临沂市高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

临沂市高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．设b，c表示两条直线，α，β表示两个平面，则下列命题是真命题的是（）
A．若b⊂α，c∥α，则b∥cB．若c∥α，α⊥β，则c⊥β
C．若b⊂α，b∥c，则c∥αD．若c∥α，c⊥β，则α⊥β
2．若椭圆和圆为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）
A． B．C． D．
3．如图框内的输出结果是（）
A．2401 B．2500 C．2601 D．2704
4．某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘
坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有（）种.
A．24B．18C．48D．36
【命题意图】本题考查排列与组合的基础知识，考查学生分类讨论，运算能力以及逻辑推理能力．
5．设k=1，2，3，4，5，则（x+2）5的展开式中x k的系数不可能是（）
A．10 B．40 C．50 D．80
6．设命题p：函数y=sin（2x+）的图象向左平移个单位长度得到的曲线关于y轴对称；命题q：函数
y=|2x﹣1|在[﹣1，+∞）上是增函数．则下列判断错误的是（）
A．p为假B．￢q为真C．p∨q为真 D．p∧q为假
7．若某算法框图如图所示，则输出的结果为（）
A．7 B．15 C．31 D．63
8．已知三棱锥A﹣BCO，OA、OB、OC两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN的一个端点M在棱OA 上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），则MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为（）
A．B．或36+C．36﹣D．或36﹣
9．下列说法正确的是（）
A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”
B．命题“∃x0∈R，x+x0﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x﹣1＞0”
C．命题“若x=y，则sin x=sin y”的逆否命题为假命题
D．若“p或q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题
10．已知函数f（x）=31+|x|﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．B．C．（﹣，） D．
11．若方程x2﹣mx+3=0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m的取值范围是（）
A．（2，+∞）B．（0，2）C．（4，+∞）D．（0，4）
12．已知a=log23，b=8﹣0.4，c=sinπ，则a，b，c的大小关系是（）
A ．a ＞b ＞c
B ．a ＞c ＞b
C ．b ＞a ＞c
D ．c ＞b ＞a
二、填空题
13．圆柱形玻璃杯高8cm ，杯口周长为12cm ，内壁距杯口2cm 的点A 处有一点蜜糖．A 点正对面的外壁（不是A 点的外壁）距杯底2cm 的点B 处有一小虫．若小虫沿杯壁爬向蜜糖饱食一顿，最少要爬多少 cm ．（不计杯壁厚度与小虫的尺寸）
14．抛物线y=x 2的焦点坐标为（ ）
A ．（0，）
B ．（
，0）
C ．（0，4）
D ．（0，2）
15．若函数y=f （x ）的定义域是[，2]，则函数y=f （log 2x ）的定义域为 ．
16．已知i 是虚数单位，且满足i 2=﹣1，a ∈R ，复数z=（a ﹣2i ）（1+i ）在复平面内对应的点为M ，则“a=1”是“点M 在第四象限”的 条件（选填“充分而不必要”“必要而不充分”“充要”“既不充分又不必要”）
17()23k x =-+有两个不等实根，则的取值范围是 ．
18．已知tan()3αβ+=，tan()24
π
α+
=，那么tan β= .
三、解答题
19．已知
，其中e 是自然常数，a ∈R
（Ⅰ）讨论a=1时，函数f （x ）的单调性、极值；
（Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，f （x ）＞g （x ）+．
20．设命题p ：实数x 满足x 2﹣4ax+3a 2＜0，其中a ＞0；命题q ：实数x 满足x 2﹣5x+6≤0
（1）若a=1，且q ∧p 为真，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
21．已知等比数列中，。

（1）求数列的通项公式;
（2）设等差数列中，
，求数列
的前项和
.
22．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 的中点. （1）证明：//PB 平面AEC ；
（2）设1AP =，AD =P ABD -的体积4
V =
，求A 到平面PBC 的距离.
