高考数学同步辅导第36讲绝对值不等式试题

一线名师(mínɡ shī)指点07年高考数学同步(tóngbù)辅导第36讲绝对值不等
式
【考点(kǎo diǎn)回放】
1．解绝对值不等式的根本思想:解绝对值不等式的根本思想是去绝对值，常采用的方法(fāngfǎ)是讨论符号和平方
2．注意利用三角不等式证明含有绝对值的问题
||a|─|b||≤|a+b|≤|a|+|b|;||a|─|b||≤|a─b|≤|a|+|b|;并指出等号条件
3．(1)|f(x)|<g(x)⇔─g(x)<f(x)<g(x);
(2)|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或者f(x)<─g(x)〔无论g(x)是否为正〕
〔3〕含绝对值的不等式性质〔双向不等式〕
左边在时获得等号，右边在时获得等号
【考点解析】
1.〔2021年第三次诊断题〕设a、b是满足ab＜0的实数，那么
A.|a+b|＞|a－b|
B.|a+b|＜|a－b|
C.|a－b|＜||a|－|b||
D.|a－b|＜|a|+|b|
a=1，b=－1，代入检验.
答案：B
2.〔2021年春季〕不等式|2x2－1|≤1的解集为
A.{x|－1≤x≤1}
B.{x|－2≤x≤2}
C.{x |0≤x ≤2}
D.{x |－2≤x ≤0}
解析(ji ě x ī)：由|2x 2
－1|≤1得－1≤2x 2
－1≤1. ∴0≤x 2
≤1，即－1≤x ≤1. 答案(d á àn)：A
3.不等式|x +log 3x |＜|x |+|log 3x |的解集为 A.〔0，1〕 B.〔1，+∞〕 C.〔0，+∞〕
D.〔－∞，+∞〕
解析(ji ě x ī)：∵x ＞0，x 与log 3x 异号， ∴log 3x ＜0.∴0＜x ＜1. 答案(d á àn)：A
a ≤对x 取一切负数恒成立，那么a 的取值范围是____________.
解析：要使a ≤|
|2
2x x +对x 取一切负数恒成立，
令t =|x |＞0，那么a ≤. 而t
t 22+≥
=2
，
∴a ≤22. 答案：a ≤22
5.不等式|2x －t |+t －1＜0的解集为〔－
，
2
1
〕，那么t =____________. 解析：|2x －t |＜1－t ，t －1＜2x －t ＜1－t ， 2t －1＜2x ＜1，t －21＜x ＜2
1. ∴t =0. 答案：0
6．〔2021春〕假设，那么以下不等式成立的是( )
〔A 〕. 〔B 〕. 〔C 〕.〔D 〕.
解析(ji ě x ī):应用间接排除法．取a=1,b=0，排除A. 取a=0,b=-1，排除B; 取c=0，排除D ．故
应该(y īngg āi)选C ．显然
，对不等式a>b 的两边(li ǎngbi ān)同时乘以 ，立得
成立(ch éngl ì)
7．(2021卷)假如，那么，以下不等式中正确的选项是〔 〕
〔A 〕
〔B 〕
〔C 〕
〔D 〕
解析:假如0,0a b <>，那么
，∴
11
a b
<，选A. 【考点演练】
1、不等式|x+2|≥|x|的解集是 . ｛x| x ≥-1｝
变式1、条件p:|x －2|>2－x ；条件q:x >a ，假设p 是q 的充分不必要条件，那么a 的取值范围是 .
2、不等式|3x －2|>4的解集是C
〔 〕
A ．{x|x>2}
B ．{x|x<－
} C ．{x|x<－
3
2
或者x>2} D ．{x|－
3
2
<x<2} 3、函数f(x)是R 上的减函数，A 〔0，－3〕，B 〔－2，3〕是其图象上的两点，那么不等式|f(x －2)|≥3的解集是 . 14．
4.〔2021年海淀区一模题〕集合A={x|a －1≤x ≤a+2}，B={x|3＜x ＜5}，那么能使A B 成立的实数a 的取值范围是 A.{a|3＜a ≤4}
B.{a|3≤a ≤4}
C.{a|3＜a ＜4}
D.
解析(jiě xī)：由题意知得3≤a≤4.
答案(dá àn)：B
5.不等式|x2+2x|＜3的解集为____________.
