高考数学总复习 专题1 第4讲 转化与化归思想小题冲关

答案 (1)A

(2)

2，32

2

反思归纳 当问题难以入手时，应先对特殊情况或简单情形进
________.
审题破题 (1)观察几个数的共同特征，可以构造函数，利用 函数的单调性比较数的大小；(2)由于题目条件中过点 P(－1,1) 可作无数对互相垂直的直线，因此可取特殊位置的两条直线来
解决问题.
本 讲 栏
解析
(1)由于1e64 ＝4e42，2e55 ＝e552，3e66 ＝e662，
)
讲 栏 目
A.1e64 ＜2e55 ＜3e66
B.3e66 ＜2e55 ＜
e4 16
开
C.2e55 ＜1e64 ＜3e66
D.3e66 ＜1e64 ＜2e55
(2)在定圆 C：x2＋y2＝4 内过点 P(－1,1)作两条互相垂直的
直线与 C 分别交于 A，B 和 M，N，则||MABN||＋||MABN||的范围是
目 开
b＝log29－log2 3＝log23 3，
∴a＝b.
又∵函数 y＝logax(a>1)为增函数，
∴a＝log23 3>log22＝1，c＝log32<log33＝1，∴a＝b>c.
4.(2011·天津)对实数 a 和 b，定义运算“⊗”：a⊗b＝
a，a－b≤1， b，a－b>1.
栏
目 开
则xzy＝x2－3xxyy＋4y2＝xy＋41xy－3≤1，
当且仅当 x＝2y 时取等号，把 x＝2y 代入(*)式，得 z＝2y2，
所以2x＋1y－2z＝1y＋1y－y12＝－1y－12＋1≤1.
题型一 特殊与一般的转化
本 例 1 (1)1e64 ，2e55 ，3e66 (其中 e 为自然常数)的大小关系是(
第四讲 转化与化归思想
本
讲 1.转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，
栏 目
采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解
开 决的一种数学方法.一般是将复杂的问题通过变换化为简
单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，
将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.
2.转化与化归思想是实现具有相互关联的两个知识板块进行
A. 2
2＋ 3 B. 2
C. 3
D.2 2－1
(C )
本 讲
解析
4cos
50°－tan
40°＝4sin
40°cos 40°－sin cos 40°
40°
栏
目 开
＝2sin
80°－sin cos 40°
40°＝2sin50°＋co3s 04°0°－sin
40°
＝
3sin
50°＋cos 50°－sin cos 40°
(2)设||MABN||＝t，考虑特殊情况：当 AB 垂直 OP 时，MN 过点 O， |AB|最小，|MN|最大，所以 t ＝ 最小 22，t ＝ 最大 2.
本 讲 栏 目 开
所以
t∈

22，
2 . 又 因 为
t
＋
1 t
≥2
∈2，32 2.
1 t·t
＝
2
，
所以
t ＋1t
栏
目 符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使 开 其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律.
(5)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题 的反面；或问题的正面较复杂时，其反面一般是简单的；设法 从问题的反面去探求，使问题获得解决.
1.(2012·北京)已知{an}为等差数列，Sn 为其前 n 项和.若 a1＝12，
目 开
故可构造函数 f(x)＝xe2x，于是 f(4)＝1e64 ，f(5)＝2e55 ，f(6)＝3e66 .
而 f′(x)＝exx2′＝ex·x2－x4 ex·2x＝exx2x－4 2x，令 f′(x)＞0 得 x＜
0 或 x＞2，即函数 f(x)在(2，＋∞)上单调递增，因此有 f(4)＜ f(5)＜f(6)，即1e64 ＜2e55 ＜3e66 .
(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将
未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知
识、经验和问题来解决.
(2)简单化原则：将复杂问题转化为简单问题，如三维空间问 题转化为二维平面问题，通过简单问题的解决思路和方法，获
得对复杂问题的解答启示和思路以达到解决复杂问题的目的. 本 (3)具体化原则：化归方向应由抽象到具体. 讲 (4)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更
相互转化的重要依据，如函数与不等式、函数与方程、数与
形、式与数、角与边、空间与平面、实际问题与数学问题的
互化等，消去法、换元法、数形结合法等都体现了等价转化
本
讲 思想，我们也经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化，
栏 目
在复习过程中应注意相近主干知识之间的互化，注重知识的
开 综合性.
3.转化与化归思想的原则
本 由数形结合知，实数 c 需有 1<c≤2 或－2<c≤－1，故选 B.
讲 栏
答案 B
目
开
5.(2013·山东)设正实数 x，y，z 满足 x2－3xy＋4y2－z＝0，则
当xzy取得最大值时，2x＋1y－2z的最大值为
(B )
A.0
B.1
C.94
D.3
本
讲 解析 由已知得 z＝x2－3xy＋4y2(*)
40°＝
c3ossin4500°°＝
3.
3.(2012·重庆)已知 a＝log23＋log2 3，b＝log29－log2 3，
c＝log32，则 a，b，c 的大小关系是
(B )
A.a＝b<c
B.a＝b>c
C.a<b<c
本
D.a>b>c
讲 栏
解析 ∵a＝log23＋log2 3＝log23 3，
本 S2＝a3，则 a2＝____1____.
讲
栏 目
解析 设出等差数列的公差，列方程求解.
开 设{an}的公差为 d，
由 S2＝a3 知，a1＋a2＝a3，即 2a1＋d＝a1＋2d，
又 a1＝12，所以 d＝12，故 a2＝a1＋d＝1.
2.(2013·重庆)4cos 50°－tan 40°等于
设函数 f(x)＝(x2－2)⊗(x－1)，x∈R.若函数
y＝f(x)－c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取值
本 范围是
讲 栏
A.(－1,1]∪(2，＋∞)
目 开
C.(－∞，－2)∪(1,2]
() B.(－2，－1]∪(1,2]
D.[－2，－1]
解析 依题意可得 f(x)＝xx2－－12，，x－<－1≤1或x≤x>22，， 作出其示意图如图所示.