莫尔应力圆演示文稿

一、粉体的抗剪强度规律
库仑定律
tani c
对于非粘性粉体 τ=σtgφi 对于粘性粉体 τ= c +σtgφi
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库仑粉体：符合库仑定律的粉体 C C
粉体流动和临界流动的充要条件，临界流动条件在（σ ，τ）坐标中是直线：IYF
莫尔-库仑定律：粉体内任一点的莫尔应力圆在IYF 的下方时，粉体将处于静止状态；粉体内某一点的 莫尔应力圆与IYF相切时，粉体处于临界流动或流动状
B σ
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剪切破坏面
极限应力圆 破坏应力圆
3.2 莫尔-库仑定律
临界流动状态或流动状态
时，两个滑移面：S和S’ 滑移面夹角90-φi
滑移面与最小主应力面夹
角45 -φi/2，与最大主 应力面夹角45 +φi/2 莫尔圆半径：p*sinφ
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3.2 莫尔-库仑定律
最大主应力
⑶破裂面不发生在最大剪应力作用面(a =45°，该面上的抗剪强度最
大)上，而是在应力圆与强度包线相切点所代表的截面上，即与大主
应力面成角的斜面上。
0 45 / 2
⑷如果同一种土有几个试样在不同的大、小主应力组合下受剪破坏，可得几个莫尔极限应力 圆，这些应力圆的公切线就是其强度包线。前已指出，库仑强度包络线可视为一直线。
1873 年 , Mohr到德累斯顿 (Dresden) 技术学院任教， 直到1900 年他 65 岁时。退休后 , Mohr留在德累斯 顿继续从事科学研究工作直至 1918 年去世。
Mohr 提出了用应力圆表示一点应力的方法
（所以应力圆也被成为 Mohr 圆），并将其扩展到三维 问题。应用应力圆，他提出了第一强度理论。 Mohr
态
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二 莫尔-库仑定律
把莫尔应力圆与库仑抗 剪强度定律互相结合起来。 通过两者之间的对照来对粉 体所处的状态进行判别。把 莫尔应力圆与库仑抗剪强度 线相切时的应力状态，破坏 状态—称为莫尔－库仑破坏 准则，它是目前判别粉体(粉 体单元)所处状态的最常用或 最基本的准则。
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3.5 粉体应力计算
3.5.1 詹森（Janssen)公式
液体容器： p h同一水平面压力相等，帕斯卡定
理和连通器原理成立 粉体容器：完全不同。假设：
（1）容器内粉体层处于极限应力状态 （2）同一水平面的铅垂压力相等，水平和垂直方向
的应力是主应力
（3）物性和填充状态均一，内摩擦因数均一
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2 w 180 ( w) Rsin psin R p sini sin sin
sin i
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3.4 朗肯(Rankine,1957)应力状态
朗肯主动应力状态 朗肯被动应力状态
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3.4 朗肯(Rankine,1957)应力状态
被动土压
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莫尔应力圆圆周上的任意点，都代表着单元粉体中相应面上的 应力状态。
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3.2 莫尔-库仑定律
莫尔最初提出的强度理论，认为材料破坏是剪
切破坏，在破坏面上τf=f(σ)，由此函数关系所
定的曲线，称为莫尔破坏包络线。1776年，库仑
总结出粉体（土）的抗剪强度规律。
库仑定律是莫尔强度理论的特
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◇任意斜面上的应力
在微元体上取任一截面，与大主应力面即水平面成角，斜面上 作用法向应力和剪应力。现在求、与1、3之间的关系。
取厚度为1，按平面问题计算。根据静力平衡条件与竖向合力 为零。
x 0 sin ds cos ds 3 sin ds 0
y 0 cos ds sin ds 1 cos ds 0
可得一圆的方程。该圆即为莫尔应力圆。
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Mohr 1835 年生于德国， 16 岁入 Hannover 技术学
院学习。毕业后，在铁路工作，作为结构工程师，曾设计 了不少一流的钢桁架结构和德国一些最著名的桥梁。他是
19 世纪欧洲最杰出的土木工程师之一。与此同时，
Mohr也一直在进行力学和材料强度方面的理论研究工作。
