长沙县第一高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

长沙县第一高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学班级__________ 姓名__________ 分数__________ 一、选择题
1．与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是（）
A．（，1，1）B．（﹣1，﹣3，2）C．（﹣，，﹣1）D．（，﹣3，﹣2）
2．在数列{a n}中，a1=3，a n+1a n+2=2a n+1+2a n（n∈N+），则该数列的前2015项的和是（）
A．7049 B．7052 C．14098 D．14101
3．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）
A．y=|x|（x∈R） B．y=（x≠0）C．y=x（x∈R）D．y=﹣x3（x∈R）
4．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入的整数i的最大值为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为线段A1B上的动点，则下列结论正确的有（）①三棱锥M﹣DCC1的体积为定值②DC1⊥D1M
③∠AMD1的最大值为90°④AM+MD1的最小值为2．
A．①②B．①②③ C．③④D．②③④
6．设函数f（x）满足f（x+π）=f（x）+cosx，当0≤x≤π时，f（x）=0，则f（）=（）
A．B．C．0 D．﹣
7．给出下列结论：①平行于同一条直线的两条直线平行；②平行于同一条直线的两个平面平行；
③平行于同一个平面的两条直线平行；④平行于同一个平面的两个平面平行．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．
16
16
3
π-B．
32
16
3
π-C．
16
8
3
π-D．
32
8
3
π-
【命题意图】本题考查三视图、圆柱与棱锥的体积计算，意在考查识图能力、转化能力、空间想象能力．9．设函数f（x）的定义域为A，若存在非零实数l使得对于任意x∈I（I⊆A），有x+l∈A，且f（x+l）≥f（x），则称f（x）为I上的l高调函数，如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣a2|﹣a2，且函数f（x）为R上的1高调函数，那么实数a的取值范围为（）
A．0＜a＜1 B．﹣≤a≤C．﹣1≤a≤1 D．﹣2≤a≤2
10．数列{a n}满足a1=，=﹣1（n∈N*），则a10=（）
A．B．C．D．
11．已知直线34110
m x y
+-=
：与圆22
(2)4
C x y
-+=
：交于A B
、两点，P为直线3
440
n x y
++=
：上任意一点，则PAB
∆的面积为（）
A．23 B.
3
3
2
C. 33
D. 43
12．下列正方体或四面体中，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图形是
（）
二、填空题
13．若x、y满足约束条件
⎩⎪
⎨
⎪⎧x－2y＋1≤0
2x－y＋2≥0
x＋y－2≤0
，z＝3x＋y＋m的最小值为1，则m＝________．
14．若关于x，y的不等式组（k是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，则
k=．
15．对于函数(),,
y f x x R
=∈,“|()|
y f x
=的图象关于y轴对称”是“()
y f x
=是奇函数”
的▲条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）16．当0,1
x∈（）时，函数()e1
x
f x=-的图象不在函数2
()
g x x ax
=-的下方，则实数a的取值范围是___________．
【命题意图】本题考查函数图象间的关系、利用导数研究函数的单调性，意在考查等价转化能力、逻辑思维能力、运算求解能力．
17．已知两个单位向量,a b满足：
1
2
a b
∙=-，向量2a b
-与的夹角为，则cosθ=.
18．设向量a＝（1，－1），b＝（0，t），若（2a＋b）·a＝2，则t＝________．
三、解答题
19．设函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）为奇函数，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣6y﹣7=0垂直，导函数
f′（x）的最小值为﹣12．
（1）求a，b，c的值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）在[﹣1，3]上的最大值和最小值．
20．已知矩阵M=的一个属于特质值3的特征向量=，正方形区域OABC在矩阵N应对的变换作
用下得到矩形区域OA′B′C′，如图所示．
（1）求矩阵M；
（2）求矩阵N及矩阵（MN）﹣1．
21．在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥AC．
（Ⅰ）求证：AB⊥SC；
（Ⅱ）设D，F分别是AC，SA的中点，点G是△ABD的重心，求证：FG∥平面SBC；
（Ⅲ）若SA=AB=2，AC=4，求二面角A﹣FD﹣G的余弦值．
22．（本小题12分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，
5313a b +=.111]
（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n
n
a b 的前项和n S .
