2021年北京市中考数学试卷(附答案解析)

2021年北京市中考数学试卷（附答案解析）
一、选择题(共16分，每题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1．（2分）（2021•北京）如图是某几何体的展开图，该几何体是（）
A．长方体B．圆柱C．圆锥D．三棱柱
2．（2分）（2021•北京）党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务．2014﹣2018年，中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金1692亿元，将169200000000用科学记数法表示应为（）
A．0.1692×1012B．1.692×1012
C．1.692×1011D．16.92×1010
3．（2分）（2021•北京）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠AOC＝120°，则∠BOD 的大小为（）
A．30°B．40°C．50°D．60°
4．（2分）（2021•北京）下列多边形中，内角和最大的是（）
A．B．C．D．
5．（2分）（2021•北京）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）
A ．a ＞﹣2
B ．|a |＞b
C ．a +b ＞0
D ．b ﹣a ＜0
6．（2分）（2021•北京）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上、一枚硬币反
面向上的概率是（ ）
A ．14
B ．13
C ．12
D ．23 7．（2分）（2021•北京）已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若n 为整数
且n ＜√2021＜n +1，则n 的值为（ ）
A ．43
B ．44
C ．45
D ．46
8．（2分）（2021•北京）如图，用绳子围成周长为10m 的矩形，记矩形的一边长为xm ，它
的邻边长为ym ，矩形的面积为Sm 2．当x 在一定范围内变化时，y 和S 都随x 的变化而变化，则y 与x ，S 与x 满足的函数关系分别是（ ）
A ．一次函数关系，二次函数关系
B ．反比例函数关系，二次函数关系
C ．一次函数关系，反比例函数关系
D ．反比例函数关系，一次函数关系
二、填空题(共16分，每题2分)
9．（2分）（2021•北京）若√x −7在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是 ．
10．（2分）（2021•北京）分解因式：5x 2﹣5y 2＝ ．
11．（2分）（2021•北京）方程2x+3=1x
的解为 ． 12．（2分）（2021•北京）在平面直角坐标系xOy 中，若反比例函数y =k x （k ≠0）的图象经
过点A （1，2）和点B （﹣1，m ），则m 的值为 ．
13．（2分）（2021•北京）如图，P A ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 是切点．若∠P ＝50°，则∠
AOB ＝ ．
14．（2分）（2021•北京）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF＝EC．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是（写出一个即可）．
15．（2分）（2021•北京）有甲、乙两组数据，如下表所示：
甲1112131415
乙1212131414
甲、乙两组数据的方差分别为s甲2，s乙2，则s甲2s乙2（填“＞”，“＜”或“＝”）．16．（2分）（2021•北京）某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线．在一天内，A生产线共加工a吨原材料，加工时间为（4a+1）小时；在一天内，B生产线共加工b吨原材料，加工时间为（2b+3）小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到A，B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给A生产线分配了m吨原材料，给B生产线分配了n吨原材料．若两
条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则m
n
的值
为．
三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21-22题，每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

17．（5分）（2021•北京）计算：2sin60°+√12+|﹣5|﹣（π+√2）0．
18．（5分）（2021•北京）解不等式组：{4x−5＞x+1 3x−4
2＜x
．
19．（5分）（2021•北京）已知a2+2b2﹣1＝0，求代数式（a﹣b）2+b（2a+b）的值．20．（5分）（2021•北京）《淮南子・天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点A处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点B，使B，A 两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点B处立一根杆；日落时，在地面上沿着点B处的杆的影子的方向取一点C，使C，B两点间的距离为10步，在点C处立一根杆．取CA的中点D，那么直线DB表示的方向为东西方向．
（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点A，B，C的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作CA的中点D（保留作图痕迹）；