xx p R cos 2 c cosi p (1 sini cos 2 ) c coti yy p (1 sini cos 2 ) c cot i
yx xy R sin 2 p sin i sin 2
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3.2 莫尔-库仑定律
Molerus Ⅰ类粉体：初始抗剪强度为零的粉体 Molerus Ⅱ类粉体：初始抗剪强度不为零，但与
)
2
30
tan 2
60
90kPa
100kPa
这表明：在σ3=30kPa的条件下，该点如处
于极限平衡，则最大主应力为90kPa
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。故可判断该点已破坏。
3.3 壁面最大主应力方向
库仑粉体： C C t
粉体在壁面处的滑移条 件在（σ，τ）坐标中也
A
是直线：WYF；壁面粗 Φ D 糙时， WYF与IYF接近
主动土压
3.4 朗肯(Rankine,1957)应力状态
yy B gy
朗肯主动应力状态，根据莫尔－库仑定律为
A p*A RA c cot i p*A (1 sin i ) c cot i
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3.4 朗肯(Rankine,1957)应力状态
A p*A RA c cot i p*A (1 sin i ) c cot i
1 3 1 3 cos 2
2
2
1 3 sin 2
2
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◇用摩尔应力圆表示斜面上的应力 由前两式平方并相加，整理得
( 1 3 )2 2 (1 3 )2
2
2
在στ坐标平面内，粉体单元体的应力状态的轨迹是一个圆， 圆心落在σ轴上，与坐标原点的距离为(σ1+ σ3)/2,半径为 (σ1- σ3)/2, 该圆就称为莫尔应力圆。
莫尔应力圆演示文稿
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（优选）莫尔应力圆.
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3.1 莫尔应力圆
一、粉体的应力规定
粉体内部的滑动可沿任何一个面发生，只要该面上的
剪应力达到其抗剪强度。
xx xy xz
yx yy yz zx zy
zz
粉体主要承受压缩作用，粉体的正应力规定压应力为
正，拉应力为负；切应力是逆时针为正，顺为负。
重合。
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IYE WYF
B
s
C WYE
IYF
3.3 壁面最大主应力方向
若壁面应力状态对应A点：
2 180 ( )
若壁面应力状态对应B点：
2 360 ( )
若壁面应力状态对应C点：
2 w w
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3.3 壁面最大主应力方向
若壁面应力状态对应D点：
A
1 1
sin i sin i
yy
2c cosi 1 sin i
c=0
A
1 sin i 1 sin i
yy
1 sin i 1 sin i
B gy
K AB gy
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3.4 朗肯(Rankine,1957)应力状态
KA
1 sin i 1 sin i
KA－朗肯主动应力系数，简称主动态系数
对结构理论也有重要的贡献，如计算梁挠度的图乘法、应 用虚位移原理计算超静定结构的位移等。
Christian Otto Mohr
(1835-1918)
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2、研究内容 研究粉体体内任一微小单元体的应力状态。
1）主应力与主应力面
2）主应力相互正交
3）任意一面上：正应力和剪应力
一点应力状态的表示方法：？？？
根据这一准则，当粉体 处于极限平衡状态即应理 解为破坏状态，此时的莫 尔应力圆即称为极限应力 圆或破坏应力圆，相应的 一对平面即称为剪切破坏 面（简称剪破面）。
莫尔圆与抗剪强度线间的位置关系： 1.莫尔圆位于抗剪强度线的下方； 2.抗剪强度线与莫尔圆在S点相切； 3.抗剪强度线与莫尔圆相割。
τ-σ线为直线a： 处于静止状态
表的平面上，剪应力正好等于极限 剪切应力 ，该点就处于极限平衡状 态。圆Ⅱ称为极限应力圆；
③破坏包络线IYF是摩尔圆Ⅲ的一条割线，这种情况是不存在的，因为该点任何方向上的
剪应力都不可能超过极限剪切应力 。
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粉体的极限平衡条件
τ
f c tg
D
A O
τ＝τf
极限平衡条件
莫尔－库仑破坏准则
例。此时莫尔破坏包线为一直 线。以库仑定律表示莫尔破坏包络 线的理论称莫尔—库仑破坏定律。
