江西省师大附中2015届高三数学上学期期中试题 理(含解析)新人教A版

江西师大附中2015届高三年级数学（理）期中试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．设集合{1,2,4,6,8},{1,2,3,5,6,7}M N ==，则M
N 中元素的个数为（ ）
A ．3
B ．2
C ．7
D ．5
【知识点】集合的交集A1
【答案】【解析】A 解析：因为{1,2,4,6,8},{1,2,3,5,6,7}M N ==，所以M N ={1,2,6}，
所以交集的元素个数为3，则选A.
【思路点拨】可先求出两个集合的交集，再判断两个集合交集的元素个数.
2．若0a <，0b <，则22
b a p a b
=+与q a b =+的大小关系为 （ ）
A. p q <
B. p q ≤
C. p q >
D. p q ≥
【知识点】不等式的性质E1
【答案】【解析】B 解析：因为()()2
22
0b a b a b a p q a b a b ab
-+-=+--=
≤，所以p q ≤，则选B
【思路点拨】比较两个实数大小若无基本不等式特征及函数的单调性特征，可考虑利用差值比较法.
3．下列函数中，既是偶函数又在),0(+∞上单调递增的函数是( )
A. 3x y =
B. 12
+-=x y C. 1+=x y D. x
y -=2
【知识点】函数的单调性 偶函数B3 B4
【答案】【解析】C 解析：因为函数为偶函数，所以排除A ，又函数在),0(+∞上单调递增，排除B,D ，所以选C.
【思路点拨】由函数的性质判断函数解析式，可利用其性质依次排除不满足条件的选项，本题注意利用复合函数的单调性规律进行判断. 【题文】4．设曲线1
1
x y x +=
-在点(32)，处的切线与直线01=+-y ax 平行，则a =（ ） A ．2
B ．2-
C ． 12
D ． 1
2
-
【知识点】导数的几何意义B11 【答案】【解析】D 解析：因为()
2
122
1,'111x y y x x x +=
=+=----，则曲线在点(32)，处的切线斜率为()
2
2
1
2
31-
=--，所以12a =-，则选D.
【思路点拨】利用导数的几何意义可知切线的斜率等于曲线在切点处的导数值，由此建立关
于a 的方程求解即可.
【题文】5．AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，(2,4),(1,3),AB AC AD 则===（ ）
A ．(1,1)--
B ．(3,7)
C ．(1,1)
D ．(2,4)
【知识点】向量的加法与减法F1
【答案】【解析】A 解析：因为()()()1,32,41,1AD AC AB =-=-=--,所以选A. 【思路点拨】由向量的加法运算可知AD AC AB =-，再利用向量的坐标运算解答即可. 【题文】6．已知0>t ，若
8)22(0=-⎰t
dx x ，则t =（ ）
A.1
B. 4
C.-2或4
D. -2
【知识点】定积分B13
【答案】【解析】B 解析：因为
()()2
200
22228t
t x dx x
x t t -=-=-=⎰，解得t=4或
t=﹣2，又t ＞0，所以t=4，则选B.
【思路点拨】可利用公式先求出定积分，再解方程求t ，注意定积分上下标之间的大小关系.
【题文】7．已知变量y x ,满足条件120x y x y ≥⎧⎪
≤⎨⎪-≤⎩
，则2z x y =+的最小值是（ ）
A. 6
B.4
C.3
D.2
【知识点】简单的线性规划E5 【答案】【解析】C 解析：不等式组表示的平面区域如图，显然当动直线z=2x+y 经过顶点A
时目标函数取得最小值为z=2×1+1=3,所以选C.
【思路点拨】由二元一次不等式组，求目标函数的最值，常用数形结合的方法结合目标函数的几何意义进行解答.