（2）在如图中，确定了直线DB表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线CA表示的方向为南北方向，完成如下证明．
证明：在△ABC中，BA＝，D是CA的中点，
∴CA⊥DB（）（填推理的依据）．
∵直线DB表示的方向为东西方向，
∴直线CA表示的方向为南北方向．
21．（6分）（2021•北京）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．
22．（6分）（2021•北京）如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC 上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AE平分∠BAC，BE＝5，cos B=4
5，求BF和AD的长．
23．（5分）（2021•北京）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函
数y=1
2x的图象向下平移1个单位长度得到．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x＞﹣2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b 的值，直接写出m的取值范围．
24．（6分）（2021•北京）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．
（1）求证：∠BAD＝∠CAD；
（2）连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC．若⊙O的半径为5，OE ＝3，求GC和OF的长．
25．（5分）（2021•北京）为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：6≤x＜8，8≤x＜10，10≤x＜12，12≤x＜14，14≤x≤16）：
b．甲城市邮政企业4月份收入的数据在10≤x＜12这一组的是：
10.0 10.0 10.1 10.9 11.4 11.5 11.6 11.8
c．甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数、中位数如下：
平均数中位数
甲城市10.8m
乙城市11.011.5
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值；
（2）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p1．在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p2．比较p1，p2的大小，并说明理由；
（3）若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入（直接写出结果）．
26．（6分）（2021•北京）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线y ＝ax2+bx（a＞0）上．
（1）若m＝3，n＝15，求该抛物线的对称轴；
（2）已知点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上．若mn＜0，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．
27．（7分）（2021•北京）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，M为BC的中点，点D在MC上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转α得到线段AE，连接BE，DE．（1）比较∠BAE与∠CAD的大小；用等式表示线段BE，BM，MD之间的数量关系，并
证明；
（2）过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明．
28．（7分）（2021•北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B′C′（B′，C′分别是B，C的对应点），则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”．
（1）如图，点A，B1，C1，B2，C2，B3，C3的横、纵坐标都是整数．在线段B1C1，B2C2，B3C3中，⊙O的以点A为中心的“关联线段”是；
（2）△ABC是边长为1的等边三角形，点A（0，t），其中t≠0．若BC是⊙O的以点A 为中心的“关联线段”，求t的值；
（3）在△ABC中，AB＝1，AC＝2．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小值和最大值，以及相应的BC长．
2021年北京市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(共16分，每题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1．（2分）（2021•北京）如图是某几何体的展开图，该几何体是（）
A．长方体B．圆柱C．圆锥D．三棱柱
【分析】展开图为两个圆，一个长方形，易得是圆柱的展开图．
【解答】解：∵圆柱的展开图为两个圆和一个长方形，
∴展开图可得此几何体为圆柱．
故选：B．
【点评】此题主要考查了由展开图得几何体，关键是考查同学们的空间想象能力．2．（2分）（2021•北京）党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务．2014﹣2018年，中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金1692亿元，将169200000000用科学记数法表示应为（）
A．0.1692×1012B．1.692×1012