解析(jiě xī)：－3＜x2+2x＜3，即
∴－3＜x＜1.
答案(dá àn)：－3＜x＜1
6.〔2021年全国Ⅰ，13〕不等式|x+2|≥|x|的解集是____________.
解法一：|x+2|≥|x|〔x+2〕2≥x2⇔4x+4≥0⇔x≥－1.
解法二：在同一直角坐标系下作出f〔x〕=|x+2|与g〔x〕=|x|的图象，根据图象可得x≥－1.
解法三：根据绝对值的几何意义，不等式|x+2|≥|x|表示数轴上x到－2的间隔不小于到0的间隔，∴x≥－1.
答案：{x|x≥－1}
评述：此题的三种解法均为解绝对值不等式的根本方法，必须掌握.
7.〔2021年春季〕当0＜a＜1时，解关于x的不等式a＜ax－2.
解：由0＜a＜1，原不等式可化为＞x－2.
这个不等式的解集是下面不等式组①及②的解集的并集.
①
或者(huòzhě)
②
解不等式组①得解集为{x|21
≤x ＜2}，
解不等式组②得解集为{x|2≤x ＜5}，
所以(su ǒy ǐ)原不等式的解集为{x|21
≤x ＜5}.
【题型讲解(ji ǎngji ě)】
例1 解不等式
分析(f ēnx ī)：不等式〔其中
〕可以推广
为任意
都成立，且为代数式也成立
解：原不等式又化为
∴原不等式的解集为
点评：可利用
去掉绝对值符号
例2 求证：不等式
综上〔1〕，〔2〕得
例3
所以(suǒyǐ)，原命题得证
()()
222222
只要证
+++-++<-+
a b a b a ab b
112112
例4
例5
证明(zhèngmíng)：
例6
证明(zhèngmíng)：令
例7 a, b∈R 证明(zhèngmíng)|a + b|－|a－b| < 2|b|
例8解不等式||x+3|─|x─3||>3
解法一：分区间(qū jiān)去绝对值〔零点分段法〕：
∵||x+3|─|x─3||>3
∴(1)⇒x<─3;
(2)⇒3/2<x≤3或者(huòzhě)─3≤x<─3/2 ;
(3)⇒x>3
∴原不等式的解为x<─3/2或者(huòzhě)x>3/2
解法二：用平方法脱去绝对值：
两边平方：(|x+3|─|x─3|)2>9,即2x2+9>2|x2─9|;
两边再平方分解因式得：x2>9/4⇒x<─3/2或者x>3/2
例9 解不等式|x2─3|x|─3|≤1
解：∵|x2─3|x|─3|≤1
∴─1≤x2─3|x|─3≤1
∴⇒
∴原不等式的解是：≤x≤4或者─4≤x≤
点评：此题由于运用了x∈R时，x2=|x|2从而防止了一场大规模的讨论
例10 求使不等式|x─4|+|x─3|<a 有解的a 的取值范围(fànwéi)
解：设f(x)= |x─4|+|x─3|,
要使f(x)<a 有解，那么(nà me)a 应该(y īngg āi)大于f(x)的最小值， 由三角(s ānji ǎo)不等式得：
f(x)=|x─4|+|x─3|≥|(x─4)─(x─3)|=1, 所以f(x)的最小值为1， ∴ a>1
点评：此题对条件进展转化，变为最值问题，从而简化了讨论
例11二次函数f(x)满足|f(1)|≤1,|f(0)|≤1,|f(─1)|≤1, 求证：|x|≤1时，有|f(x)|≥5/4
证明：设f(x)=ax 2+bx+c,
由题意，得
∴ a=[f(1)+f(─1)─2f(0)],b=
2
1
[f(1)─f(1)]; c=f(0) 代入f(x)的表达式变形得：
f(x)=f(1)(x 2+x)/2+f(─1)(x 2─x)/2+(1─x 2)f(0)
∵ |f(1)|≤1,|f(0)|≤1,f(─1)|≤1, ∴ 当|x|≤1时，
|f(x)|≤|(x 2+x)/2||f(1)|+|(x 2─x)/2||f(─1)|+(1─x 2)|f(0)| ≤|x|(1+x)/2+|x|(1─x)/2+(1─x 2) =─x 2+|x|+1=─(|x|─1/2)2+5/4≤5/4
