2020高考新课标数学(文)一轮复习教材：专题研究 圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题

专题研究(二) 圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题
专题概述：1.证明直线过定点，应根据已知条件建立直线方程中斜率k 或截距b 的关系式，此类问题中的定点多在坐标轴上；2.解决定值问题应以坐标运算为主，需建立相应的目标函数，然后代入相应的坐标运算，结果即可得到；3.无论定点或定值问题，都可先用特殊值法求出，然后再验证即可，这样可确定方向和目标；4.探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．
[专题讲解]
题型一 定点问题
【典例1】 (2019·甘肃兰州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)短轴的一个端点与其两个焦点构成面积为3的直角三角形．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过圆E ：x 2＋y 2＝2上任意一点P 作圆E 的切线l ，l 与椭圆C 交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆是否过定点，若过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由．
[审题程序]
第一步：待定系数法求C 的方程；
第二步：依据特殊情形确定定点；
第三步：应用根与系数的关系，转化证明方向；
第四步：计算推证．
[规范解答] (1)因为椭圆C 短轴的一个端点和其两个焦点构成
直角三角形，所以b ＝c ，S ＝12·2c ·b ＝12a 2＝3，
所以a ＝6，b ＝ 3.
故椭圆C 的方程为x 26＋y 23＝1.
(2)圆E 的方程为x 2＋y 2＝2，设O 为坐标原点，
当直线l 的斜率不存在时，不妨设直线AB 的方程为x ＝2，
则A (2，2)，B (2，－2)，所以∠AOB ＝π2，
所以以AB 为直径的圆过坐标原点．
当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
因为直线与相关圆相切，
所以d ＝|m |
1＋k 2＝m 21＋k
2＝2，所以m 2＝2＋2k 2. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，
x 26＋y 2
3＝1，
得x 2＋2(kx ＋m )2＝6，即(1＋2k 2)x 2＋
4kmx ＋2m 2－6＝0， Δ＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－6)＝8(6k 2－m 2＋3)
＝8(4k 2＋1)>0，
由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2
－61＋2k 2，
所以x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2
＝(1＋k 2)(2m 2－6)1＋2k 2－4k 2m 21＋2k 2＋m 2＝3m 2－6k 2－61＋2k 2＝0. 所以OA
→⊥OB →，所以以AB 为直径的圆恒过坐标原点O . [答题模板] 解决这类问题的答题模板如下：
[题型专练]
1．(2019·广东佛山一中第二次段考)椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)
的离心率为12，其左焦点到点P (2,1)的距离为10.
(1)与椭圆C 的标准方程；
(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．
[解] (1)∵左焦点(－c,0)到点P (2,1)的距离为10， ∴(2＋c )2＋1＝10，解得c ＝1.
又e ＝c a ＝12，解得a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3.
∴所求椭圆C 的方程为：x 24＋y 23＝1.
(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m
x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，
Δ＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0，
化简得3＋4k 2>m 2.
∴x 1＋x 2＝－8km
3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k 2. y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3(m 2－4k 2)3＋4k 2. ∵以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D (2,0)，
k AD ·k BD ＝－1，∴y 1x 1－2·y 2x 2－2
＝－1， ∴y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0，
∴3(m 2－4k 2)3＋4k 2＋4(m 2－3)3＋4k 2＋16mk 3＋4k 2＋4＝0. 化简整理得7m 2＋16mk ＋4k 2
＝0，解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k 7， 且满足3＋4k 2－m 2>0.
当m ＝－2k 时，l ：y ＝k (x －2)，直线过定点(2,0)与已知矛盾；
当m ＝－2k 7时，l ：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －27，直线过定点⎝ ⎛⎭
⎪⎫27，0. 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫27，0. 题型二 定值问题
【典例2】 (2019·北京石景山区一模)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝
1(a >b >0)过点(0,1)，且离心率为32.
(1)求椭圆E 的方程；
(2)设直线l ：y ＝12x ＋m 与椭圆E 交于A ，C 两点，以AC 为对角
线作正方形ABCD ，记直线l 与x 轴的交点为N ，问B ，N 两点间的距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．
[审题程序]
第一步：待定系数法求出椭圆方程；
第二步：弦长公式求|AC |；
第三步：求出中点M ，利用勾股定理求出|BN |.
[规范解答] (1)由题意可知，椭圆的焦点在x 轴上，椭圆过点(0,1)，则b ＝1.
由椭圆的离心率e ＝c a ＝
1－b 2a 2＝32，解得a ＝2，所以椭圆E 的标准方程为x 24＋y 2＝1.
(2)设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，线段AC 的中点为M (x 0，y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝12x ＋m ，
x 24＋y 2＝1，整理得x 2＋2mx ＋2m 2－2＝0.
由Δ＝(2m )2－4(2m 2－2)＝8－4m 2>0，解得 －2<m <2，所以x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－2，
y 1＋y 2＝12(x 1＋x 2)＋2m ＝m ，
所以线段AC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m ，12m .
则|AC |＝
1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝ 1＋14×4m 2－4×(2m 2－2)＝10－5m 2.
l 与x 轴的交点为N (－2m,0)，所以|MN |＝
(－m ＋2m )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 2＝54m 2， 所以|BN |2＝|BM |2＋|MN |2
＝14|AC |2＋|MN |2＝52. 故B ，N 两点间的距离为定值102.
[解题反思] 本题主要利用椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、根与系数的关系、弦长公式、中点坐标公式等证明两点间的距离为定值．解决问题的切入点是利用题设条件建立两点间的距离的关系式，巧妙消参得到定值．消去参变数或约去参变数是解决这类定值问题的常用方法．
[答题模板] 解决这类问题的答题模板如下：
[题型专练]
2．(2019·安徽蚌埠模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)经过点
P (0,1)，离心率e ＝32.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设直线l 经过点Q (2，－1)且与C 相交于A ，B 两点(异于点P )，记直线P A 的斜率为k 1，直线PB 的斜率为k 2，证明：k 1＋k 2为定值．
[解] (1)因为椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，经过点P (0,1)，所以b
＝1.又e ＝32，所以c a ＝32，解得a ＝2.
所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.
(2)证明：若直线AB 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝2，此时直线与椭圆相切，不符合题意．
设直线AB 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即y ＝kx －2k －1，
联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx －2k －1，x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－8k (2k ＋1)x ＋16k 2＋16k ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则x 1＋x 2＝8k (2k ＋1)1＋4k 2，x 1x 2＝16k 2＋16k 1＋4k
2. k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2
＝x 2(kx 1－2k －2)＋x 1(kx 2－2k －2)x 1x 2
＝2kx 1x 2－(2k ＋2)(x 1＋x 2)x 1x 2＝2k －(2k ＋2)(x 1＋x 2)x 1x 2
＝2k －(2k ＋2)·8k (2k ＋1)16k (k ＋1)
＝2k －(2k ＋1)＝－1. 所以k 1＋k 2为定值，且定值为－1.
题型三 探索性问题
【典例3】 在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点．
(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；
(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由．
[审题程序]
第一步：利用导数的几何意义求切线方程；
第二步：假设存在符合题意的点；
第三步：判断直线PM ，PN 的斜率之和是否为0；
第四步：确定结果．
[规范解答] (1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )，或M (－2a ，a )，N (2a ，a )．
又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，C 在点(2a ，
a )处的切线方程为y －a ＝a (x －2a )， 即ax －y －a ＝0.
y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x ＋2a )， 即ax ＋y ＋a ＝0. 故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0.。