C．1.692×1011D．16.92×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：将169200000000用科学记数法表示应为1.692×1011．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（2分）（2021•北京）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠AOC＝120°，则∠BOD 的大小为（）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】根据平角的意义求出∠BOC的度数，再根据垂直的意义求出答案．
【解答】解：∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝120°，
∴∠BOC＝180°﹣120°＝60°，
又∵OC⊥OD，
∴∠COD＝90°，
∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°，
故选：A．
【点评】本题考查平角及垂直的意义，理解互相垂直的意义是解决问题的关键．4．（2分）（2021•北京）下列多边形中，内角和最大的是（）
A．B．C．D．
【分析】根据多边形的内角和公式求解即可．
【解答】解：A．三角形的内角和为180°；
B．四边形的内角和为360°；
C．五边形的内角和为：（5﹣2）×180°＝540°；
D．六边形的内角和为：（6﹣2）×180°＝720°；
故选：D．
【点评】此题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．5．（2分）（2021•北京）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）
A．a＞﹣2B．|a|＞b C．a+b＞0D．b﹣a＜0
【分析】根据图象逐项判断对错．
【解答】解：A ．由图象可得点A 在﹣2左侧，
∴a ＜﹣2，A 选项错误，不符合题意．
B ．∵a 到0的距离大于b 到0的距离，
∴|a |＞b ，B 选项正确，符合题意．
C ．∵|a |＞b ，a ＜0，
∴﹣a ＞b ，
∴a +b ＜0，C 选项错误，不符合题意．
D ．∵b ＞a ，
∴b ﹣a ＞0，D 选项错误，不符合题意．
故选：B ．
【点评】本题考查数轴与绝对值，解题关键是掌握数轴上点的意义及绝对值的含义．
6．（2分）（2021•北京）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上、一枚硬币反
面向上的概率是（ ）
A ．14
B ．13
C ．12
D ．23 【分析】画树状图，共4种等可能的结果，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有2种结果，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树形图得：
由树形图可知共4种等可能的结果，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有2种结果，
∴一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的的概率为24=12， 故选：C ．
【点评】本题考查了求随机事件的概率，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的关键．
7．（2分）（2021•北京）已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若n 为整数
且n ＜√2021＜n +1，则n 的值为（ ）
A ．43
B ．44
C ．45
D ．46
【分析】先写出2021所在的范围，再写√2021的范围，即可得到n的值．
【解答】解：∵1936＜2021＜2025，
∴44＜√2021＜45，
∴n＝44，
故选：B．
【点评】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
8．（2分）（2021•北京）如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，它的邻边长为ym，矩形的面积为Sm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（）
A．一次函数关系，二次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系
D．反比例函数关系，一次函数关系
【分析】矩形的周长为2（x+y）＝10，可用x来表示y，代入S＝xy中，可得S关于x 的函数关系式，代简即可得出答案．
【解答】解：由题意得，
2（x+y）＝10，
∴x+y＝5，
∴y＝5﹣x，
即y与x是一次函数关系．
∵S＝xy
＝x（5﹣x）
＝﹣x2+5x，
∴矩形面积满足的函数关系为S＝﹣x2+5x，
即满足二次函数关系，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的解析式形式是解题的关键．
二、填空题(共16分，每题2分)
9．（2分）（2021•北京）若√x−7在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是x≥7．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式，得到答案．
【解答】解：由题意得：x﹣7≥0，
解得：x≥7，
故答案为：x≥7．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
10．（2分）（2021•北京）分解因式：5x2﹣5y2＝5（x+y）（x﹣y）．【分析】提公因式后再利用平方差公式即可．
【解答】解：原式＝5（x2﹣y2）＝5（x+y）（x﹣y），
故答案为：5（x+y）（x﹣y）．
【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
11．（2分）（2021•北京）方程2
x+3=
1
x
的解为x＝3．
【分析】先将分式化为整数，然后求解并检验．
