初中数学不等式教案

教育教师备课手册
教师
姓名
学生姓名填写时间
学科数学年级初三上课时间课时
计划
小时
教学目标
教学内容中考复习方程与不等式
个性化学习问题解决基础知识回顾，典型例题分析
教学重点、难点
教学过程
一元一次方程及其应用
【课前热身】
.已知是关于的方程－的解,则的值是( )
.－
.请写出一个解为的一元一次方程：。

. （湛江）若2
x=是关于x的方程2310
x m
+-=的解，则的值为．
.（菏泽）某种商品的进价为元，出售标价为元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则最多可打
．折．折．折．折
. （日照）某道路一侧原有路灯盏，相邻两盏灯的距离为米，现计划全部更换为新型的节能灯，且相邻两盏灯的距离变为米，则需更换的新型节能灯有（）
（）盏（）盏（）盏（）盏
. （兰州）某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了张相片，如果全班有名学生，根据题意，列出方程为
．(1)2070
x x-=．(1)2070
x x+=
．2(1)2070
x x+=．
(1)
2070
2
x x-
=
【考点链接】
．等式及其性质⑴等式：用等号“”来表示关系的式子叫等式.
⑵性质：①如果b
a=，那么=
±c
a；
②如果b
a=，那么=
ac；如果b
a=()0
≠
c，那么=
c
a
.
. 方程、一元一次方程的概念
⑴方程：含有未知数的叫做方程；使方程左右两边值相等的，叫做方程的解；求方
程解的叫做解方程. 方程的解与解方程不同.
⑵一元一次方程：在整式方程中，只含有个未知数，并且未知数的次数是，系数不等于的
方程叫做一元一次方程；它的一般形式为()0
≠
a.
. 解一元一次方程的步骤：
①去 ；②去 ；③移 ；④合并 ；⑤系数化为.
．易错知识辨析：
（）判断一个方程是不是一元一次方程，首先在整式方程前提下，化简后满足只含有一个未知数，并且未知数的次数是，系数不等于的方程，像
21
=x
，()1222+=+x x 等不是一元一次方程. （）解方程的基本思想就是应用等式的基本性质进行转化，要注意：①方程两边不能乘以（或除以）含有未知数的整式，否则所得方程与原方程不同解；②去分母时，不要漏乘没有分母的项；③解方程时一定要注意“移项”要变号.
【典例精析】
例 （滨州）依据下列解方程0.30.521
0.23
x x +-=
的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据。

解：原方程可变形为
3521
23
x x +-=
( ) 去分母，得（）(－). ( ) 去括号，得－. （ ） ( )，得－－－. ( )
合并，得－. ( 合并同类项 ) （ ），得17
5
-
. （） 【强化训练】
. （四川）某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景．甲种盆景由朵红花、朵黄花和朵紫花搭配而成．乙种盆景由朵红花、朵黄花搭配而成．丙种盆景由朵红花、朵黄花和朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了朵红花，朵紫花，则黄花一共用了 朵．
.某地居民生活用电基本价格为元度.规定每月基本用电量为度,超过部分电量的毎度电价比基本用电量的毎度电价增加收费,某用户在月份用电度,共交电费元,则 度.
. （安徽）江南生态食品加工厂收购了一批质量为千克的某种山货，根据市场需求对其进行粗加工和精加工处理，已知精加工的该种山货质量比粗加工的质量倍还多千克，求粗加工的该种山货质量． . （福建）植树节期间,两所学校共植树棵,其中海石中学植树的数量比励东中学的倍少棵,两校各植树多少棵？
. （浙江）毕业在即，九年级某班为纪念师生情谊，班委决定花元班会费买两种不同单价的留念册，分别给位同学和位任课老师每人一本留做纪念。