【题文】8．某三棱锥的三视图如图所示， 该三棱锥的体积是（ ）
A ．
34
B ．
3
8 C ．2 D ．4
【知识点】三视图，棱锥的体积G2 G7
【答案】【解析】D 解析：由俯视图与侧视图可知三棱锥的底面积为
1
4362
⨯⨯=，由侧视图可知棱锥的高为2，所以棱锥的体积为16243
⨯⨯=，则选D.
【思路点拨】由三视图解答问题，抓住三视图与原几何体的对应关系是解题的关键. 【题文】9．边长为8,7,5的三角形的最大角与最小角的和是（ ）
A ． 120
B ． 135
C ． 90
D ． 150
【知识点】余弦定理C8
【答案】【解析】A 解析：设边长为7对应的角为α，则有2564491
cos 2582
α+-=
=⨯⨯，所以
60α=︒，则三角形的最大角与最小角的和是 120，所以选A.
【思路点拨】抓住三角形内角和公式，利用余弦定理求出中间的角即可.
【题文】10．已知0,0>>y x ，822=++xy y x ，则y x 2+的最小值是（ ）
A. 3
B. 4
C. 29
D. 2
11 【知识点】均值不等式E6
【答案】【解析】B 解析：因为2
282222x y x y xy x y +⎛⎫
=++≤++ ⎪⎝⎭
，得
()
()2
242320x y x y +++-≥，解得24x y +≥，即y x 2+的最小值是4，所以选B.
【思路点拨】观察所给的条件822=++xy y x ，利用基本不等式转化为关于x+2y 的一元二次不等式，解不等式求范围即可.
【题文】11．已知函数⎩
⎨⎧>-≤+-=1,521,2)(2x ax x x x x f ，若存在12,x x R ∈且12x x ≠，使得
12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A. 0<a
B. 0≤a
C. 3<a
D. 30<<a
【知识点】分段函数 函数的单调性 B1 B3 【答案】【解析】C 解析：因为当x ≤1时函数f(x)单调递增，则f(x) ≤1，所以当a ≤0
时，显然满足条件，当a ＞0时，若存在12,x x R ∈且12x x ≠，使得12()()f x f x =成立，应满足2a ﹣5＜1，得a ＜3，综上知实数a 的取值范围是a ＜3，所以选C.
【思路点拨】本题可抓住两段函数的单调性及在分界点处的函数值的关系结合图像特征进行
解答.
【题文】12．已知函数2013
4321)(2013
432x x x x x x f ++-+-+= ，设)4()(+=x f x F ，且函数)(x F 的零点均在区间[,],(,,)a b a b a b Z <∈内，圆2
2
x y b a +=-的面积的最小值
是（ ） A. 4π
B. 3π
C. π
D. 2π
【知识点】函数的零点 导数的应用B9 B12
【答案】【解析】C 解析：因为f(0)=1＞0，()11
1
1023
2013
f -=-
---
<,所以函数在区间[0,1]有零点，又()2342012'1f x x x x x x =-+-+-+,当x ≤0时，
显然f ’(x) ＞0，当0＜x ≤1时，
()()()()()2345201020112012'10f x x x x x x x x x =-+-+-++-+>，当x ＞1时，
()()()()23420112012'10f x x x x x x x =+-++-++
+-+>，综上知
f ’(x) ＞0,所以函数f(x)在R 上单调递增，则函数在区间[0,1]有唯一的零点，所以b ﹣a 的
最小值为1，则圆2
2
x y b a +=-的面积的最小值是π，所以选C.
【思路点拨】一般判断函数的零点所在的区间，通常利用函数的零点存在性定理，本题还应
注意判断零点所在区间的唯一性.
【题文】二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
【题文】13．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若12543=++a a a ，则7S _____________. 【知识点】等差数列D2
【答案】【解析】28 解析：因为3454312a a a a ++==，则4744,728a S a ===. 【思路点拨】一般遇到等差数列问题时，可先通过观察其项数判断有无性质特征，能用性质的用性质解答，不能用性质的用公式解答.