【解答】解：方程两边同时乘以x（x+3）得：
2x＝x+3，
解得x＝3，
检验：x＝3时，x（x+3）≠0，
∴方程的解为x＝3．
故答案为：x＝3．
【点评】本题考查解分式方程，解题关键是先将分式方程化为整式方程求解，然后检验增根情况．
12．（2分）（2021•北京）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y=k
x（k≠0）的图象经
过点A（1，2）和点B（﹣1，m），则m的值为﹣2．
【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征得到﹣m＝1×2，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：∵反比例函数y=k
x（k≠0）的图象经过点A（1，2）和点B（﹣1，m），
∴﹣m＝1×2，解得m＝﹣2，即m的值为﹣2．
故答案为﹣2．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=k
x（k为常数，k≠
0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．13．（2分）（2021•北京）如图，P A，PB是⊙O的切线，A，B是切点．若∠P＝50°，则∠AOB＝130°．
【分析】先根据切线的性质得到∠OAP＝∠OBP＝90°，然后根据四边形的内角和计算∠AOB的度数．
【解答】解：∵P A，PB是⊙O的切线，A，B是切点，
∴OA⊥P A，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠OAP+∠AOB+∠OBP+∠P＝360°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°．
故答案为130°．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
14．（2分）（2021•北京）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF＝EC．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是AE＝AF（写出一个即可）．
【分析】根据矩形的性质得到AD∥BC，即AF∥CE，推出四边形ABCD是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：这个条件可以是AE＝AF，
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
即AF∥CE，
∵AF＝EC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AE＝AF，
∴四边形AECF是菱形，
故答案为：AE＝AF．
【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
15．（2分）（2021•北京）有甲、乙两组数据，如下表所示：
甲1112131415
乙1212131414
甲、乙两组数据的方差分别为s甲2，s乙2，则s甲2＞s乙2（填“＞”，“＜”或“＝”）．【分析】根据平均数的计算公式求出甲和乙的平均数，再根据方差公式进行计算即可得出答案．
【解答】解：x
甲
=15×（11+12+13+14+15）＝13，
s甲2=1
5[（11﹣13）
2+（12﹣13）2+（13﹣13）2+（14﹣13）2+（15﹣13）2]＝2，
x
乙
=15×（12+12+13+14+14）＝13，
s乙2=1
5[（12﹣13）
2+（12﹣13）2+（13﹣13）2+（14﹣13）2+（14﹣13）2]＝0.8，
∵2＞0.8，
∴s 甲2＞s 乙2． 故答案为：＞．
【点评】本题考查方差的定义：一般地设n 个数据，x 1，x 2，…x n 的平均数为x ，则方差S 2=1
n [（x 1−x ）2+（x 2−x ）2+…+（x n −x ）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
16．（2分）（2021•北京）某企业有A ，B 两条加工相同原材料的生产线．在一天内，A 生产线共加工a 吨原材料，加工时间为（4a +1）小时；在一天内，B 生产线共加工b 吨原材料，加工时间为（2b +3）小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到A ，B 两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到A 生产线的吨数与分配到B 生产线的吨数的比为 2：3 ．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给A 生产线分配了m 吨原材料，给B 生产线分配了n 吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则m
n
的值为
12
．
【分析】设分配到 生产线的吨数为x 吨，则分配到B 生产线的吨数为（5﹣x ）吨，依题意可得4x +1＝2（5﹣x ）+3，然后求解即可，由题意可得第二天开工时，由上一问可得方程为4（2+m ）+1＝＝2（3+n ）+3，进而求解即可得出答案．
【解答】解：设分配到 生产线的吨数为x 吨，则分配到B 生产线的吨数为（5﹣x ）吨，依题意可得： 4x +1＝2（5﹣x ）+3， 解得：x ＝2，
∴分配到B 生产线的吨数为5﹣2＝3（吨），
∴分配到 生产线的吨数与分配到 生产线的吨数的比为2：3；
∴第二天开工时，给 生产线分配了（2+m ）吨原材料，给 生产线分配了（3+n ）吨原材料，
∵加工时间相同，
∴4（2+m ）+1＝＝2（3+n ）+3， 解得：m =1
2n ， ∴
m n
=1
2
，
故答案为：2：3；1
2
．
【点评】本题主要考查一元一次方程、二元一次方程的应用及比例的基本性质，熟练掌握一元一次方程的应用及比例的基本性质是解题的关键．