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库仑
（C. A. Coulomb）
(1736-1806)
法国军事工程师
在摩擦、电磁方面 奠基性的贡献
1773年发表土压 力方面论文，成为 经典理论。
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3.2 莫尔-库仑定律
1 p (1 sin i ) c cot i
最小主应力
3 p (1 sini ) c cot i
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xx p R cos 2 c cosi p (1 sini cos 2 ) c coti
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3.2 莫尔-库仑定律
粉体处于临界流动状态或流动状态时， 任意点的应力
τ-σ线为直线b： 临界流动状态/流 动状态
τ-σ线为直线c：
不会出现的状态
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3.2 莫尔-库仑定律
① 莫尔圆Ⅰ位于破坏包络线IYF的
下方 ，说明该点在任何平面上 的剪应力都小于极限剪切应力 ，因此不会发生剪切破坏；
② 莫尔圆Ⅱ与破坏包络线IYF相
切 ，切点为 A ，说明在 A 点所代
3.5 粉体应力计算
3.5.1 詹森（Janssen)公式
4
D2 zz
4
D2B g z
4
D2 ( zz
zz )
D z
d zz
dz
4
D
Bg
Molerus I 类粉体
rr tan
r
τw
z
D
σzz z
τw δz
δσzz
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3.5.1 詹森（Janssen)公式
yy
p*A (1 sin i ) c cot i
P49(3-17)
P49(3-16)
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3.4 朗肯(Rankine,1957)应力状态
A p*A RA c cot i p*A (1 sin i ) c cot i
yy p*A (1 sin i ) c cot i
⑸根据莫尔—库仑强度理论可建立粉体体极限平衡条件。
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【例题】某砂土地基的ф=30°，C=0，若在均布条形荷 载p作用下，计算土中某点σ1=100kPa，σ3=30kPa， 问该点是否破坏（你可以用几种方法来判断？）
【解】用四种方法计算。
⑴σ3、Φ、c→σ1：
1
3
tan 2
(45
预压缩应力无关的粉体
Molerus Ⅲ类粉体：初始抗剪强度不为零，且与
预压缩应力有关的粉体，内 摩擦角也与预应力有关
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C C
总结
⑴粉体的抗剪强度随该面上的正应力的大小而变
f tan
f tan c
⑵粉体的强度破坏是由于粉体中某点的剪应力达到粉体的抗剪强度所 致(τ＝τf)；
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二、莫尔应力圆
1、为什么叫莫尔圆 ( Mohr’s Circle ) ？ 首先由Otto Mohr（1835-1918）提出（ 一位工程师）
来由——
一点无穷多个微元上的应力 能否在一张图上表示？
把看成参数，能否找到 与 的函数关系？
①莫尔圆是一种作图法 ②将粉体层内任意点的正应力和剪应力的公式整理后
Molerus I 类粉体: KA是临界流动状态时，
最小主应力与最大主应力之比
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3.4 朗肯(Rankine,1957)应力状态
朗肯被动应力状态，根据莫尔－库仑定律为
P pP* (1 sin i ) c cot i
yy pP* (1 sin i ) c cot i
P
Molerus I 类粉体:KP是临界流动状态时，最大
主应力与最小主应力之比。被动态应力σP与 主动态应力σA之比等于
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P K P (1 sini )2 A K A 1 sini
3.4 朗肯(Rankine,1957)应力状态
朗肯主动应力状态 朗肯被动应力状态
第三十五页，共61页。
1 sin i 1 sin i
yy
2c cosi 1 sin i
P
1 sin i 1 sin i
yy
1 sin i 1 sin i
B gy
KP B gy
第三十三页，共61页。
c=0
3.4 朗肯(Rankine,1957)应力状态
KP
1 sin i 1 sin i
Kp－朗肯被动应力系数，简称被动态系数