2021年11月四川省绵阳市普通高中2022届高三上学期11月一诊考试数学(文)试卷及答案

2021年11月四川省绵阳市普通高中2022届高三上学期11月一诊考试
数学（文）试卷
★祝考试顺利★ (含答案)
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.设集合A ＝{x|－1<x ≤1},B ＝{－1,0,1},则A ∩B ＝ A.{－1,0} B.{－1,1} C.{0,1} D.{－1,0,1}
2.若0<a<b,则下列结论正确的是 A.lna>lnb B.b 2
<a 2
C.
11a b < D.11()()22
a b > 3.“ln(x ＋2)<0”是“x<－1”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 4.设D,E 为△ABC 所在平面内两点,AD DC =,CB 2BE =,则
A.3DE AB AC 2=-+
B.3
DE AB AC 2=-+
C.3DE AB AC 2=-
D.3
DE AB AC 2
=-
5.设x,y 满足约束条件x y 50
2x y 80y 3+-≤⎧⎪
+-≤⎨⎪≤⎩
,则z ＝3x ＋4y 的最大值是
A.12
B.17
C.18
D.392
6.函数f(x)＝
sinx x cosx +在(－2π,2
π
)上的图象大致为
7.通常人们用震级来描述地震的大小。

地震震级是对地震本身大小的相对量度,用M 表示,强制性国家标准GB17740－1999《地震震级的规定》规定了我国地震震级的计算和使用要求,即通
过地震面波质点运动最大值(A/T)max 进行测定,计算公式如下：
M ＝lg(A/T)max ＋1.66lg △＋3.5(其中△为震中距),已知某次某地发生了4.8级地震,测得地震面波质点运动最大值为0.01,则震中距大约为 A.58 B.78 C.98 D.118
8.已知函数f(x)对任意实数x,满足f(x)＋f(－x)＝0,当x ≥0时,f(x)＝2x －m(m 为常数),则f(1－log 23)＝ A.
12 B.－12 C.13 D.－13
9.已知a ＝1416()81-,b ＝log 32＋log 23,c ＝2
3
log 23,则a,b,c 的大小关系为
A.c>b>a
B.b>a>c
C.a>c>b
D.b>c>a
10.设f(x)
＝()x 2(x 0)x 0+≤⎧⎪>，
,若f(a)＝f(a －2),则f(5－a)＝
A.2
B.0或1
C.2
11.已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若－5,S 3,S 6成等差数列,则S 9－S 6的最小值为 A.25 B.20 C.15 D.10
12.把函数f(x)＝3sin(2x ＋
6π)的图象向右平移6
π
个单位长度,再把横坐标缩短到原来的12倍,
纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,若g(x 1)＝g(x 2)－6,x 1,x 2∈[－π,π],则x 1－x 2的最大值为 A.34π B.π C.74
π D.2π
二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分。

13.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 1＝2,S 7＝35,则a 6＝ 。

14.已知平面向量a ＝
),b ＝(m,－1),若a ⊥b ,则|b |＝ 。

15.已知β∈(2
π
,π),sinβ＝13,若3sin(α＋2β)＝sinα,则tan(α＋β)＝ 。

16.已知函数f(x)＝2x 2－ax,若不等式|f(x)|≤1对任意的x ∈[0,1]恒成立,则实数a 的取值范围为 。

三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题,考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分。

17.(12分)
已知函数f(x)＝Acos(ωx ＋φ)(A>0,ω>0,|φ|<2π)的最小正周期为2
π
,点M(－724π,－2)
是该函数图象的一个最低点。

(1)求函数f(x)的解析式及函数f(x)的单调递增区间； (2)若x ∈[－8π,8
π
],求函数y ＝f(x)的值域。

18.(12分)
已知S n 是数列{a n }的前n 项和,S n ＝2a n －2。

(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)求a 1a 2－a 2a 3＋…＋(－1)n ＋1a n a n ＋1。

19.(12分)
在锐角△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,c ＝3,从以下三个条件中任选一个：①btanC ＝(2a －b)tanB ；②2ccosB ＝2a －b ；③accosA ＋a 2(cosC －1)＝b 2－c 2,解答如下的问题。