三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21-22题，每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

17．（5分）（2021•北京）计算：2sin60°+√12+|﹣5|﹣（π+√2）0．
【分析】直接利用零指数幂的性质、二次根式的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值，分别化简得出答案． 【解答】解：原式＝2×√3
2
+2√3+5﹣1
=√3+2√3+5﹣1 ＝3√3+4．
【点评】此题主要考查了零指数幂的性质、二次根式的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值等知识，正确化简各数是解题关键． 18．（5分）（2021•北京）解不等式组：{
4x −5＞x +1
3x−42
＜x ． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【解答】解：解不等式4x ﹣5＞x +1，得：x ＞2， 解不等式
3x−42
＜x ，得：x ＜4，
则不等式组的解集为2＜x ＜4．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 19．（5分）（2021•北京）已知a 2+2b 2﹣1＝0，求代数式（a ﹣b ）2+b （2a +b ）的值． 【分析】根据完全平方公式、单项式乘多项式的运算法则把原式化简，把已知等式变形，代入即可．
【解答】解：原式＝a 2﹣2ab +b 2+2ab +b 2 ＝a 2+2b 2， ∵a 2+2b 2﹣1＝0，
∴a2+2b2＝1，
∴原式＝1．
【点评】本题考查的是整式的化简求值，灵活运用整体思想、掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
20．（5分）（2021•北京）《淮南子・天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点A处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点B，使B，A 两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点B处立一根杆；日落时，在地面上沿着点B处的杆的影子的方向取一点C，使C，B两点间的距离为10步，在点C处立一根杆．取CA的中点D，那么直线DB表示的方向为东西方向．
（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点A，B，C的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作CA的中点D（保留作图痕迹）；
（2）在如图中，确定了直线DB表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线CA表示的方向为南北方向，完成如下证明．
证明：在△ABC中，BA＝BC，D是CA的中点，
∴CA⊥DB（三线合一）（填推理的依据）．
∵直线DB表示的方向为东西方向，
∴直线CA表示的方向为南北方向．
【分析】（1）作BD⊥AC于D即可．
（2）利用等腰三角形的三线合一的性质解决问题即可．
【解答】解：（1）如图，点D即为所求．
（2）在△ABC中，BA＝BC，D是CA的中点，
∴CA⊥DB（三线合一），
∵直线DB表示的方向为东西方向，
∴直线CA表示的方向为南北方向．
故答案为：BC，三线合一．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用等腰三角形的性质解决问题．
21．（6分）（2021•北京）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．
【分析】（1）根据方程的系数，结合根的判别式可得出△＝4m2，利用偶次方的非负性可得出4m2≥0，即△≥0，再利用“当△≥0时，方程有两个实数根”即可证出结论；
（2）利用因式分解法求出x1＝m，x2＝3m．由题意得出m的方程，解方程则可得出答案．【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣4m，c＝3m2，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4m）2﹣4×1×3m2＝4m2．
∵无论m取何值时，4m2≥0，即△≥0，
∴原方程总有两个实数根．
（2）解：∵x2﹣4mx+3m2＝0，即（x﹣m）（x﹣3m）＝0，
∴x1＝m，x2＝3m．
∵m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，
∴3m﹣m＝2，
∴m＝1．
【点评】本题考查了根的判别式、偶次方的非负性以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的解．
22．（6分）（2021•北京）如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC 上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AE平分∠BAC，BE＝5，cos B=4
5，求BF和AD的长．
【分析】（1）证AD∥CE，再由AE∥DC，即可得出结论；
（2）先由锐角三角函数定义求出BF＝4，再由勾股定理求出EF＝3，然后由角平分线的性质得EC＝EF＝3，最后由平行四边形的性质求解即可．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠CAD＝90°，
∴AD∥CE，
∵AE∥DC，
∴四边形AECD是平行四边形；
（2）解：∵EF⊥AB，
∴∠BFE＝90°，
∵cos B=4
5
=BF
BE，
∴BF=4
5BE=
4
5
×5＝4，
∴EF=√BE2−BF2=√52−42=3，
∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，∠ACE＝90°，
∴EC＝EF＝3，
