两条直线的位置关系、对称问题

2．过两直线A1x＋B1y＋C1＝0(A21 ＋B 21≠0)，A2x＋B2y＋C2＝ 0(A22＋B 22≠0)的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋ λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(但不包含直线A2x＋B2y＋C2＝0)．
3．注意两直线形成的角中，到角与夹角的区别与联系， 当斜率不存在时，不能用公式求解，而要考虑数形结 合来求．
1.掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所 成的角和点到直线的距离公式．
2.能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．
1．两条直线的位置关系
方程
相交 垂直
斜截式
y＝k1x＋b1 y＝k2x＋b2
k1≠k2 k1k2＝－1
一般式
A1x＋B1y＋C1＝0 A2x＋B2y＋C2＝0
A1B2－A2B1≠0 A2＋B1B2＝0
k≠3，k≠4时，要使l1∥l2，应有
⇒k＝5.
综上所述k＝3或5.
[答案] C
本例中，若l1⊥l2，则k的值又是什么？
解：法一：由例题知，若l1⊥l2，则 －1，
·(k－3)＝
解得k＝
法二：∵l1⊥l2，∴2(k－3)(k－3)－2(4－k)＝0. 解得k＝
1.求两直线A1x＋B1y＋C1＝0(A 21＋B 21≠0)，A2x＋B2y＋C2＝ 0(A 22＋B 22≠0)的交点就是解方程组
2．两条直线的到角与夹角
3．距离公式
[思考探究2] 如何求点P(x0，y0)到直线x＝a和y＝b的距离？ 提示：点P(x0，y0)到直线x＝a和y＝b的距离分别是 |x0－a|和|y0－b|.
1．已知两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则
a等于
()
A．2
B．1
C．0
D．－1
解析：由题知(a＋2)a＝－1⇒a2＋2a＋1＝(a＋1)2＝0， ∴a＝－1.也可以代入检验．
答案：D
2．已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则
a等于
()
A．
B．2-
C． -1
D． +1
解析：由题意知
＝1，又a>0，∴a＝ －1.
答案：C
3．直线y＝3与直线x＋y－3＝0的夹角是
A．
B．
()
C．
D．
解析：设直线y＝3的斜率为k1，直线x＋y－3＝0的
斜率为k2，夹角为α，则tanα＝
斜截式
平行
k1＝k2且b1≠b2
一般式1－B2 ＝A2－A1＝0
[思考探究1] 两条直线l1、l2垂直的充要条件是斜率之积为－1吗？ 提示：当两条直线的斜率都存在时，其斜率之积为－1； 当两条直线的斜率不都存在时，则两条直线垂直，推不 出其斜率之积为－1.
1.中心对称 (1)若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标
公式得 (2)直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两
点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点 坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点， 再利用l1∥l2，由点斜式得到所求直线方程．
2．轴对称 (1)点关于直线的对称
2．两条直线垂直的判定方法 (1)若两条直线的斜率都存在，则它们垂直的条件是斜率
之积为－1. (2)若一条直线的斜率为0，另一条直线斜率不存在，则这
两条直线垂直． (3)若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，
直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)， 则l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
(2009·上海高考)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)
y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是 ( )
A．1或3
B．1或5
C．3或5
D．1或2
[思路点拨]
[课堂笔记] k＝3时，l1：y＋1＝0，l2：－2y＋3＝0显然平 行；
k＝4时，l1：x＋1＝0，l2：2x－2y＋3＝0，显然不平行；
解析：kAB= ∴|AB|=
=b-a=1,
答案：
1.两条直线平行的判定方法 (1)若两条直线斜率都存在时，要使直线平行只需斜率相等，
且在y轴上的截距不相等． (2)若两条直线斜率都不存在，则两条直线平行或重合． (3)若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1、B1不全为0)，
直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)， 则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)．
求直线l1：y＝2x＋3关于直线l：y＝x＋1对称的 直线l2的方程． [思路点拨]
已知一条直线l被两条平行直线l1：3x＋4y－7＝0和 l2：3x＋4y＋8＝0所截得的线段长为 ，且已知直线l经过 点P(2,3)，求直线l的方程． [思路点拨]
[课堂笔记] 若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x ＝2，此时l与直线l1，l2的交点分别为A(2， )，B(2， － )，且|AB|＝ 与已知相符，∴x＝2为所求直线． 若直线l的斜率存在，设直线方程为：y－3＝k(x－2)， 即kx－y＋3－2k＝0.
若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝ 0对称，则线段P1P2的中点在对称轴l上，而且连接P1P2 的直线垂直于对称轴l，由方程组
可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0， x1≠x2)．
(2)直线关于直线的对称 此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两 种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线 与对称轴平行．
＝1.
∴α＝ .
答案：A
4．直线l1的倾斜角为60°，直线l2⊥l1，则直线l2的斜率k2＝ ________. 解析：由斜率定义，直线l1的斜率k1＝tan60°＝ ∵l2⊥l1，∴k1k2＝－1，∴k2＝
答案：－
5．过点A(4，a)和B(5，b)的直线与直线y＝x＋m平行，则
|AB|的值为________．
∵两条平行直线l1，l2间的距离d＝
＝3，直线l被l1，
l2截得的线段长为 ，∴l与l1夹角α的正弦值sinα＝ ＝
，则cosα＝ ，∴tanα＝ ＝|
|，解得k＝
∴当k＝ 时，l的方程为y－3＝ (x－2)，即7x－24y＋58
＝0.综上可知，所求直线l的方程为：x＝2或7x－24y＋58＝0.