，即2400
3516400
CD
CD CD ≥>-，
10．（2013·江苏卷）如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从
A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到
B ，然后从B 沿直线步行到
C .
现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min ，在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝
1213，cos C ＝35
. （1）求索道AB 的长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
【答案】（1）1 040 m ；（2）3537；（3）1250625,4314⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. 【解析】（1）在ABC △中，因为cos A =
1213，cos C =35， 所以sin A =513，sin C =45
. 从而sin B =sin[π－(A ＋C )]=sin(A ＋C )=sin A cos C ＋cos A sin C =
531246313513565⨯+⨯=. 由正弦定理sin sin AB AC C B =，得12604sin =1040(m)63sin 565
AC AB C B =⨯=⨯． 所以索道AB 的长为1 040 m.
设乙步行的速度为v m/min ，
由题意得5007103350v -≤-≤，解得12506254314
v ≤≤， 所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在1250625,4314⎡⎤⎢⎥⎣⎦
(单位：m/min)范围内．。