全国高中数学联赛一试A卷word版

2019 年全国高中数学结合比赛一试一试题（ A 卷）
一、填空题：本大题共8 小题，每题8 分，满分64 分.
1.已知正实数知足，则的值为.
2.若实数集的最大元素与最小元素之差等于该会合的全部元素之和，则的
值为.
3.平面直角坐标系中，是单位向量，向量知足，且对随意
实数建立，则的取值范围是.
4.设为椭圆的长轴极点，为的两个焦点，，，
为上一点，知足，则的面积为.
5.在中随机选出一个数，在中随机选出一个数
，则被整除的概率为.
6.对随意闭区间，用表示函数在上的最大值 .若正数知足
，则的值为.
7.如图，正方体的一个截面经过极点
及棱上一点，且将正方体分红体积比为的两部分，
则的值为.
8.将个数按随意序次排成一行，拼成一个位数（首位不为），则
产生的不一样的位数的个数为.
二、解答题：本大题共 3 小题，满分56 分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

9.在中，，，.若是与的等比中项，且是
与的等差中项，求的值.
10.在平面直角坐标系中，圆与抛物线恰有一个公共点，且圆与轴
相切于的焦点.求圆的半径.
11.称一个复数数列为“风趣的”，若，且对随意正整数，均有.求最大的常数，使得对全部风趣的数列及随意正
整数，均有。