23．已知{}{}
22
,1,3,3,31,1A a a B a a a =+-=--+,若{}3A
B =-，求实数的值.
24．已知=（sinx，cosx），=（sinx，sinx），设函数f（x）=﹣．（1）写出函数f（x）的周期，并求函数f（x）的单调递增区间；
（2）求f（x）在区间[π，]上的最大值和最小值．
长沙县第一高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：对于C中的向量：（﹣，，﹣1）=﹣（1，﹣3，2）=﹣，
因此与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是．
故选：C．
【点评】本题考查了向量共线定理的应用，属于基础题．
2．【答案】B
【解析】解：∵a n+1a n+2=2a n+1+2a n（n∈N+），∴（a n+1﹣2）（a n﹣2）=2，当n≥2时，（a n﹣2）（a n﹣1﹣2）=2，
∴，可得a n+1=a n﹣1，
因此数列{a n}是周期为2的周期数列．
a1=3，∴3a2+2=2a2+2×3，解得a2=4，
∴S2015=1007（3+4）+3=7052．
【点评】本题考查了数列的周期性，考查了计算能力，属于中档题．
3．【答案】D
【解析】解：y=|x|（x∈R）是偶函数，不满足条件，
y=（x≠0）是奇函数，在定义域上不是单调函数，不满足条件，
y=x（x∈R）是奇函数，在定义域上是增函数，不满足条件，
y=﹣x3（x∈R）奇函数，在定义域上是减函数，满足条件，
故选：D
4．【答案】B
【解析】解：模拟执行程序框图，可得
s=0，n=0
满足条件n＜i，s=2，n=1
满足条件n＜i，s=5，n=2
满足条件n＜i，s=10，n=3
满足条件n＜i，s=19，n=4
满足条件n＜i，s=36，n=5
所以，若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入的整数i的最大值为4，
有n=4时，不满足条件n＜i，退出循环，输出s的值为19．
故选：B．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．
5．【答案】A
【解析】解：①∵A1B∥平面DCC1D1，∴线段A1B上的点M到平面DCC1D1的距离都为1，又△DCC1的面积
为定值，因此三棱锥M﹣DCC1的体积V==为定值，故①正确．
②∵A1D1⊥DC1，A1B⊥DC1，∴DC1⊥面A1BCD1，D1P⊂面A1BCD1，∴DC1⊥D1P，故②正确．
③当0＜A1P＜时，在△AD1M中，利用余弦定理可得∠APD1为钝角，∴故③不正确；
④将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形，线段AD1即为AP+PD1的最小值，
在△D1A1A中，∠D1A1A=135°，利用余弦定理解三角形得AD1==＜2，故④不正确．
因此只有①②正确．
故选：A．
6．【答案】D
【解析】解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+cosx，
当0≤x＜π时，f（x）=1，
∴f（）=f（）=f（）+cos=f（）+cos+cos=f（）+cos+cos=f
（）+cos+cos=f（）+cos+cos+cos=0+cos﹣cos+cos=﹣．
故选：D．
【点评】本题考查抽象函数以及函数值的求法，诱导公式的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
7．【答案】B
【解析】
考
点：空间直线与平面的位置关系．
【方法点晴】本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系的判定与证明，其中解答中涉及到直线与直线平行的判定与性质、直线与平面平行的判定与性质的应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中熟记直线与直线平行和直线与平面平行的判定与性质是解答的关键．
8． 【答案】D
【解析】由三视图知几何体为一个底面半径为2高为4的半圆柱中挖去一个以轴截面为底面高为2的四棱锥，因此该几何体的体积为21132
244428233
V =
π⨯⨯-⨯⨯⨯=π-，故选D ． 9． 【答案】 B
【解析】解：定义域为R 的函数f （x ）是奇函数， 当x ≥0时，
f （x ）=|x ﹣a 2|﹣a 2=
图象如图，
∵f （x ）为R 上的1高调函数，当x ＜0时，函数的最大值为a 2
，要满足f （x+l ）≥f （x ），
1大于等于区间长度3a 2﹣（﹣a 2），
∴1≥3a 2﹣（﹣a 2
），
∴﹣≤a ≤ 故选B
【点评】考查学生的阅读能力，应用知识分析解决问题的能力，考查数形结合的能力，用图解决问题的能力，属中档题．
10．【答案】C
【解析】解：∵ =﹣1（n ∈N *
），
∴﹣
=﹣1，
∴数列是等差数列，首项为
=﹣2，公差为﹣1．
∴=﹣2﹣（n ﹣1）=﹣n ﹣1，
∴a n =1﹣=
．
∴a 10=
． 故选：C ．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
11．【答案】 C
【解析】解析：本题考查圆的弦长的计算与点到直线、两平行线的距离的计算.
