6.2.4向量的数量积(两个课时)课件-高一下学期新教材高中数学必修第二册(人教A版)

学习目标
核心素养 1．通过平面向量的物理背景给出向
1．平面向量的数量积．(重点) 量数量积的概念和几何意义的学习，
2．投影向量的概念．(难点) 培养数学建模和数学抽象的核心素
3．向量的数量积与实数的乘法 养．
的区别．(易混点)
2．通过向量数量积的运算学习，提
升数学运算和数据分析的核心素养.
素养目标
学法指导
1．对于向量的学习，关键是用好类比，
1．理解平面向量的数量积的定 即类比数的运算以及类比物理中矢量的
义.(数学抽象)
运算.
2．了解投影向量的概念.(直观 2．物理中功的模型有助于我们更好地理
想象)
解向量的数量积运算.
3．了解向量的数量积与实数的 3．在研究向量的数量积运算时，类似于
乘法的区别.(数学运算)
3．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( )
A．4
B．3
C．2
D．0
4．已知|a|＝4，|b|＝3，且(2a-3b)·(2a+b)＝61，求a与b的夹角θ .
5．已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝ 10，则|b|=______.
6．在边长为1的正三角形ABC中，设 BC 2BD，CA 3CE，则 AD BE _－_14___
7．已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2 的夹角为锐角，则k的取值范围为________．
数量积的运算律证明：
(1)a·b＝b·a.
左边 a b | a || b | cos 右边 b a | b || a | cos
交换律成立
数量积的运算律证明：
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
（4）a·a＝__|_a_|2___或|a|＝__a_·a__.
(4)可用于求向量的模.
（5）|a·b|≤__|_a_||_b_| ___.
（6）cos θ＝_a_·_b__. |a||b|
(6)实质是平面向量数量积的逆用，可 用于求两向量的夹角，也称为夹角公式.
5．数量积的运算律
对于向量a，b，c和实数λ，有 (1)a·b＝__b_·a____(交换律). (2)(λa)·b＝__λ_(_a_·b_)____＝____a_·_(λ_b_)__(结合律). (3)(a＋b)·c＝___a_·_c_＋__b_·c____(分配律).
（2）投影向量：A1B1 叫做向量a在向量b上的投影向量．
我们可以在平面内任取一点 O，作 OM a，ON b.过点 M作直线 ON
的垂线，垂足为 M1 ，则 OM1 就是向量a 在向量 b 上的投影向量.
M
a
O b M1
N
探究 设 a ，b 是两个非零向量，夹角为θ，如何求出向量 a 在向量 b
OM1 e | a | cos0e | a | e OM1 e | a | cos e | a | e
综上可知，对任意的 [0, ] 都有
OM1 | a | cos e
例题2 （1）已知|a|=3，|b|=4,a与b的夹角 2，求a在b上的投影向量.
3
（2）已知|a|=6，e是单位向量，当a，e的夹角为45°，90°， 135°时，分别求a在e上的投影向量.
4．数量积的性质
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相 同的单位向量，则
（1）a·e＝e·a＝__|a_|_c_o_s_θ____.
（2）a⊥b⇔__a_·_b_＝__0___.
（3）当a，b同向时，a·b＝__|a_|_|b_|____； 当a，b反向时，a·b＝__－__|a_||_b_|____.
(1)(a
b)2
2
a
2a b
2
b
22
(2)(a b) (a b) a b
（1）证明：（a b)2 （a b)（ a b) a a a b b a bb
2
2
a 2a b b
(2)证明：(a
b)
(a
b)
a
a
a
b
b
a
b
b
a
2
2
b
例题4 已知|a|=6，|b|=4,a与b的夹角60°，
5．数量积的运算律
对于向量a，b，c和实数λ，有
(1)a·b＝___b_·_a__(交换律). (2)(λa)·b＝__λ_(_a_·_b_)___＝___a_·_(_λ_b_)__(结合律). (3)(a＋b)·c＝____a_·_c_＋__b_·_c__(分配律).
例题巩固 1.已知a,b,c是非零向量：
9 16k2 0. k 3 4
因此，当k= 3 时，a kb与a kb互相垂直. 4
课堂小结
M
1．两向量的夹角 起点相同 0
a
2．平面向量数量积的定义
a·b＝|a||b|cos θ.
O
b
M1
N
3．投影向量 OM1 | a | cos e 4．数量积的性质 a b a b 0 a·a＝__|a_|_2___或|a|＝__a_·_a_.
数的乘法运算中经常要关注0一样，要特
4．掌握向量数量积的性质及其 别重视零向量的特殊性.
运算律.(逻辑推理)
4．向量的投影是高维空间到低维空间的
一种线性变换，得到的是低维空间向量.
20210305
新课导入
前面我们学习了向量的加法、减法运算. 类比数的运算，出现了一 个自然的问题：向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？
2．平面向量数量积的定义
（1）已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量_|_a_||b_|_c_o_s_θ__叫 做向量a与b的_数__量__积__(_或__内__积__)_，记作__a_·_b__，即
a·b＝|a||b|cos θ.
（2）规定：零向量与任一向量的数量积等于__0__.