其中送给任课老师的留念册的单价比给同学的单价多元。

请问这两种不同留念册的单价分别为多少元？
消元
转化 消元
转化 消元 转化
二元一次方程组及其应用
【课前热身】
. 在方程y
x 4
13-
＝中，用含x 的代数式表示y 为y ＝ ；当x ＝时，y ＝ .
．如果x ＝，y ＝是方程326=+by x 的解，则b ＝ . . 请写出一个适合方程13=-y x 的一组解： .
. （枣庄）已知2,1x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程组7,
1ax by ax by +=⎧⎨-=⎩
的解，则a b -的值为（ ）
．－ ． ． ．
【考点链接】
．二元一次方程：含有 未知数（元）并且未知数的次数是 的整式方程.
. 二元一次方程组：由个或个以上的 组成的方程组叫二元一次方程组.
．二元一次方程的解： 适合一个二元一次方程的 未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解，一个二元一次方程有 个解.
．二元一次方程组的解： 使二元一次方程组的 ，叫做二元一次方程组的解. . 解二元一次方程组的方法步骤： 二元一次方程组 方程.
消元是解二元一次方程组的基本思路，方法有 消元和 消元法两种. . 解三元一次方程组的方法步骤： 三元一次方程组 方程.
．易错知识辨析：
（）二元一次方程有无数个解，它的解是一组未知数的值；
（）二元一次方程组的解是两个二元一次方程的公共解，是一对确定的数值； （）利用加减法消元时，一定注意要各项系数的符号.
【典例精析】
例 解下列方程组：
（）{
4519,323
a b a b +=--= （）6,
23,32 2.
x y z x y z x y z ++=⎧⎪--=-⎨⎪-+=⎩
例 （湖南常德）某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为千米，超过千米的部分按每千米另收费.甲说：“我乘这种出租车走了千米，付了元”；乙说：“我乘这种出租车走了千米，付
了元”.请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过千米后，每千米的车费是多少元？
【强化训练】
. （福建泉州）已知、满足方程组25
24
x y x y +=⎧⎨+=⎩则－的值为
.
. （泰安）某班为奖励在校运会上取得较好成绩的运动员，花了元钱购买甲、乙两种奖品共件，其中甲种奖品每件元，乙种奖品每件元，求甲乙两种奖品各买多少件？该问题中，若设购买甲种奖品件，乙种奖品件，则方程组正确的是（ ）
.某鞋店有甲、乙两款鞋各双，甲鞋一双元，乙鞋一双元。

该店促销的方式：买一双甲鞋，送一双乙鞋；只买乙鞋没有任何优惠。

若打烊后得知，此两款鞋共卖得元，还剩甲鞋双、乙鞋双，则依题意可列出下列哪一个方程式？
1800)30(50)30(200＝－＋－y x ．1800)30(50)30(200＝－－＋－y x x
. 1800)60(50)30(200＝－－＋－y x x ．1800])30(30[50)30(200＝－－－＋－y x x . （临沂）去年秋季以来，我市某镇遭受百年一遇的特大干旱，为支援该镇抗旱，上级下拨专项抗旱资金万元用于打井．已知用这万元打灌溉用井和生活用井共口，每口灌溉用井和生活用井分别需要资金万元和万元，求这两种井各打多少口？
一元二次方程及其应用
【课前热身】
．方程3(1)0x x +=的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 . .一元二次方程（－）－的根是（ ） ．－
．
．和
．－和
. （南充） 方程()(－)的解是（ ）
（） （） （）－， （）－， . （甘肃）用配方法解方程2
250x x --=时，原方程应变形为 ．2
(1)6x +=
．2
(2)9x +=
．2
(1)6x -=
．2
(2)9x -=
. （滨州）某商品原售价元,经过连续两次降价后售价为元,设平均每次降价的百分率为,则下面所列方程中正确的是( )
. ()2
2891256x -= . ()2
2561289x -= . (－) (－)
【考点链接】
．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中
叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数.
. 一元二次方程的常用解法：
（）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2
≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.
（）配方法： 一般步骤是
这是解一元二次方程最根本的方法。

（）公式法：一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是
221,2
4(40)2b b ac x b ac a
-±-=-≥.
（）因式分解法：
. 若为一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax 根，那么.反之亦成立。