【题文】14．若不等式2350ax x -+>的解集为{|1}x m x <<，则实数m =_____________. 【知识点】一元二次不等式解法E3 【答案】【解析】5
2
m =-
解析：因为不等式2350ax x -+>的解集为{|1}x m x <<，所以a ﹣3+5=0，得a=﹣2，由2
2350x x --+=解得x=1或52x =-，所以52
m =-.
【思路点拨】一元二次不等式的解集中的端点值即为对应的一元二次方程的根.
【题文】15.已知函数sin()3y x π=+13([0,])6
x π
∈的图像与直线y m =有且只有两个交点，且交
点的横坐标分别为1212,()x x x x <，那么12x x +=_____________. 【知识点】三角函数的图像与性质C3
【答案】【解析】
73π 解析：因为当x=0时，当136
x π
=时，y=1，所以若函数
sin()3
y x π
=+
13([0,
])6
x π
∈的图像与直线y m =有且只有两个交点，则m=1或
1m -<<
,此时两焦点显然关于直线76
x π=，则1277263x x ππ+=⨯=
.
【思路点拨】一般遇到两个函数的图像交点个数问题时，可利用数形结合的方法进行解答. 【题文】16．已知函数2
)1ln()(x x a x f -+=在区间)1,0(内任取两个实数q p ,，且q p ≠，
不等式
1)
1()1(>-+-+q
p q f p f 恒成立，则实数a 的取值范围为_____________．
【知识点】函数的单调性，导数的应用B3 B12
【答案】【解析】[15,+ ∞) 解析：因为，不妨设，
因为，所以，所以在内是增函数，所以
在
内恒成立，即
恒成立，所以
的最大值，因为
在
上的最大值为
，所以实数的取值范围为
.
【思路点拨】结合函数的单调性定义把不等式转化为函数值的大小关系，得到函数的单调性，再利用函数的单调性利用导数解答.
【题文】三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【题文】17. (本小题满分10分)设：p 实数x 满足0)3)((<--a x a x ，其中0>a .
：q 实数x 满足⎪⎩⎪⎨⎧>+-<+-0
1580
862
2
x x x x . （1）若1=a 且q p ∧为真，求实数x 的取值范围；
（2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.
【知识点】基本逻辑联结词，充分条件与必要条件A2 A3 【答案】【解析】（1）32<<x ；（2）21≤≤a . 解析：依题意知：a x a p 3:<<
⎩⎨
⎧>--<--0)5)(3(0
)4)(2(:x x x x q ，所以⎩⎨⎧<><<3
542x x x 或，即32<<x .
（1）当1=a 时，31:<<x p 要使q p ∧为真，则须满足⎩⎨
⎧<<<<3
23
1x x ，解得：32<<x ；
（2） p 是q 的必要不充分条件 ∴)3,()3,2(a a ⊂
⎩
⎨⎧≥≤∴332
a a ，解得：21≤≤a . 【思路点拨】（1）结合真值表由q p ∧为真判断出p,q 的真假，再进行解答；（2）若p 是q 的必要不充分条件，则由q 能推出p ，而由p 不能推出q.