☆ 向量的数量积 是一个数量
上的投影向量？
M
M
a
a
Ma
O b M1 N
①θ为锐角
O
(M1
)b
N
②θ为直角
M1 O b
N
③θ为钝角
解：设与 b 方向相同的单位向量为 e ，即
e b |b|
①当为锐角时
②当为直角时
③当为钝角时
O
aM
b M1 N
④θ为零角
M
M1 a O b
N
⑤θ为平角
④ 0 | a | ⑤ | a |
☆ 使a、b起点相同
定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作 OA＝a，
OB＝b，则_∠__A_O__B_＝θ 叫做向量a与b的夹角．记作: _<__a_,b_>___
范围：_0_≤__θ_≤_π__
B
b
b
O
A
a
a
特殊情况：
a
b
O
0
a 与 b同向
a
b
O
2
a记与作ba垂直b
a
b
O
即a 0 0
对比向量的线性运算，我们发现，向量线性运算的结果是一 个_向__量__，而两个向量的数量积是一个_数__量__，这个数量的大小与 两个向量的_长__度__及__其__夹__角_有关.
数量积：a·b＝|a||b|cos θ.
注意:（1）一种新的运算.
（2）“·”不能省略不写，也不能写成“×”.
76 2 19
62 6 4cos 60 6 42 72
例题5 已知|a|=3，|b|=4,且a与b不共线.当k为何值时，向量a+kb 与a-kb互相垂直？
解: a kb 与a kb 互相垂直的充要条件是
（a kb）（ a kb）=0
即a2
k
2
2
b
0.
2
a
32
2
9, b
42
16,
功的概念：
一个物体在力 F的作用|_F__||_s__|_c_o_s___.
功是一个_数__量__，它由力和位移两个向量来确定. 这给我们一种启 示，能否把“功”看成是两个向量“相乘”的结果呢？受此启发，我 们引入向量“数量积”的概念.
新课讲授
1．两向量的夹角
（3）数量积a·b的结果为实数，不是向量.（数量积运算是非线性运算）
思考（：4向）量两的个数非量零积向是量一的个数数量量积，，那符么号它由什夹么角时θ决候定为：正，什么时候为负？
当 0°≤θ ＜ 90°时，数量积__a_·b_>__0_； 当 90°＜θ ≤180°时，数量积__a_·b_<__0_;
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
D A
OA1 | a | cos1e
OB1 | b | cos2e OD1 | a b | cose
ab
a
1 b B
O
C 2
A1 B1
D1 c
| a b | cose | a | cos1e | b | cos2e
| a b | cos | a | cos1 | b | cos2
(1) a b 的结果还是一个向量( × )
(2) a a | a |2 ( √ )
(3) | a b || a || b | ( × )
(4) a b 0 a b( √ ) (5) a b a b 0( √ )
(6) a // b a b | a || b | ( × )
(7)
(a
当 θ =90°时，数量积__a_·_b_=_0_。 a b a b 0
例题1 （1）已知|a|=3，|b|=4,a与b的夹角 2 ，求a•b .
3
（2）已知|a|=12，|b|=9, a b 54 2，求a与b的夹角θ .
夹角公式：
cos
ab
| a || b |
练习1 已知|a|=6，|b|=8,a与b平行，求a•b .
a 与 b反向
练习1 在正三角形ABC中，求下列夹角：
C
（1） AB, AC _________
（2） AB, BC _________
（3） AC, BC _________
A
B
思考：两个向量的夹角与两条直线的夹角有何区别？
注意: 在两向量的夹角定义中,两向量必须是共起点的. 可以通过平移实现共起点.
解：a和b方向相同时， 0 a b a b cos 0 48 a和b方向相反时， 180 a b a b cos180 48
3．投影向量
（1）投影：设a，b是两个非零向量，AB ＝a，CD ＝b，过AB 的起点A 和终点B，分别作CD 所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到 A1B1 ， 我们称这种变换为向量a向向量b投影.
b)2
2
a
2
b (
×
)
(8) | a || b || a c || b c | ( × )
2．判断正误
(1)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.( × ) (2)若λa＝0，则λ＝0或a＝0.( × ) (3)若a2＝b2，则a＝b或a＝－b.( × ) (4)若a·b＝a·c，则b＝c.( × ) (5)若a2+b2=0，则a＝b＝0.( √ ) (6)已知a,b,c是三个非零向量，若a+b＝0，则|a·c|＝|b·c|.( √ ) (7)a·a·a＝|a|3.( × ) (8)若a2+b2≥2a·b.( √ ) (9)向量a,b满足：a·b>0，则a与b的夹角为锐角.( × )
（1）求(a 2b) (a 3b) ；
（2）求 | a b | .
解:(解2)：a b (a b)2
解:(1) (a 2b) (a 3b)
a a a b 6b b
2
2
a ab6 b
2
2
a a b cos 6 b
2
2
a 2a b b
62 264cos60 42
| a b || c | cos | a || c | cos1 | b || c | cos2
(a b)c a c bc
5．数量积的运算律 对于向量a，b，c和实数λ，有 (1)a·b＝__b_·a____(交换律). (2)(λa)·b＝__λ_(_a_·b_)____＝____a_·_(λ_b_)__(结合律). (3)(a＋b)·c＝___a_·_c_＋__b_·c____(分配律).
思考：a·(b·c)＝(a·b)·c 成立吗？
a·(b·c)＝(a·b)·c
数m
数n
左边 ma 右边 nc
c,a为任意向量， 不一定共线，所以此 式不成立
例题3 我们知道，对任意 a,b R ，恒有 (a b)2 a2 2ab b2, (a b)(a b) a2 b2 .对任意向量a,b，是否也有下面类似的结论？
证明：(ab) (a)b
b
左边 (ab) | a || b | cos
a
a
右边(a)b | a || b | cos1 | || a || b | cos1
当 0时，显然成立.
当 0时，显然成立.
当 0时，右边 | || a || b | cos1 | a || b | cos( ) | a || b | cos 左边