精选2018年高中数学课时跟踪检测十二定积分的简单应用新人教A版选修2_2

课时跟踪检测（十二） 定积分的简单应用
层级一 学业水平达标
1．在下面所给图形的面积S 及相应的表达式中，正确的有( )
A ．①③
B ．②③
C ．①④
D ．③④
解析：选D ①应是S ＝⎠⎛a b
[f (x )－g (x )]d x ，②应是S ＝⎠⎛08
22x d x －⎠⎛48
(2x －8)d x ，③
和④正确．故选D.
2．一物体以速度v ＝(3t 2
＋2t )m/s 做直线运动，则它在t ＝0 s 到t ＝3 s 时间段内的位移是( )
A ．31 m
B ．36 m
C ．38 m
D ．40 m
解析：选B S ＝⎠⎛03
(3t 2＋2t )d t ＝(t 3＋t 2)30＝33＋32
＝36(m)，故应选B.
3.如图所示，阴影部分的面积是( )
A ．2 3
B ．2－ 3 C.32
3
D.353
解析：选C S ＝⎠⎛-3
1
(3－x 2－2x )d x ，即F (x )＝3x －13x 3－x 2
，则F (1)＝3－13－1＝53，F (－3)＝－9＋9－9＝－9.
∴S ＝F (1)－F (－3)＝53＋9＝32
3
.故应选C.
4．由y ＝x 2
，y ＝14
x 2及x ＝1围成的图形的面积S ＝( )
A.14
B.1
2 C.13
D ．1
解：选A 图形如图所示，
S ＝⎠⎛01
x 2d x －⎠⎛01
14
x 2d x ＝⎠⎛01
34x 2
d x
＝14x 3⎪⎪⎪
1
＝14
. 5．曲线y ＝x 3
－3x 和y ＝x 围成的图形面积为( ) A ．4 B ．8 C ．10
D ．9
解析：选B 由⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝x 3
－3x ，
y ＝x ，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝0，
y ＝0或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2，
y ＝2或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－2，
y ＝－2.∵两函数
y ＝x 3－3x 与y ＝x 均为奇函数，
∴S ＝2⎠⎛02
[x －(x 3－3x )]d x ＝2·⎠⎛02
(4x －x 3)d x
＝2⎝
⎛⎭⎪⎫2x 2－14x 4⎪⎪⎪
2
0＝8，故选B.
6．若某质点的初速度v (0)＝1，其加速度a (t )＝6t ，做直线运动，则质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为________．
解析：v (2)－v (0)＝⎠⎛02
a (t )d t ＝⎠⎛0
2
6t d t ＝3t 2⎪⎪⎪
2
＝12，
所以v (2)＝v (0)＋3×22
＝1＋12＝13. 答案：13
7．一物体沿直线以速度v ＝1＋t m/s 运动，该物体运动开始后10 s 内所经过的路程是______．
解析：S ＝⎠⎛0
10
1＋t d t ＝23(1＋t )32 ⎪⎪
⎪
10
＝23⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1132－1. 答案：23⎝ ⎛⎭
⎪⎫1132－1
8．由y ＝1
x
，x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形的面积为________．
解析：画出曲线y ＝1
x
(x >0)及直线x ＝1，x ＝2，y ＝0，则所求面积S 为如图所示的阴
影部分面积．
∴S ＝⎠⎛12
1x
d x ＝ln x ⎪⎪
⎪
2
1
＝ln 2－ln 1＝ln 2.
答案：ln 2
9．计算曲线y ＝x 2
－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围图形的面积．
解：由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝x ＋3，y ＝x 2
－2x ＋3，解得x ＝0及x ＝3.
从而所求图形的面积
S ＝⎠⎛03
[(x ＋3)－(x 2
－2x ＋3)]d x ＝⎠⎛03(－x 2＋3x )d x
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13
x 3＋32x 2⎪⎪⎪
3
0＝9
2
. 10. 设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2. (1)求y ＝f (x )的表达式；
(2)求y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积． 解：(1)∵y ＝f (x )是二次函数且f ′(x )＝2x ＋2， ∴设f (x )＝x 2
＋2x ＋c . 又f (x )＝0有两个等根，
∴4－4c ＝0，∴c ＝1，∴f (x )＝x 2
＋2x ＋1.