【题文】18. (本小题满分12分)设向量a =)1sin (cos --，x x ωω，b =)1sin 2(-，x ω，其中
0>ω，R x ∈,已知函数=)(x f a ·b 的最小正周期为π4. （1）求ω的值；
（2）若0sin x 是关于t 的方程0122
=--t t 的根，且0(,)22
x ππ∈-，求0()f x 的值. 【知识点】向量的坐标运算 三角函数的性质C3 F2
【答案】【解析】（1）4
1
=
ω;（2）2
解析：(1) )1,sin 2()1,sin (cos )(-⋅--=⋅=x x x b a x f ωωω x x x x x ωωωωω2cos 2sin 1sin 2cos sin 22+=+-= )4
2sin(2π
ω+
=
x
因为 π4=T 所以 πωπ422= 4
1=ω (2) 方程0122=--t t 的两根为 1,2
1
21=-=t t
因为 0(,
)2
2x π
π
∈- 所以 0sin (1,1)x ∈-，所以01
sin 2
x =- 即06
x π
=-
又由已知001()sin()24
f x x π=+
所以 2
2
6
sin
2)4
12
sin(2)6
(=
=+
-
=-
π
π
π
π
f
【思路点拨】一般研究与三角有关的函数性质，通常先化成一个角的三角函数再进行解答. 【题文】19. (本小题满分12分)已知函数)10(log )(≠>+=a a m x x f a 且的图象过点(8,2)，
点(3,1)P -关于直线2x =的对称点Q 在()f x 的图象上． （1）求函数()f x 的解析式；
（2）令)1()(2)(--=x f x f x g ，求)(x g 的最小值及取得最小值时x 的值．
【知识点】函数解析式的求法，对数函数的性质B1 B7 【答案】【解析】（1）2()1log f x x =-+;（2）当2x =时，函数()g x 取得最小值1． 解析：（1）点(3,1)P -关于直线2x =的对称点Q 的坐标为(1,1)Q -.
由(8)2,
(1)1,f f =⎧⎨=-⎩得log 82,log 11,a a m m +=⎧⎨+=-⎩
解得1m =-，2a =，故函数解析式为2()1log f x x =-+．
（2）()2()(1)g x f x f x =--222(1log )[1log (1)]x x =-+--+-2
2log 11x x =--（1x >）
，
∵22(1)2(1)11(1)224111x x x x x x x -+-+==-++≥+=---， 当且仅当1
11
x x -=
-即2x =时，“＝”成立， 而函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增，则2
22log 1log 4111x x -≥-=-，
故当2x =时，函数()g x 取得最小值1．
【思路点拨】（1）直接把函数图像所经过的点的坐标代入函数解析式求解即可；（2）可先求函数的定义域，再把函数化成只有一个对数的函数，利用对数的单调性转化为求真数的最值问题.
【题文】20. (本小题满分12分)如图，在四棱锥S ABCD -中，侧棱SA ⊥底面ABCD ，//AD BC ,90ABC ∠=，2SA AB BC ===，1AD =．M 是棱SB 的中点． （1）求证：//AM 面SCD ；
（2）设点N 是线段CD 上的一点，且AN 在AD 方向上的射影为a ，记MN 与面SAB 所成的角为θ，问：a 为何值时，sin θ取最大值？ 【知识点】直线与平面平行 线面所成的角G10 G11
【答案】【解析】（1）略；（2）5
3a =时，7
35sin max =θ .
解析：（1）以点A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则 (000),(020),(220),(100),(002),(011)A B C D S M ，，，，，，，，，，，，
则(011),(102),(120)AM SD CD ==-=--，，，，，， 设平面SCD 的法向量是(x y z)n =，，，则
0,0,SD n CD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
即20,20,x z x y -=⎧⎨--=⎩
令1z =，则2,1x y ==-，于是(211)n =-，，
∵0AM n ⋅=，∴AM n ⊥，∴AM//平面SCD
（2）设(,22,0)N a a -，则(,23,1)MN a a =--. 又，面SAB 的法向量为()11,0,0n =，
A D C S
M B
所以2
2
2
2(,23,1)(1,0,0)1
sin 11(23)1
51210
10()12()5a a a a a a a a a
θ--=
=
=
+-+-+-+.
当
135a =，即5
3
a =时，7
35
sin max =θ
【思路点拨】证明线面平行可先考虑线面平行的判定定理，若证明不方便可利用向量解答，对于求角问题一般考虑用向量解答.
【题文】21.(本小题满分12分)已知数列{}n a 满足0211=+-+-n n n a a a )2(≥∈*
n N n 且，
且,21=a 43=a .数列{}n b 的前n 项和为)(12*∈-=N n b S n n . （1）求数列{}{}n n b a ,的通项公式；
（2）符号[]x 表示不超过实数x 的最大整数，记[])1(log 2-=n n a c ，n T 为数列{}n c 的前n
项和，求n T 2.