(1)求角C 的大小；
(2)若△ABC 为锐角三角形,且a ＝mb,求实数m 的取值范围。

20.(12分)
已知函数f(x)＝－13x 3＋ax 2＋3a 2x －5
3。

(1)若a ＝－1时,求f(x)在区间[－4,2]上的最大值与最小值。

(2)若函数f(x)仅有一个零点,求a 的取值范围。

21.(12分)
已知函数f(x)＝(x －2)e x ＋ax 2－bx,其图象在点(0,f(0))处的切线斜率为－3。

(1)求b 的值；
(2)若f(x)>－e －1在x ∈R 上恒成立,求实数a 的取值范围。

(二)选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题做答。

如果多做,则按所做的第一题记分。

22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)
如图,在极坐标系中,已知点M(2,0),曲线C 1是以极点O 为圆心,以OM 为半径的半圆,曲线C 2是过极点且与曲线C 1相切于点(2,
2
π
)的圆。

(1)分别写出曲线C
1,C
2
的极坐标方程；
(2)直线θ＝α(0<α<π,ρ∈R)与曲线C
1,C
2
分别相交于点A,B(异于极点),求△ABM面积的最
大值。

23.[选修4－5：不等式选讲](10分)
已知函数f(x)＝|x＋m|－|x－2m|(m>0)的最大值为6。

(1)求m的值；
(2)若正数x,y,z满足x＋y＋z＝m,xy xz m
≤。

2021年11月四川省绵阳市普通高中2022届高三上学期11月一诊考试
数学（文）参考答案
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分． CDADC ACBBA BC
二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分．
13．7 14．2 15．2
16．[1,三、解答题：本大题共6小题,共70分． 17．解：（1）由题意得A =2,
22
π
πω
=
,
∴4ω=．…………………………………………………………………………2分
∵函数()f x 的图象经过点7(2)24
，
M π
--, ∴72cos()26
π
ϕ-+=-． 又|φ|＜
2π
,∴6
πϕ=． …………………………………………………………5分 ∴()2cos(4)6
f x x π
=+． …………………………………………………………6分 由2426
≤≤k x k π
πππ-++,
得7(Z)242224
≤≤k k x k ππππ
-
+-∈． ∴函数()f x 的单调递增区间为[7242k ππ-+,224
k ππ
-](k Z ∈)． ……………8分 （2）∵[]88，x ππ
∈-,
∴24[]6
3
3
，x πππ
+∈-,
∴1
cos(4)[1]6
2
，
x π
+∈-, ∴函数()f x 的值域为[-1,2]． ………………………………………………12分 18．解：（1）当n =1时,2211-=a S =1a ,
解得12a =． …………………………………………………………………… 2分
∵22-=n n a S ,①
∴当2≥n 时,2211-=--n n a S ．② ①－②得12-=n n a a , 整理得12-=n n a a (n ≥2) ．
∴数列{}n a 是以首项为2,公比为2的等比数列． …………………………5分
∴n
n a 2=． ………………………………………………………………………6分
（2）由（1）得n
n n a a 421⨯=+． ………………………………………………7分 ∴112231(1)n n n n T a a a a a a ++=-+
+-
218
2(44(1)4)[1(4)]5
n n n +=-+
+-⨯=-- ． …………………………12分
19．解：选择条件①： 由tan =(2)tan b C a b B -,得sin (2)sin cos cos b C a b B C
B
-=,
由正弦定理可得,sin sin cos =(2sin sin )sin cos B C B A B B C -. ∴sin cos 2sin cos sin cos C B A C B C =-,
∴()2sin cos sin cos sin cos sin sin A C C B B C C B A =+=+=, ∵(0)，A π∈,∴sin 0A ≠,
∴1cos 2C =,又(0)2，C π∈,∴3
C π
=． 选择条件②：由正弦定理可得,2sin cos 2sin sin C B A B =-, 又sin sin()A C B =+,
∴2sin cos 2sin()sin 2(sin cos cos sin )sin C B C B B C B C B B =+-=+-, 化简整理得2cos sin sin C B B =,由sin 0B >,故1
cos 2C =, 又π
02C <<,∴π
3C =．
选择条件③：由已知得,2222cos cos b a c ac A a C +-=+, 由余弦定理,得2222cos b a c ab C +-=, ∵2222cos cos b c a ac C c A +-=+, ∴22cos cos cos ab C ac A a C =+, ∵0a >,∴2cos cos cos b C c A a C =+,
由正弦定理,有2sin cos sin cos sin cos sin()sin B C C A A C A C B =+=+=, ∵sin 0B ≠,∴1