例12 a,b,c 都是实数，且|a|<1,|b|<1,|c|<1,求证：ab+bc+ca>─1
证明(zhèngmíng)：设f(x)=x(b+c)+bc─(─1),
∵ |a|<1,|b|<1,|c|<1,
∴f(1)＝(b+c)+bc+1＝(1+b) (1+c)>0,
f(─1) ＝－(b+c)+bc+1＝(1－b) (1－c)>0,
∴当a∈(─1,1)时，f(x)>0恒成立(chénglì)
∴ f(a) ＝a(b+c)+bc─(─1)>0,
∴ab+bc+ca>─1
例13
证明(zhèngmíng)：
小结(xiǎojié)：
1．理解绝对值不等式的定义，掌握绝对值不等式的定理和推论，会用绝对值不等式的定理和推论解决绝对值不等式的有关证明问题
2．解绝对值不等式的根本途径是去掉绝对值符号，常用的方法是：〔1〕分类讨论；〔2〕平方；〔3〕利用绝对值不等式的性质，如
等
3．证明绝对值不等式的根本思想和根本方法分别是转化思想和比拟法，分析法，换元法，综合法，放缩法，反证法等等
【根底演练】
1．不等式的解集为〔〕
A． B． C． D．
答案(dá àn)：D
2．不等式|x －4|＋|x －3|<a 有解的充要条件是〔 〕 A a >7 B a >1 C a <1 D a ≥1 答案(dá àn): B 提示(tíshì): 代数式|x －4|＋|x －3|表示(bi ǎoshì)数轴上的点到(4, 0)与(3, 0)两点的间隔 和，最小值为1，∴当a >1时，不等式有解
3．假设A ={x | |x －1|<2}, B ={x |>0，那么A ∩B =〔 〕
A {x |－1<x <3}
B {x |x <0或者x >2}
C {x |－1<x <0或者2<x <3}
D {x |－1<x <0} 答案: C 提示: A ={x | －1<x <3}, B ={x | x >2或者x <0},∴A ∩B ={x |－1<x <0或者2<x <3}
4．不等式1≤≤2的解集是
答案: 1≤x ≤或者≤x ≤3
5．假如y =log
x 在(0,+∞)内是减函数，那么a 的取值范围是〔 〕 A |a |>1 B |a |< C 1<|a |<2 D a >2或者a <－2
答案: C 提示: 0<a 2－1,∴1<|a |<2
6．解不等式|log x |＋|log 3
1(3－x )|≥1
答案：{x | 0<x ≤或者≤x <3}
提示： 分0<x <1, 1<x <2, 2<x <3三种情况讨论,当0<x <1时,解得0<x ≤43；当1<x <2时,无解；当2<x <3时,解得4
9≤x <3
【实战演练】 x 的方程3x 2－6〔m －1〕x +m 2+1=0的两实根为x 1、x 2，假设|x 1|+|x 2|=2，求m 的值.
解：x 1、x 2为方程两实根，
∴Δ=36〔m －1〕2－12〔m 2
+1〕≥0.
∴m ≥
或者(hu òzh ě)m ≤. 又∵x 1·x 2=＞0，∴x 1、x 2同号(t ón ɡ h ào).
∴|x 1|+|x 2|=|x 1+x 2|=2|m －1|.
于是(y úsh ì)有2|m －1|=2，∴m =0或者(hu òzh ě)2.
∴m =0. ≤.
解：〔1〕当x 2－2＜0且x ≠0，即当－2＜x ＜2且x ≠0时，原不等式显然成立．
〔2〕当x 2－2＞0时，原不等式与不等式组等价．
x 2－2≥｜x ｜，即｜x ｜2－｜x ｜－2≥0.
∴｜x ｜≥2.∴不等式组的解为｜x ｜≥2，
即x ≤－2或者x ≥2．
∴原不等式的解集为〔－∞，－2］∪〔－2，0〕∪〔0，2〕∪［2，＋∞〕．
3.〔2021年模拟题〕函数f 〔x 〕=的定义域恰为不等式log 2〔x +3〕+log x ≤3的解集，且f 〔x 〕在定义域内单调递减，务实数a 的取值范围.