【知识点】数列的通项公式 数列求和D1 D4
【答案】【解析】（1）1n a n =+,12-=n n b ;（2）2(2)22n n
T n n =-++ 解析：（1）依题意知数列{}n a 为等差数列 所以2213==-d a a ，即公差1=d . 故 1n a n =+
由12-=n n b S 得：1211-=++n n b S 两式相减得：n n b b 21=+
所以数列{}n b 为等比数列，令1=n 得1211-=b S ，即11=b 所以12-=n n b .
（2）由（1）知1
n a n =+，所以
[]n c n 2log =.
当122+<≤k k n 时，[]k n =2log ，N k ∈.
所以[][][][]
n
n
n T 2log )12(log 2log 1log 22222+-+++=
[
][][
]
[][][])15log 2log ()7log 2log ()3log 2log (232222212+++++++= ++ [
][
]
[
]))12(log )12(log 2log (21212-++++--n n n []
n 2log 2+
n n T n n +-++⨯+⨯+=∴-13222)1(23222
n n n T n n n 22)1(2)2(222121322+-+-++⨯+⨯=-
两式相减得：n n n n T n 2)1(2
221
2
2---+++=--
22)2(2++-=∴n n T n n .
【思路点拨】（1）一般遇到数列的前n 项和与通项之间的递推关系，可先利用和与项的关系转化为相邻项的递推公式再进行解答；（2）一般数列求和问题，通常结合其通项公式特征确定求和思路进行求和.
【题文】22. (本小题满分12分)已知函数R m m mx x x f ∈+-=,ln )(.
（1）是否存在实数m ，使得不等式0)(≤x f 在),0(+∞上恒成立？若存在，求出m 的值；
若不存在，请说明理由.
（2）求证：e n
n n
<+++⨯+⨯+⨯+-])
12)(12(21[)9581)(5341)(3221(1 （其中*n ∈N ，e 是自然对数的底数）．
【知识点】导数的综合应用B12 E7
【答案】【解析】（1）m=1.;（2）略. 解析：（1）m x
x f -=1
)(' （i ）
当0≤m 时，)(x f 在),0(+∞单调递增.
当),1(+∞∈x 时，0)1()(=>f x f ，不合题意. （ii ）
当0>m 时，x
mx
x f -=
1)('. 由0)('
>x f 得m x 10<<，令0)('
<x f 得m
x 1>. 所以)1,
0(m 单调递增，⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡+∞,1m 单调递减. 要使0)(≤x f 恒成立，只须max 1()ln 10f x f m m m ⎛⎫
==--+≤ ⎪⎝⎭
， 令()ln 1g m m m =--+，()11
1m g m m m
-'=-
=
，所以()0,1m ∈，()0g m '<，()1,m ∈+∞， ()0g m '>，()min (1)0g m g ==，所以m=1.
综上，m 的取值范围是m=1.
（1） 据（1）知1ln -≤x x 在),0(+∞上恒成立.
所以ln(1)x x +≤在区间(1,)-+∞上恒成立
又11211
2()(21)(21)2121n n n n n --=-++++，[来源:] ∵12482ln{(1)(1)(1)[1]}233559
(21)(21)
n
n n -+++⋅
⋅+⨯⨯⨯++
1248
2ln(1)ln(1)ln(1)ln[1]233559
(21)(21)
n
n n -=++++++
++⨯⨯⨯++
1
2482233559(21)(21)n
n n -<++++⨯⨯⨯++ 1111111112[()()()()]2335592121n n -=-+-+-++-++
11
2[()]1221n =-<+，
∴12482(1)(1)(1)[1]e 233559(21)(21)
n
n n -+++⋅⋅+<⨯⨯⨯++．
【思路点拨】（1）一般遇到不等式恒成立问题，通常转化为函数的最值问题进行解答；（2）
可利用放缩法证明不等式.。