cos 2C =.
又π
(0)2
，C ∈,∴π
3C =． …………………………………………………………6分 （2）∵=a mb ,
∴sin()
sin 13sin sin 2B a A m b
B
B π
+
===
= …………………………………………8分
∵△ABC 为锐角三角形,则()62
B ππ
∈，,
∴tan B >
． …………………………………………………………………10分
∴1
22m <<． ……………………………………………………………………12分 20．解：（1）由题意得22()23= f x x ax a '=-++-(x -3a )(x +a )．…………………1分
当1a =-时,()(1)(3)f x x x '=--+,x ∈[-4,2]． 由()0f x '>,解得31x -<<；
由()0f x '<,解得43≤x -<-或12≤x <． ……………………………………3分 ∴函数f (x )在区间(-3,1)上单调递增,在区间[-4,-3),(1,2]单调递减．
又25
32(4)(3)3
3f f -=--=-，，
327(4)5(1)(1)0(2)33
，，，f f f f -=--=-==-, ∴函数()f x 在区间[-4,2]上的最大值为0,最小值为32
3
-． ……………6分 （2）函数f (x )只有一个零点． ∵22()23=(3)()f x x ax a x a x a '=-++--+, i)当a <0时,由()0f x '>,解得3a x a <<-, ∴函数f (x )在区间(3a ,-a )上单调递增； 由()0f x '<,解得3x a <或x a >-,
∴函数f (x )在区间(-∞,3a ),(-a ,+∞)上单调递减． 又5(0)03
f =-<,
∴只需要f (-a )<0,解得-1<a <0． ∴实数a 的取值范围为 -1<a <0．
ii)当a =0时,显然f (x )只有一个零点成立． ………………………………10分
iii) 当a >0时,由()0f x '>,解得3a x a -<<, 即f (x )在区间(-a , 3a )上单调递增； 由()0f x '<,解得x a <-或3x a >,
即函数f (x )在区间(-∞,-a ),(3a ,+∞)上单调递减；
又5(0)03f =-<,∴只需要f (3a )<0,解得0a <．
综上：实数a 的取值范围是(1-． ………………………………………12分 21．解：（1）由题意得()(1)e 2x f x x ax b '=-+-． ………………………………2分
∵函数f (x )的图象在点(0,f (0))处的切线的斜率为-3, ∴(0)13f b '=--=-,
解得b =2． ………………………………………………………………………4分 （2）∵ f (x )>-e -1恒成立,∴f (1)=-e+a -2>-e-1,即a >1．
∴f (x )≥(x -2)e x +x 2-2x (当x =0时,取“=”)． ……………………………6分 令g (x )=(x -2)e x +x 2-2x ,
则()(1)e 2(1)(1)(e 2)x x g x x x x '=-+-=-+． 由()0g x '>,得x >1,由()0g x '<,得x <1． ∴函数g (x )在区间(-∞,1)上单调递减,
在区间(1,+∞)上单调递增． ……………………………………8分
∴min ()(1)1g x g ==--e-1,
∴g (x )≥-e-1(当x =1时,取“=”) ． ∴f (x )>-e-1．
综上,实数a 的取值范围为a >1． …………………………………………12分 22．解：（1）曲线1C 的极坐标方程为2(0)=≤≤ρθπ． …………………………2分
设P (，ρθ)为曲线2C 上的任意一点,可得=2cos()2
π
ρθ-．
∴曲线2C 极坐标方程为2sin (0)=≤≤ρθθπ． …………………………………5分 （2）∵直线(0)θααπρ=<<∈R ，与曲线1C ,2C 分别相交于点A ,B , ∴设B (，B ρα),则A (，A ρα)． 由题意得2sin B ρα=,2A ρ=,
∴22sin A B AB ρρα=-=-． ……………………………………………………7分
∵点M 到直线AB 的距离sin 2sin d OM αα=⨯=, ∴11=(22sin )2sin 22
AOM S AB d αα∆⋅=-⨯
2(sin 1sin )1
2(1sin )sin 242
αααα+-=-⨯⨯=≤
1
(sin )2
α=当且仅当时，等号成立 ．
∴△ABM 的面积的最大值为1
2
． ……………………………………………10分 23．解：（1）由题意得()2()(2)3≤f x x m x m x m x m m =+--+--=． ………3分 ∵函数()f x 的最大值为6, ∴36m =,即2m =±．
∵m >0,∴m =2. ……………………………………………………………5分 （2）由（1）知,2x y z ++=, ∵x >0,y >0,z >0,
∴2()()22
x x x y z y z =++=+++
≥当且仅当2x y z ==时,等号成立)． …………………………8分
2+,
(当且仅当1
1=2
x y z ==，时,等号成立)． ………………10分
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