．易错知识辨析：
（）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元
二次方程一般形式中0≠a .
（）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （）用配方法时二次项系数要化.
（）用直接开平方的方法时要记得取正、负.
【典例精析】
例 选用合适的方法解下列方程：
（）)4(5)4(2
+=+x x ； （）x x 4)1(2
=+；
（）2
2
)21()3(x x -=+； （）31022
=-x x .
例 已知一元二次方程0437122=-+++-m m mx x m ）（有一个根为零，求m 的值.
例3 用长的铁丝，折成一个面积是㎝的矩形，()求这个矩形的长和宽. ()能否折成面积是㎝的矩形呢？为什么？
【强化训练】
. (南京)解方程－＋
．（宿迁）如图，邻边不等．．的矩形花圃，它的一边利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是．若矩形的面积为，则的长度是 ▲ （可利用的围墙长度超过）．
. （日照）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．年市政府共投资亿元人民币建设了廉租房万平方米，预计到年底三年共累计投资亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．
()求每年市政府投资的增长率；
()若这两年内的建设成本不变，求到年底共建设了多少万平方米廉租房．
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
【课前热身】
. 一元二次方程(2)0x x -=根的情况是（ ）
.有两个不相等的实数根 .有两个相等的实数根 .只有一个实数根 .没有实数根
. （威海）关于的一元二次方程2
(2)10x m x m +-++=有两个相等的实数根，则的值是（ ） ．0
．8
．42±
．0或8
. 已知关于的方程2
60x mx +-=的一个根为,则,另一根是. . 若方程－＋＝有两个不相等的实数根,则的取值范围是 .
【考点链接】
. 一元二次方程根的判别式：
关于的一元二次方程()002
≠=++a c bx ax 的根的判别式为 .
（）ac b 42
->⇔一元二次方程()002
≠=++a c bx ax 有两个 实数根，即
=2,1x .
（）ac b 42
-⇔一元二次方程有 相等的实数根，即==21x x .
（）ac b 42
-<⇔一元二次方程()002
≠=++a c bx ax 实数根.
根与系数的关系：
关于的一元二次方程()002
≠=++a c bx ax 的两根为21,x x ⇔,21a
b x x -
=+a c x x =21
．易错知识辨析：
（）在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限
制条件.
（）应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：
① 根的判别式042
≥-ac b ；
② 二次项系数0a ≠，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.
【典例精析】
例 （湖北）关于x 的方程0)1(2)13(2
=+++-a x a ax 有两个不相等的实根1x 、2x ，且有
a x x x x -=+-12211，则a 的值是
例 （南充市）关于的一元二次方程的实数解是和。