111]
23．在直角坐标系xOy 中，已知一动圆经过点(2,0)且在y 轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨 迹为曲线C ．
（1）求曲线C 的方程；111]
（2）过点(1,0)作互相垂直的两条直线，，与曲线C 交于A ，B 两点与曲线C 交于E ，F 两点， 线段AB ，EF 的中点分别为M ，N ，求证：直线MN 过定点P ，并求出定点P 的坐标．
24．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==α
α
sin cos 2y x （α为参数），过点)0,1(P 的直线交曲线C 于B A 、两点.
（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程；
（2）求||||PB PA ⋅的最值.
临沂市高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：对于A，设正方体的上底面为α，下底面为β，直线c是平面β内一条直线
因为α∥β，c⊂β，可得c∥α，而正方体上底面为α内的任意直线b不一定与直线c平行
故b⊂α，c∥α，不能推出b∥c．得A项不正确；
对于B，因为α⊥β，设α∩β=b，若直线c∥b，则满足c∥α，α⊥β，
但此时直线c⊂β或c∥β，推不出c⊥β，故B项不正确；
对于C，当b⊂α，c⊄α且b∥c时，可推出c∥α．
但是条件中缺少“c⊄α”这一条，故C项不正确；
对于D，因为c∥α，设经过c的平面γ交平面α于b，则有c∥b
结合c⊥β得b⊥β，由b⊂α可得α⊥β，故D项是真命题
故选：D
【点评】本题给出空间位置关系的几个命题，要我们找出其中的真命题，着重考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．
2．【答案】A
【解析】解：∵椭圆和圆为椭圆的半焦距）的中心都在原点，且它们有四个交点，
∴圆的半径，
由，得2c＞b，再平方，4c2＞b2，
在椭圆中，a2=b2+c2＜5c2，
∴；
由，得b+2c＜2a，
再平方，b2+4c2+4bc＜4a2，
∴3c2+4bc＜3a2，
∴4bc＜3b2，
∴4c＜3b，
∴16c 2＜9b 2
， ∴16c 2＜9a 2﹣9c 2
， ∴9a 2＞25c 2，
∴，
∴
．
综上所述，．
故选A ．
3． 【答案】B
【解析】解：模拟执行程序框图，可得S=1+3+5+…+99=2500， 故选：B ．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，等差数列的求和公式的应用，属于基础题．
4． 【答案】A
【解析】分类讨论，有2种情形.孪生姐妹乘坐甲车，则有121
21223=C C C 种. 孪生姐妹不乘坐甲车，则有12121213=C C C 种. 共有24种. 选A.
5． 【答案】 C
【解析】 二项式定理． 【专题】计算题．
【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的x k
的系数，将k 的值代入求出各种情况的系数．
【解答】解：（x+2）5的展开式中x k 的系数为C 5k 25﹣k
当k ﹣1时，C 5k 25﹣k =C 5124
=80， 当k=2时，C 5k 25﹣k =C 5223
=80， 当k=3时，C 5k 25﹣k =C 5322
=40， 当k=4时，C 5k 25﹣k =C 54
×2=10， 当k=5时，C 5k 25﹣k =C 55
=1，
故展开式中x k
的系数不可能是50
故选项为C
【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式求特定项的系数．
6． 【答案】C
【解析】解：函数y=sin（2x+）的图象向左平移个单位长度得到y=sin（2x+）的图象，
当x=0时，y=sin=，不是最值，故函数图象不关于y轴对称，
故命题p为假命题；
函数y=|2x﹣1|在[﹣1，0]上是减函数，在[0，+∞）上是增函数．
故命题q为假命题；
则￢q为真命题；
p∨q为假命题；
p∧q为假命题，
故只有C判断错误，
故选：C
7．【答案】D
【解析】解：模拟执行算法框图，可得
A=1，B=1
满足条件A≤5，B=3，A=2
满足条件A≤5，B=7，A=3
满足条件A≤5，B=15，A=4
满足条件A≤5，B=31，A=5
满足条件A≤5，B=63，A=6
不满足条件A≤5，退出循环，输出B的值为63．
故选：D．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确得到每次循环A，B的值是解题的关键，属于基础题．
8．【答案】D
【解析】
【分析】由于长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），有空间想象能力可知MN的中点P的轨迹为以O为球心，以1为半径的球体，故MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积，利用体积分割及球体的体积公式即可．