圆心C 到直线m 的距离1d =，||AB ==m n 、之间的距离为3d '=，∴PAB ∆
的面积为
1
||2
AB d '⋅=，选C ．
12．【答案】D
【解析】
考点：平面的基本公理与推论．
二、填空题
13．【答案】
【解析】解析：可行域如图，当直线y＝－3x＋z＋m与直线y＝－3x平行，且在y轴上的截距最小时，z才能取最小值，此时l经过直线2x－y＋2＝0与x－2y＋1＝0的交点A（－1，0），z min＝3×（－1）＋0＋m＝－3＋m＝1，
∴m＝4.
答案：4
14．【答案】﹣1或0．
【解析】解：满足约束条件的可行域如下图阴影部分所示：
kx ﹣y+1≥0表示地（0，1）点的直线kx ﹣y+1=0下方的所有点（包括直线上的点）
由关于x ，y 的不等式组
（k 是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，
可得直线kx ﹣y+1=0与y 轴垂直，此时k=0或直线kx ﹣y+1=0与y=x 垂直，此时k=﹣1 综上k=﹣1或0 故答案为：﹣1或0
【点评】本题考查的知识点是二元一次不等式（组）与平面区域，其中根据已知分析出直线kx ﹣y+1=0与y 轴垂直或与y=x 垂直，是解答的关键．
15．【答案】必要而不充分 【解析】
试题分析：充分性不成立，如2y x =图象关于y 轴对称，但不是奇函数；必要性成立，()y f x =是奇函数，
|()||()||()|f x f x f x -=-=，所以|()|y f x =的图象关于y 轴对称.
考点：充要关系
【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．
1.定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．
2.等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3.集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 16．【答案】[2e,)-+∞
【解析】由题意，知当0,1x ∈（）时，不等式2
e 1x
x ax -≥-，即21e x x a x +-≥恒成立．令()21e x
x h x x
+-=，
()()()
2
11e 'x x x h x x
-+-=
．令()1e x k x x =+-，()'1e x k x =-．∵()0,1x ∈，∴()'1e 0,x k x =-<∴()
k x 在()0,1x ∈为递减，∴()()00k x k <=，∴()()()
2
11e '0x x x h x x
-+-=
>，∴()h x 在()0,1x ∈为递增，∴
()()12e h x h <=-，则2e a ≥-．
17．【答案】 【解析】
考点：向量的夹角．
【名师点睛】平面向量数量积的类型及求法 （1）
求平面向量的数量积有三种方法：一是定义cos a b a b θ⋅=；二是坐标运算公式1212a b x x y y ⋅=+；
三是利用数量积的几何意义．
（2）求较复杂的平面向量的数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相减公式进行化简 18．【答案】
【解析】（2a ＋b ）·a ＝（2，－2＋t ）·（1，－1） ＝2×1＋（－2＋t ）·（－1） ＝4－t ＝2，∴t ＝2. 答案：2
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）∵f （x ）为奇函数，
∴f （﹣x ）=﹣f （x ），即﹣ax 3﹣bx+c=﹣ax 3
﹣bx ﹣c ，∴c=0． ∵f ′（x ）=3ax 2
+b 的最小值为﹣12，∴b=﹣12．
又直线x ﹣6y ﹣7=0的斜率为，则f ′（1）=3a+b=﹣6，得a=2， ∴a=2，b=﹣12，c=0；
（2）由（1）知f （x ）=2x 3﹣12x ，∴f ′（x ）=6x 2
﹣12=6（x+
）（x ﹣），
，
）
∵f（﹣1）=10，f（）=﹣8，f（3）=18，
∴f（x）在[﹣1，3]上的最大值是f（3）=18，最小值是f（）=﹣8．
20．【答案】
【解析】解：（1）根据题意，可得，
故，解得
所以矩阵M=；