解：由log 2〔x +3〕+log 2
1x ≤3得
x ≥，
即f 〔x 〕的定义域为［
73，+∞〕. ∵f 〔x 〕在定义域［
73，+∞〕内单调递减， ∴当x 2＞x 1≥
73时，f 〔x 1〕－f 〔x 2〕＞0恒成立，即有〔ax 1－+2〕－〔ax 2－+2〕＞0 a 〔x 1－x 2〕－〔11x －2
1x 〕＞0
⇔〔x 1－x 2〕〔a +〕＞0恒成立(ch éngl ì).
∵x 1＜x 2，∴〔x 1－x 2〕〔a +211x x 〕＞0 ⇔a +2
11x x ＜0. ∵x 1x 2＞
－211x x ＞－， 要使a ＜－2
11x x 恒成立(ch éngl ì)， 那么(n à me)a 的取值范围(f ànw éi)是a ≤－
949. 4.f 〔x 〕=x 2－x +c 定义在区间［0，1］上，x 1、x 2∈［0，1］，且x 1≠x 2，求证：
〔1〕f 〔0〕=f 〔1〕；
〔2〕| f 〔x 2〕－f 〔x 1〕|＜|x 1－x 2|；
〔3〕| f 〔x 1〕－f 〔x 2〕|＜
21； 〔4〕| f 〔x 1〕－f 〔x 2〕|≤.
证明：〔1〕f 〔0〕=c ，f 〔1〕=c ，
∴f 〔0〕=f 〔1〕.
〔2〕| f 〔x 2〕－f 〔x 1〕|=|x 2－x 1||x 2+x 1－1|.
∵0≤x 1≤1，∴0≤x 2≤1，0＜x 1+x 2＜2〔x 1≠x 2〕.
∴－1＜x 1+x 2－1＜1.
∴| f 〔x 2〕－f 〔x 1〕|＜|x 2－x 1|.
〔3〕不妨设x 2＞x 1，由〔2〕知
| f 〔x 2〕－f 〔x 1〕|＜x 2－x 1.
① 而由f 〔0〕=f 〔1〕，从而
| f 〔x 2〕－f 〔x 1〕|=| f 〔x 2〕－f 〔1〕+f 〔0〕－f 〔x 1〕|≤| f 〔x 2〕－f 〔1〕|+| f 〔0〕－
f 〔x 1〕|＜|1－x 2|+|x 1|＜1－x 2+x 1.
② ①+②得2| f 〔x 2〕－f 〔x 1〕|＜1，
即| f 〔x 2〕－f 〔x 1〕|＜21. 〔4〕|f 〔x 2〕－f 〔x 1〕|≤f max －f min =f 〔0〕－f 〔21〕=4
1. 5.〔1〕|a |＜1，|b |＜1，求证(qi úzh èng)：||＞1；
〔2〕务实(w ù sh í)数λ的取值范围(f ànw éi)，使不等式|
|＞1对满足(m ǎnz ú)|a |＜1，|b |＜1的一实在数a 、b 恒成立；
〔3〕|a |＜1，假设|
|＜1，求b 的取值范围. 〔1〕证明：|1－ab |2－|a －b |2=1+a 2b 2－a 2－b 2=〔a 2－1〕〔b 2－1〕.
∵|a |＜1，|b |＜1，∴a 2－1＜0，b 2－1＜0.
∴|1－ab |2－|a －b |2＞0.
∴|1－ab |＞|a －b |，
=
＞1. 〔2〕解：∵|
b a ab --λλ1|＞1⇔|1－ab λ|2－|a λ－b |2=〔a 2λ2－1〕〔b 2－1〕＞0. ∵b 2＜1，∴a 2λ2－1＜0对于任意满足|a |＜1的a 恒成立.
当a =0时，a 2λ2－1＜0成立；
当a ≠0时，要使λ2＜对于任意满足|a |＜1的a 恒成立，而21
a ＞1，
∴|λ|≤1.故－1≤λ≤1.
〔3〕|
ab b a ++1|＜1⇔〔ab
b a ++1〕2＜1⇔〔a +b 〕2＜〔1+ab 〕2⇔a 2+b 2－1－a 2b 2＜0⇔〔a 2－1〕〔b 2－1〕＜0.
∵|a |＜1，∴a 2＜1.∴1－b 2＞0，即－1＜b ＜1.