（）求的取值范围；
（）如果－＜－且为整数，求的值。

【参考答案】（）≤ （）的值为－和.
【强化训练】
. （潍坊）关于的方程2
210x kx k ++-=的根的情况描述正确的是（ ） . 为任何实数，方程都没有实数根
. 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根 . 为任何实数，方程都有两个相等的实数根
. 根据 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种
. （德州）若1x ，2x 是方程2
10x x +-=的两个根，则2212x x +．
. 孔明同学在解一元二次方程－时，正确解得，，则的值为 ． . 已知一元二次方程0562=--x x 的两根为、，则
b
a 1
1+的值是． . （苏州）已知、是一元二次方程－－的两个实数根，则代数式（－）（＋－）＋的值等于.
分式方程及其应用
【课前热身】
. 已知1=x 是分式方程
x
k x 311=+的根，则实数k . .分式方程
22
12525
x x x -=-+的解x
. （临沂）方程
3x x －－6x 21－＝2
1的解是 ． . （安徽） 分式方程253
22x x x
-=--的解是（ ）. ．2x =-
．2x = ．1x =
．12x x ==或
. （江苏）方程
1
1
112+=
-+x x x 的解是（ ） ．－ ． ． ．
【考点链接】
．分式方程:分母中含有 的方程叫分式方程. ．解分式方程的一般步骤：
（）去分母，在方程的两边都乘以 ，约去分母，化成整式方程； （）解这个整式方程；
（）验根，把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去. ．分式方程的应用：
分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验： （）检验所求的解是否是所列 ；（）检验所求的解是否 . ．易错知识辨析：
（） 去分母时，不要漏乘没有分母的项.
（） 解分式方程的重要步骤是检验，检验的方法是可代入最简公分母, 使最简公分母为的值是原
分式方程的增根,应舍去,也可直接代入原方程验根.
（） 如何由增根求参数的值：①将原方程化为整式方程；②将增根代入变形后的整式方程，求出
参数的值.
【典例精析】
例 解分式方程：
1233x x x
=+--． . （济宁）某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程.已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设米，且甲工程队铺设米所用的天数与乙工程队铺设米所用的天数相同.
（）甲、乙工程队每天各能铺设多少米？
（）如果要求完成该项工程的工期不超过天，那么为两工程队分配工程量（以百米为单位）的方案有几种？请你帮助设计出来.
【参考答案】（）根据题意得：350250
20
x x =
-.解得70x =.
（）设分配给甲工程队y 米，则分配给乙工程队（1000y -）米.
由题意，得10,70
100010.50
y
y ⎧≤⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩解得500700y ≤≤． 所以分配方案有种．
方案一：分配给甲工程队500米，分配给乙工程队500米； 方案二：分配给甲工程队600米，分配给乙工程队400米；
方案三：分配给甲工程队700米，分配给乙工程队300米．
【强化训练】
. （黑龙江）分式方程
()()2111
+-=--x x m x x 有增根，则m 的值为（ ）
、和 、 、和－ 、 . （湖北）关于的分式方程
1131=-+-x
x m 的解为正数，则的取值范围是 . .小玲每天骑自行车或步行上学，她上学的路程为2800米，骑自行车的平均速度是步行平均速度的４倍，骑自行车比步行上学早到３０分钟．设小玲步行的平均速度为x 米／分．根据题意，下面列出的方程正确的是
（）
28002800
304x x -=． （）
28002800
304x x -=． （）28002800
305x x
-=． （）
28002800
305x x
-=． . （辽宁）某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为元，用元购进甲种玩具的件数与用元购进乙种玩具的件数相同．
（）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
（）商场计划购进甲、乙两种玩具共件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数．商场决定此次进货的总资金不超过元，求商场共有几种进货方案？
【参考答案】（）根据题意得
x 90＝x
-40150 即 (－)＝ ＝ （）设购进甲种玩具件，则购进乙种玩具（－）件 根据题意得 ⎩
⎨⎧≤-+-<1000)48(251548y y y
y
解得≤＜ 因为是整数，所以取、、、 答：商场共有种进货方案．
一元一次不等式(组)
【课前热身】
．a 的倍与的差不小于，用不等式表示为 .
．不等式10x ->的解集是 . ．代数式
1
13
m --值为负数，m 的范围是 . ．已知a b <，则下列不等式一定成立的是（ ）
．33a b +>+ ．22a b > ．a b -<- ．0a b -< ．不等式组215
11
x x +<⎧⎨
+≥-⎩的整数解的个数为（ ）
．个 ．个 ．个 ．个 . （湖北）若关于，的二元一次方程组3133
x y a
x y +=+⎧⎨
+=⎩的解满足2x y +＜，则的取值范围为．
【考点链接】
．不等式的有关概念：用 连接起来的式子叫不等式；使不等式成立的 的值叫做不等式的解；一个含有 的不等式的解的 叫做不等式的解集.求一个不等式的 的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式. ．不等式的基本性质：
（）若a ＜b ，则a c c b +；
（）若a ＞b ，c ＞则ac bc （或
c a c b ）； （）若a ＞b ，c ＜则ac bc （或c a c
b
）.
