人教A版高中数学选修4-1 第一讲 四 直角三角形的射影定理 课件(共16张PPT)最新课件
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BDC BCA.
BD BC .即B C 2 BD • AB.(2) A BC AB
同理：CDA BCA.(3) AC 2 AD • AB.
C DB
由(1)(2)(3)反应出直角三角形两直角边在斜 边上的射影与其他线段之间的关系.
知识要 点
射影定理：
直角三角形斜边上的高是两直角边在 斜边上射影的比例中项；两直角边分别是 它们在斜边上射影与斜边的比例中项.
思考
C
A
DB
找出上图中相似三角 形的个数？
研讨
考察Rt△ACD和Rt △CBD.
ACD 90 BCD,B 90 BCD,
B ACD.
ACD CBD.
A
AD CD .即C D 2 AD BD.(1)
CD BD
CD是AD、BD的比例中项.
C DB
考察Rt△BDC和Rt △BCA. B是公共角.
课堂小结
射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上 射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边 上射影与斜边的比例中项.
很重要！
随堂练习
1.已知：Rt△ABC,CD是斜边AB上的高， CD=4,BD=2,
求:AD、AB、AC、BC.
A
解： 根据射影定理：CD2=AD·BD
∴AD=16÷2=8. ∴AB=AD+BD=10.
新课导入
阳光照射下，物体都有影子！
观察
A
M
A′
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
N
A在MN的射影在哪？
探讨
B
A
思
M
N
考
线段AB在直线MN上的射影又是什么呢？
教学目标
知识与能力
1．掌握直角三角形的射影定理. 2．能够利用射影定理求解线段的长.
过程与方法
1．通过日常生活的射影例子，体会并掌握射影 定理的定义.
2．培养化归思想，从特殊到一般，再到特殊.
情感态度与价值观
1．通过直角三角形的射影定理，体会并推 出一般三角形的射影性质.
2．通过课堂学习培养敢于结合以前所学知 识，推导出新的知识或性质，有利于深刻理解.
教学重难点
重点
直角三角形的射影定理.
难点
灵活应用直角三角形的射影定理并能证明.
研讨
A
B
A
M
A′
N M A′
B′ N
A ′是点A在MN上的正射影，A ′ B ′是线段AB 在MN上的正射影.
CE CB
CF CA
A
又∵∠C是公共角；
根据角边角得： △CEF∽△CBA .
F
DＢ
∵AC2=AD·AB. ∴AC=4 .
5
同理BC2=BD·AB. ∴AC=2 5.
C DB
2. 如图，在△ABC中，CD⊥AB于D,DE⊥AC于E
，DF⊥BC于F.
求证：△CEF∽△CBA .
C
证明: 根据直角三角形的射影定理：
CD2=CE·CA;
E
CD2=CF·CB;
∴CE·CA=CF·CB
即：
BD BC .即B C 2 BD • AB.(2) A BC AB
同理：CDA BCA.(3) AC 2 AD • AB.
C DB
由(1)(2)(3)反应出直角三角形两直角边在斜 边上的射影与其他线段之间的关系.
知识要 点
射影定理：
直角三角形斜边上的高是两直角边在 斜边上射影的比例中项；两直角边分别是 它们在斜边上射影与斜边的比例中项.
思考
C
A
DB
找出上图中相似三角 形的个数？
研讨
考察Rt△ACD和Rt △CBD.
ACD 90 BCD,B 90 BCD,
B ACD.
ACD CBD.
A
AD CD .即C D 2 AD BD.(1)
CD BD
CD是AD、BD的比例中项.
C DB
考察Rt△BDC和Rt △BCA. B是公共角.
课堂小结
射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上 射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边 上射影与斜边的比例中项.
很重要！
随堂练习
1.已知：Rt△ABC,CD是斜边AB上的高， CD=4,BD=2,
求:AD、AB、AC、BC.
A
解： 根据射影定理：CD2=AD·BD
∴AD=16÷2=8. ∴AB=AD+BD=10.
新课导入
阳光照射下，物体都有影子！
观察
A
M
A′
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
N
A在MN的射影在哪？
探讨
B
A
思
M
N
考
线段AB在直线MN上的射影又是什么呢？
教学目标
知识与能力
1．掌握直角三角形的射影定理. 2．能够利用射影定理求解线段的长.
过程与方法
1．通过日常生活的射影例子，体会并掌握射影 定理的定义.
2．培养化归思想，从特殊到一般，再到特殊.
情感态度与价值观
1．通过直角三角形的射影定理，体会并推 出一般三角形的射影性质.
2．通过课堂学习培养敢于结合以前所学知 识，推导出新的知识或性质，有利于深刻理解.
教学重难点
重点
直角三角形的射影定理.
难点
灵活应用直角三角形的射影定理并能证明.
研讨
A
B
A
M
A′
N M A′
B′ N
A ′是点A在MN上的正射影，A ′ B ′是线段AB 在MN上的正射影.
CE CB
CF CA
A
又∵∠C是公共角；
根据角边角得： △CEF∽△CBA .
F
DＢ
∵AC2=AD·AB. ∴AC=4 .
5
同理BC2=BD·AB. ∴AC=2 5.
C DB
2. 如图，在△ABC中，CD⊥AB于D,DE⊥AC于E
，DF⊥BC于F.
求证：△CEF∽△CBA .
C
证明: 根据直角三角形的射影定理：
CD2=CE·CA;
E
CD2=CF·CB;
∴CE·CA=CF·CB
即：