6. 设x 1、x 2、y 1、y 2是实数，且满足x 12+x 22≤1，证明不等式〔x 1y 1+x 2y 2－1〕2≥〔x 12+x 22
－1〕〔y 12+y 22－1〕.
分析(f ēnx ī)：要证原不等式成立，也就是证〔x 1y 1+x 2y 2－1〕2－〔x 12+x 22－1〕〔y 12+y 22－1〕≥0. 证明(zh èngm íng)：〔1〕当x 12+x 22=1时，原不等式成立(ch éngl ì).
〔2〕当x 12+x 22＜1时，联想(li ánxi ǎng)根的判别式，可构造函数f 〔x 〕=〔x 12+x 22－1〕x －2〔x 1y 1+x 2y 2－1〕x +〔y 12+y 22－1〕，其根的判别式Δ=4〔x 1y 1+x 2y 2－1〕2－4〔x 12+x 22－1〕〔y 12+y 22－1〕.
由题意x 12+x 22＜1，函数f 〔x 〕的图象开口向下.
又∵f 〔1〕=x 12+x 22－2x 1y 1－2x 2y 2+y 12+y 22=〔x 1－y 1〕2+〔x 2－y 2〕2≥0，
因此抛物线与x 轴必有公一共点.
∴Δ≥0.
∴4〔x 1y 1+x 2y 2－1〕2－4〔x 12+x 22－1〕〔y 12+y 22－1〕≥0，
即〔x 1y 1+x 2y 2－1〕2≥〔x 12+x 22－1〕〔y 12+y 22－1〕. a 1≈2，令a 2=1+. 〔1〕证明2介于a 1、a 2之间；
〔2〕求a 1、a 2中哪一个更接近于2；
〔3〕你能设计一个比a 2更接近于2的一个a 3吗？并说明理由.
〔1〕证明：〔2－a 1〕〔2－a 2〕=〔2－a 1〕· 〔2－1－111a +〕=＜
0.
∴2介于a 1、a 2之间.
〔2〕解：|2－a 2|=|2－1－1
11a +| =||
=|2－a 1|＜|2－a 1|.
∴a 2比a 1更接近(ji ēj ìn)于2.
〔3〕解：令a 3=1+，
那么(n à me)a 3比a 2更接近(ji ēj ìn)于2.
由〔2〕知|2－a 3|=|2－a 2|＜|2－a 2|.
8. f 〔x 〕=|log 2〔x +1〕|，m ＜n ，f 〔m 〕=f 〔n 〕.
〔1〕比拟(b ǐn ǐ)m +n 与0的大小；
〔2〕比拟f 〔〕与f 〔〕的大小.
剖析：此题关键是如何去掉绝对值号，然后再判断差的符号.
解：〔1〕∵f 〔m 〕=f 〔n 〕，
∴|log 2〔m +1〕|=|log 2〔n +1〕|.
∴log 22〔m +1〕=log 22〔n +1〕.
∴［log 2〔m +1〕+log 2〔n +1〕］［log 2〔m +1〕－log 2〔n +1〕］=0，
log 2〔m +1〕〔n +1〕·log 2
=0. ∵m ＜n ，∴1
1++n m ≠1. ∴log 2〔m +1〕〔n +1〕=0.
∴mn +m +n +1=1.∴mn +m +n =0.
当m 、n ∈〔－1，0］或者m 、n ∈［0，+∞〕时，
由函数y =f 〔x 〕的单调性知x ∈〔－1，0］时，f 〔x 〕为减函数，x ∈［0，+∞〕时，f 〔x 〕为增函数，f 〔m 〕≠f 〔n 〕.
∴－1＜m ＜0，n ＞0.∴m ·n ＜0.
∴m +n =－mn ＞0.
〔2〕f 〔n m n m -+〕=|log 2|=－log 2n m m
-2=log 2，
f 〔m n n m -+〕=|lo
g 2|=log 2m n n -2.
m n m 2-－m n n
-2
=
=－＞0.
∴f 〔n m n
m -+〕＞f 〔m n n
m -+〕.
内容总结
（1）一线名师指点07年高考数学同步辅导第36讲绝对值不等式
【考点回放】
1．解绝对值不等式的根本思想:解绝对值不等式的根本思想是去绝对值，常采用的方法是讨论符号和平方
2．注意利用三角不等式证明含有绝对值的问题
||a|─|b|||a+b||a|+|b|。