．一元一次不等式：只含有 未知数，且未知数的次数是 且系数 的不等式，称为一元一次不等式；一元一次不等式的一般形式为 或ax b <；解一元一次不等式的一般步骤：去分母、 、移项、 、系数化为.
．一元一次不等式组：几个 合在一起就组成一个一元一次不等式组. 一般地，几个不等式的解集的 ，叫做由它们组成的不等式组的解集. ．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知a b <）
x a x b <⎧⎨<⎩的解集是x a <，即“小小取小”；x a
x b
>⎧⎨
>⎩的解集是x b >，即“大大取大”；
x a
x b >⎧⎨<⎩
的解集是a x b <<，即“大小小大中间找”；
x a
x b
<⎧⎨>⎩的解集是空集，即“大大小小取不了”. ．易错知识辨析：
（）不等式的解集用数轴来表示时，注意“空心圆圈”和“实心点”的不同含义. （）解字母系数的不等式时要讨论字母系数的正、负情况. 如不等式ax b >（或ax b <）（0a ≠）的形式的解集： 当0a >时，b x a >
（或b
x a <） 当0a <时，b x a <（或b
x a >）
当0a <时，b x a <（或b
x a
>）
【典例精析】
例解不等式（组），并将它的解集在数轴上表示出来：
（）153x x --≤（）()⎪⎩⎪
⎨⎧-≤-+>-x x x x 23712
11325
例 如图，直线y kx b =+经过(21)
A ，，(12)
B --，两点，则不等式1
22
x kx b >+>-的解集
为 ．
【强化训练】
.若不等式组220x a b x ->⎧⎨
->⎩
的解集是11x -<<，则2009
()
a b += ． .已知关于x 的不等式组0521
x a x -⎧⎨
->⎩≥，
只有四个整数解，则实数a 的取值范围是 ．
.已知三角形的两边长分别为和，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ）
．
．
．
．
.若方程组⎩
⎨⎧-=--=+323
a y x y x 的解是负数，那么的取值范围是 ．
一元一次不等式(组)及其应用
【课前热身】
．某商贩去菜摊买黄瓜，他上午买了30斤，价格为每斤x 元；下午，他又买了20斤，价格为每斤y 元．后来他以每斤
2
x y
+元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，其原因是（ ） .x y < .x y > .x y ≤ .x y ≥
．某电脑用户计划使用不超过元的资金购买单价为元的单片软件和元的盒装磁盘，根据需要，软件至少买片，磁盘至少买盒，不相同的选购方式共存( ) 种 种 种
种
．已知一个矩形的相邻两边长分别是cm 3和xcm ，若它的周长小于cm 14，面积大于2
6cm ，则x 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
． 若方程组⎩⎨
⎧-=--=+3
23
a y x y x 的解是负数，那么的取值范围是 ．
【考点链接】
．求不等式（组）的特殊解：
O x y l 1
l 2
-13
(第12题图）
不等式（组）的解往往有无数多个，但其特殊解在某些范围内是有限的，如整数解，非负整数解，求这些特殊解应先确定不等式（组）的解集，然后再找到相应答案. ２．列不等式（组）解应用题的一般步骤：
①审：审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系；②找：找出能够表示应用题全部含义的一个不等关系；③设：设未知数（一般求什么，就设什么为x ；④列：根据这个不等关系列出需要的代数式，从而列出不等式（组）；⑤解：解所列出的不等式（组），写出未知数的值或范围；⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位）.
．易错知识辨析：
判断不等式是否成立，关键是分析不等号的变化，其根据是不等式的性质.
【典例精析】
例直线b x k y l +=11:与直线x k y l 22:=在
同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的 不等式21k x k x b >+的解集为 ．
例 （广东）某商店月日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案，方案一：用元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的折优惠．已知小敏月日前不是该商店的会员．
（）若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为元时，实际应支付多少元？ （）请帮小敏算一算，所购买商品的价格在什么范围内时，采用方案一更合算？
【强化训练】
. 某种药品说明书上，贴有如右图所示的标签，一
次服用这种药品的剂量范围是 ～ mg .
. （临沂）有人携带会议材料乘坐电梯，这人的体
重共，每捆材料中，电梯最大负荷为，则该电梯在此人乘坐的情况下最多还能搭载 捆材料． . （广东）某工厂计划生产两种产品共件，其生产成本和利润如下表：
种产品
种产品
成本（万元件） 利润（万元件）
（）若工厂计划获利万元，问两种产品应分别生产多少件？
（）若工厂计划投入资金不多于万元，且获利多于万元，问工厂有哪几种生产方案？ （）在（）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润． 【参考答案】（）生产种产品件，种产品件；
（）设应生产种产品x 件，则生产种产品有10x -件，由题意有
25(10)44
3(10)14
x x x x +⨯-≤⎧⎨
+⨯->⎩，解得28x ≤<； 所以可以采用的方案有：234567
,,,,,,876543
A A A A A A
B B B B B B ======⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎨
⎨⎨⎨⎨⎨======⎩⎩⎩⎩⎩⎩共种方案；
由⑴已知可得，产品生产越多，获利越大， 所以当2
8
A B =⎧⎨
=⎩时可获得最大利润，其最大利润为218326⨯+⨯=万元。