【解答】解：因为长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），有空间想象能力可知MN的中点P的轨迹为以O为球心，以1为半径的球体，则MN的中点P的轨迹与
三棱锥的面所围成的几何体可能为该球体的或该三棱锥减去此球体的，即：或
．
故选D
9．【答案】D
【解析】解：A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，因此不正确；
B．命题“∃x0∈R，x+x0﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x﹣1≥0”，因此不正确；
C．命题“若x=y，则sin x=sin y”正确，其逆否命题为真命题，因此不正确；
D．命题“p或q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题，正确．
故选：D．
10．【答案】A
【解析】解：函数f（x）=31+|x|﹣为偶函数，
当x≥0时，f（x）=31+x﹣
∵此时y=31+x为增函数，y=为减函数，
∴当x≥0时，f（x）为增函数，
则当x≤0时，f（x）为减函数，
∵f（x）＞f（2x﹣1），
∴|x|＞|2x﹣1|，
∴x2＞（2x﹣1）2，
解得：x∈，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的奇偶性，函数的单调性，难度中档．
11．【答案】C
【解析】解：令f（x）=x2﹣mx+3，
若方程x2﹣mx+3=0的两根满足一根大于1，一根小于1，
则f（1）=1﹣m+3＜0，
解得：m∈（4，+∞），
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是方程的根与函数零点的关系，二次函数的图象和性质，难度中档．12．【答案】B
【解析】解：1＜log23＜2，0＜8﹣0.4=2﹣1.2，sinπ=sinπ，
∴a＞c＞b，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据对数函数，指数函数以及三角函数的图象和性质是解决本题的关键．
二、填空题
13．【答案】10cm
【解析】解：作出圆柱的侧面展开图如图所示，设A关于茶杯口的对称点为A′，
则A′A=4cm，BC=6cm，∴A′C=8cm，
∴A′B==10cm．
故答案为：10．
【点评】本题考查了曲面的最短距离问题，通常转化为平面图形来解决．
14．【答案】D
【解析】解：把抛物线y=x2方程化为标准形式为x2=8y，
∴焦点坐标为（0，2）．
故选：D．
【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，把抛物线的方程化为标准形式是关键．
15．【答案】[，4]．
【解析】解：由题意知≤log
x≤2，即log2≤log2x≤log24，
∴≤x≤4．
故答案为：[，4]．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，正确理解“函数y=f （x ）的定义域是
[，2]
，得到≤log 2x ≤2”是关键，考查理解与运算能力，属于中档题．
16．【答案】 充分不必要
【解析】解：∵复数z=（a ﹣2i ）（1+i ）=a+2+（a ﹣2）i ， ∴在复平面内对应的点M 的坐标是（a+2，a ﹣2）， 若点在第四象限则a+2＞0，a ﹣2＜0， ∴﹣2＜a ＜2，
∴“a=1”是“点M 在第四象限”的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要．
【点评】本题考查条件问题，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查各个象限的点的坐标特点，本题是一个基础题．
17．【答案】53,124⎛⎤
⎥⎝⎦
【解析】
试题分析：
作出函数y =
()23y k x =-+的图象，
如图所示，
函数y =的图象是一个半圆，直线()23y k x =-+的图象恒过定点()2,3，结合图象，可知，当过点()2,0-时，303
224
k -=
=+，当直线()23y k x =-+
2=，解得512k =，所以实数的取值范围是53,124⎛⎤
⎥⎝⎦
.111]
考点：直线与圆的位置关系的应用．
【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、两点间的斜率公式，以及函数的图像的应用等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想和学生的分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中把方程的根转化为直线与半圆的交点是解答的关键. 18．【答案】
4
3
【解析】
试题分析：由1tan tan()24
1tan π
ααα++
=
=-得1tan 3α=， tan tan[()]βαβα=+-tan()tan 1tan()tan αβα