（2）矩阵N所对应的变换为，
故N=，
MN=．
∵det（MN）=，
∴
=．
【点评】本题考查矩阵与变换、矩阵的特征值、特征向量等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程的思想．
21．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：∵SA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，
∴SA ⊥AB ，又AB ⊥AC ，SA ∩AC=A ， ∴AB ⊥平面SAC ，
又AS ⊂平面SAC ，∴AB ⊥SC ．
（Ⅱ）证明：取BD 中点H ，AB 中点M ， 连结AH ，DM ，GF ，FM ， ∵D ，F 分别是AC ，SA 的中点， 点G 是△ABD 的重心，
∴AH 过点G ，DM 过点G ，且AG=2GH ， 由三角形中位线定理得FD ∥SC ，FM ∥SB ， ∵FM ∩FD=F ，∴平面FMD ∥平面SBC ， ∵FG ⊂平面FMD ，∴FG ∥平面SBC ．
（Ⅲ）解：以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AS 为z 轴，建立空间直角坐标系， ∵SA=AB=2，AC=4，∴B （2，0，0），D （0，2，0），H （1，1，0），
A （0，0，0），G （，，0），F （0，0，1），
=（0，2，﹣1），
=（
），
设平面FDG 的法向量=（x ，y ，z ），
则
，取y=1，得=（2，1，2），
又平面AFD 的法向量=（1，0，0），
cos ＜，＞=
=．
∴二面角A ﹣FD ﹣G 的余弦值为．
【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，注意向量法的合理运用．
22．【答案】（1）2,2==q d ；（2）1
2
3
26-+-=n n n S . 【解析】
（2）
121
2--=n n n n b a ，………………6分 12212
1
223225231---+-++++=n n n n n S ，①
n
n n n n S 212232252321211321-+-++++=- .②……………8分
①-②得n n n n n S 2122222222212`1221--+++++=-- 231122222112
22222n n n
n S --=++++
-，…………10分
所以1
23
26-+-
=n n n S .………………12分 考点：等差数列的概念与通项公式，错位相减法求和，等比数列的概念与通项公式.
【方法点晴】本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式以及数列的求和，通过设}{n a 的公差为d ，}{n b 的公比为，根据等差数列和等比数列的通项公式，联立方程求得d 和，进而可得}{n a ，}{n b 的通项公式；（2）
数列}a {n
n
b 的通项公式由等差数列和等比数列对应项相乘构成，需用错位相减法求得前项和n S . 23．【答案】2
3
a =-．
【解析】
考点：集合的运算. 24．【答案】
【解析】解：（1）∵=（sinx ，cosx ），=（sinx ，sinx ），
∴f （x ）=﹣
=
sin 2x+sinxcosx ﹣=
（1﹣cos2x ）+sin2x ﹣
=﹣
cos2x+sin2x ﹣
=sin
（2x ﹣
），
∴函数的周期为T==π，
由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+（k∈Z）解得kπ﹣≤x≤kπ+，
∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）；
（2）由（1）知f（x）=sin（2x﹣），
当x∈[π，]时，2x﹣∈[，]，
∴﹣≤sin（2x﹣）≤1，
故f（x）在区间[π，]上的最大值和最小值分别为1和﹣．
【点评】本题考查向量的数量积的运算，三角函数的最值，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，考查计算能力，此类题目的解答，关键是基本的三角函数的性质的掌握熟练程度，属于中档题．。