高中数学最新-直线的方程教案5 精品

第3课 直线的方程（3） 【学习导航】
学习要求
（1）掌握直线方程的一般式0=++C By Ax （,A B 不同时为0），
理解直线方程的一般式包含的两方面的含义：①直线的方程是都是关于,x y 的二元一次方程；②关于,x y 的二元一次方程的图形是直线；
（2）掌握直线方程的各种形式之间的互相转化． 【课堂互动】
自学评价
1．直线方程的一般式0=++C By Ax 中，,A B 满足条件 不全为零 ，当0A =，0B ≠时，方程表示垂直于 y 轴 的直线，当0B =，0A ≠时，方程表示垂直于 x 轴 的直线．
【精典范例】
例1：已知直线过点(6,4)A -，斜率为43
-
，求该直线的点斜式和一般式方程及截距式方程． 【解】经过点(6,4)A -且斜率43-的直线方程的点斜式44(6)3
y x +=--，化成一般式，得：43120x y +-=，化成截距式，得：134x y +=．
例2：求直线:35150l x y +-=的斜率及x 轴，y 轴上的截距，并作图．
【解】直线:35150l x y +-=的方程可写成335y x =-+，∴直线l 的斜率35k =-；y 轴上的截距为3；当0y =时，5x =，
∴ x 轴上的截距为5．图略．
例3：设直线2:(23)l m m x --+2(21)m m y +- 260m -+=(1)m ≠-根据下列条件分别确定m 的值：（1）直线l 在 x 轴上的截距为3-；（2）直线l 的斜率为1．
【解】（1）令0y =得 22623m x m m -=--，由题知，226323m m m -=---，解得3
5-=m ． （2）∵直线l 的斜率为222321
m m k m m --=-+-， ∴2223121m m m m ---=+-，解得43m =．
听课随笔
例4: 求斜率为
34
，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线方程． 【解】设直线方程为34
y x b =+， 令0y =，得43
x b =-， ∴14|()|623
b b ⋅-=，∴3b =±， 所以，所求直线方程为34120x y --=或34120x y -+=．
追踪训练一 1.已知直线l 的倾斜角为60，在y 轴上的截距为4-，求直线l 的点斜式、截距式、斜截式和一般式方程．
答案：点斜式方程：40)y x +=-
斜截式方程：4y =-
14
y +=-
40y --= 【选修延伸】
一、直线经过象限问题
例5: 若直线(23)20t x y t -++=不经过第二象限，求t 的取值范围．
分析：可以从直线的斜率和直线在y 轴上的截距两方面来考虑． 【解】直线方程可化为： 3()22
t y t x =--， 由题意得：30202
t t ⎧-≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，解得302t ≤≤． 二、直线过定点问题
例6：求证：不论m 取什么实数，直线
(21)(3)(11)0m x m y m --+--=恒过定点，并求此定点坐标．
【解】法1：令12
m =得3y =；令3m =-得2x =；两直线交点为(2,3)P ，将点(2,3)P 坐标代入原直线方程，得
(21)2(3)3(11)0m m m -⨯-+⨯--=恒成立，因此，直线过定点(2,3)P ．
法2：将方程化为
(311)(21)0x y x y m +----=，
当3110210
x y x y +-=⎧⎨--=⎩即23x y =⎧⎨=⎩时，以上方程恒成立，即定点(2,3)P 的坐标恒满足原直线方程，
因此，直线过定点(2,3)P ．
例7：在例5中，能证明“直线恒过第三象限”吗？ 提示：直线恒过定点13(,)24
P --，而P 点在第三象限．
思维点拔：
证明直线过定点问题，要找到一定点，证明其坐标始终满足直线方程即可，通常采用“例6”中的两种方法来寻求定点．
追踪训练二 1．若0,0pr qr <<，则直线0px qy r ++=不经过（ C ）
()A 第一象限 ()B 第二象限
()C 第三象限 ()D 第四象限
2．若直线10mx ny +-=经过第一、二、三象限，求实数,m n 满足的条件． 答案：将直线方程化为：1(0)m y x n n n =-+≠，由已知可得00100m m n n n
⎧->⎪<⎧⎪⇒⎨⎨>⎩⎪>⎪⎩； 当0n =时，直线方程为10mx -=，不满足条件，
∴实数,m n 满足条件00m n <⎧⎨>⎩
3．证明：不论m 取什么实数，直线(2)m x +-
(21)34m y m -=-恒过定点，并求出该定点坐标．
提示：仿“例6”可证得直线过定点(1,2)--．
听课随笔。