αβα
+-=++
1
34313133-
=
=+⨯
． 考点：两角和与差的正切公式．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）a=1时，因为f （x ）=x ﹣lnx ，f ′（x ）=1
﹣， ∴当0＜x ＜1时，f ′（x ）＜0，此时函数f （x ）单调递减． 当1＜x ≤e 时，f ′（x ）＞0，此时函数f （x ）单调递增．
所以函数f （x ）的极小值为f （1）=1．
（2）因为函数f （x ）的极小值为1，即函数f （x ）在（0，e]上的最小值为1． 又g ′（x ）=
，所以当0＜x ＜e 时，g ′（x ）＞0，此时g （x ）单调递增．
所以g （x ）的最大值为g （e ）
=， 所以f （x ）min ﹣g （x ）max
＞，
所以在（1）的条件下，f （x ）＞g （x ）
+．
【点评】本题主要考查利用函数的单调性研究函数的单调性问题，考查函数的极值问题，本题属于中档题．．
20．【答案】
【解析】解：（1）p ：实数x 满足x 2﹣4ax+3a 2
＜0，其中a ＞0 ⇔（x ﹣3a ）（x ﹣a ）＜0，∵a ＞0为，所以a ＜x ＜3a ；
当a=1时，p ：1＜x ＜3；
命题q ：实数x 满足x 2
﹣5x+6≤0⇔2≤x ≤3；若p ∧q 为真，则p 真且q 真，∴2≤x ＜3；
故x 的取值范围是[2，3）
（2）p 是q 的必要不充分条件，即由p 得不到q ，而由q 能得到p ；
∴（a ，3a ）⊃[2，3]
⇔
，1＜a ＜2
∴实数a 的取值范围是（1，2）．
【点评】考查解一元二次不等式，p ∧q 的真假和p ，q 真假的关系，以及充分条件、必要条件、必要不充分条件的概念．属于基础题．
21．【答案】
【解析】
解：（1）设等比数列的公比为
由已知，得，解得
（2）由（1）得
设等差数列的公差为
，则
，解得
22．【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】
试
题解析：（1）设BD 和AC 交于点O ，连接EO ，因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点，又E 为PD 的中点，所以//EO PB ，EO ⊂且平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以//PB 平面AEC .
（2）136V PA AB AD AB =
=，由V =
，可得32AB =，作A H P B ⊥交PB 于H .由题设知BC ⊥平面PAB ，所以BC AH ⊥，故AH ⊥平面PBC ，又313
PA AB AH PB ==
，所以A 到平面PBC 的距离为
.1 考点：1、棱锥的体积公式；2、直线与平面平行的判定定理. 23．【答案】（１） 2
4y x =；（２）证明见解析；(3,0)． 【解析】
（2）易知直线，的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则直线：(1)y k x =-，1212
(
,)22
x x y y M ++， 由24,
(1),
y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222(24)0k x k x k -++=， 2242(24)416160k k k ∆=+-=+>，
考点：曲线的轨迹方程；直线与抛物线的位置关系．
【易错点睛】导数法解决函数的单调性问题：（1）当)(x f 不含参数时，可通过解不等式)
0)((0)('
'<>x f x f 直接得到单调递增（或递减）区间．（2）已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件
),(),0)((0)(''b a x x f x f ∈≤≥恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立的理论求解），应注意
参数的取值是)('x f 不恒等于的参数的范围．
24．【答案】（1）
12
22
=+y x .（2）||||PB PA ⋅的最大值为，最小值为21. 【解析】
试
题解析：解：（1）曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==α
α
sin cos 2y x （α为参数），消去参数α
得曲线C 的普通方程为12
22
=+y x （3分） （2）由题意知，直线的参数方程为⎩⎨⎧=+=θθsin cos 1t y t x （为参数），将⎩⎨⎧=+=θ
θsin cos 1t y t x 代入1222
=+y x 得01cos 2)sin 2(cos 222=-++θθθt t （6分） 设B A ,对应的参数分别为21,t t ，则]1,2
1
[sin 11sin 2cos 1||||||22221∈+=+==⋅θθθt t PB PA .
∴||||PB PA ⋅的最大值为，最小值为2
1
. （10分） 考点：参数方程化成普通方程．。