(2)y ＝f (x )的图象与两坐标所围成的图形的面积S ＝⎠⎛-10
(x 2＋2x ＋1)d x ＝13
x 3＋x 2
＋x ⎪⎪⎪
-1
＝13
. 层级二 应试能力达标
1．一物体在力F (x )＝4x －1(单位：N)的作用下，沿着与力F 相同的方向，从x ＝1运动到x ＝3处(单位：m)，则力F (x )所做的功为( )
A ．8 J
B ．10 J
C ．12 J
D ．14 J
解析：选 D 由变力做功公式有：W ＝⎠⎛13
(4x －1)d x ＝(2x 2
－x ) ⎪⎪
⎪
3
1
＝14(J)，故应选
D.
2．若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t 的函数，若已知产量的变化率为a ＝36t
，那么从3小时到6小时期间内的产量为( ) A.12 B ．3－3
2 2
C ．6＋3 2
D ．6－3 2
解析：选D ⎠⎛3
6
36t
d t ＝6t ⎪⎪⎪
6
3＝6－32，故应选D.
3．以初速40 m/s 竖直向上抛一物体，t s 时刻的速度v ＝40－10t 2
，则此物体达到最高时的高度为( )
A.160
3 m B.803 m C.40
3
m D.
203
m 解析：选A 由v ＝40－10t 2
＝0，得t 2
＝4，t ＝2.
∴h ＝⎠⎛0
2
(40－10t 2
)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫40t －103t 3⎪⎪⎪
2
＝80－803＝160
3
(m)．故选A.
4．(山东高考)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3
在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2
D ．4
解析：选D 由4x ＝x 3
，解得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3
在第一象限内围成的封闭图形的面积为⎠⎛0
2
－x
3
d x
＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－14x 4⎪⎪⎪
2
＝4.
5．椭圆x 2
16＋y
2
9
＝1所围区域的面积为________．
解析：由x 2
16＋y 2
9＝1，得y ＝±34
16－x 2. 又由椭圆的对称性知，椭圆的面积为S ＝4⎠⎛04
34
16－x 2
d x ＝3⎠⎛04
16－x 2
d x.
由y ＝ 16－x 2，得x 2＋y 2
＝16(y≥0)．
由定积分的几何意义知⎠⎛0
416－x 2
d x 表示由直线x ＝0，x ＝4和曲线x 2
＋y 2
＝16(y≥0)
及x 轴所围成图形的面积，
∴⎠
⎛0
416－x 2
d x ＝14×π×16＝4π，∴S＝3×4π＝12π.
答案：12π
6.如图，在边长为e (e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为____________．
解析：∵S 阴＝2⎠⎛0
1
(e －e x )d x ＝2(e x －e x
) ⎪⎪⎪
1
＝2，
S 正方形＝e 2
，∴P＝2e
2.
答案：2
e
2
7．求由曲线xy ＝1及直线x ＝y ，y ＝3所围成平面图形的面积．
解：作出曲线xy ＝1，直线x ＝y ，y ＝3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．
求交点坐标：由⎩⎪⎨
⎪
⎧
xy ＝1，y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝13，
y ＝3，
故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3；由⎩⎪⎨
⎪⎧
xy ＝1，y ＝x ， 得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，y ＝1或⎩
⎪⎨
⎪⎧ x ＝－1，
y ＝－1(舍去)，
故B(1,1)；由⎩⎪⎨
⎪
⎧
y ＝x ，y ＝3
得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝3，y ＝3，故C(3,3)，
8．函数f(x)＝ax 3
＋bx 2
－3x ，若f(x)为实数集R 上的单调函数，且a ≥－1，设点P 的坐标为(b ，a )，试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S .
解：当a ＝0时，由f (x )在R 上单调，知b ＝0.
当a ≠0时，f (x )在R 上单调⇔f ′(x )≥0恒成立或f ′(x )≤0恒成立．∵f ′(x )＝3ax 2
＋2bx －3，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
Δ＝4b 2
＋36a ≤0，a ≥－1.∴a ≤－19
b 2
且a ≥－1.
因此满足条件的点P (b ，a )在直角坐标平面xOy 的轨迹所围成的图形是由曲线y ＝－1
9x 2
与直线y ＝－1所围成的封闭图形．
联立
⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝－19x 2，y ＝－1，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－3，
y ＝－1或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝3，
y ＝－1，如图，
其面积S ＝⎠⎛3
－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 3
27⎪⎪⎪
3
-3
＝(3－1)－(－3＋1)＝4.。