由（1）得：四边形AECD是平行四边形，
∴AD＝EC＝3．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、锐角三角函数定义、角平分线的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握锐角三角函数定义，证明四边形AECD为平行四边形是解题的关键．
23．（5分）（2021•北京）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函
数y=1
2x的图象向下平移1个单位长度得到．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x＞﹣2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b 的值，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）根据平移的规律即可求得． （2）根据点（﹣2，﹣2）结合图象即可求得．
【解答】解：（1）函数y =1
2x 的图象向下平移1个单位长度得到y =1
2x ﹣1，
∵一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象由函数y =12
x 的图象向下平移1个单位长度得到， ∴这个一次函数的表达式为y =1
2x ﹣1． （2）把x ＝﹣2代入y =1
2x ﹣1，求得y ＝﹣2，
∴函数y ＝mx （m ≠0）与一次函数y =1
2
x ﹣1的交点为（﹣2，﹣2）， 把点（﹣2，﹣2）代入y ＝mx ，求得m ＝1，
∵当x ＞﹣2时，对于x 的每一个值，函数y ＝mx （m ≠0）的值大于一次函数y =1
2x ﹣1的值， ∴1
2≤m ≤1．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．
24．（6分）（2021•北京）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，AD ⊥BC 于点E ．
（1）求证：∠BAD ＝∠CAD ；
（2）连接BO 并延长，交AC 于点F ，交⊙O 于点G ，连接GC ．若⊙O 的半径为5，OE ＝3，求GC 和OF 的长．
【分析】（1）根据垂径定理得到BD
̂=CD ̂，根据圆周角定理证明结论； （2）根据勾股定理求出BE ，根据垂径定理求出BC ，根据圆周角定理得到∠BCG ＝90°，根据勾股定理求出GC ，证明△AFO ∽△CFG ，根据相似三角形的性质求出OF ．
【解答】（1）证明：∵AD 是⊙O 的直径，AD ⊥BC ，
∴BD
̂=CD ̂， ∴∠BAD ＝∠CAD ；
（2）解：在Rt △BOE 中，OB ＝5，OE ＝3，
∴BE =√OB 2−OE 2=4，
∵AD 是⊙O 的直径，AD ⊥BC ，
∴BC ＝2BE ＝8，
∵BG 是⊙O 的直径，
∴∠BCG ＝90°，
∴GC =√BG 2−BC 2=6，
∵AD ⊥BC ，∠BCG ＝90°，
∴AE ∥GC ，
∴△AFO ∽△CFG ，
∴OA GC =OF FG ，即56
=OF 5−OF ， 解得：OF =2511．
【点评】本题考查的是圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、垂径定理是解题的关键．
25．（5分）（2021•北京）为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：6≤x＜8，8≤x＜10，10≤x＜12，12≤x＜14，14≤x≤16）：
b．甲城市邮政企业4月份收入的数据在10≤x＜12这一组的是：
10.0 10.0 10.1 10.9 11.4 11.5 11.6 11.8
c．甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数、中位数如下：
平均数中位数
甲城市10.8m
乙城市11.011.5
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值；
（2）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数
为p1．在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p2．比较p1，p2的大小，并说明理由；
（3）若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入（直接写出结果）．
【分析】（1）根据中位数的意义，求出甲城市抽样25家邮政企业4月份的营业额从小到大排列，得出处在第13位的数据即可；
（2）根据p1，p2所表示的意义，结合两个城市抽取的邮政企业4月份的营业额的具体数据，得出答案；
（3）根据乙城市邮政企业4月份营业额的平均数以及企业的数量进行计算即可．
【解答】解：（1）将甲城市抽取的25家邮政企业4月份的营业额从小到大排列，处在中间位置的一个数是10.1，
因此中位数是10.1，即m＝10.1；
（2）由题意得p1＝5+3+4＝12（家），
由于乙城市抽取的25家邮政企业4月份的营业额的平均数是11.0，中位数是11.5，因此所抽取的25家邮政企业4月份营业额在11.5及以上的占一半，
也就是p2的值要大于12，
∴p1＜p2；
（3）11.0×200＝2200（百万元），
答：乙城市200家邮政企业4月份的总收入约为2200百万元．
【点评】本题考查频数分布直方图、平均数、中位数，掌握平均数、中位数的意义是正确解答的前提．
26．（6分）（2021•北京）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线y ＝ax2+bx（a＞0）上．
（1）若m＝3，n＝15，求该抛物线的对称轴；
（2）已知点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上．若mn＜0，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．
【分析】（1）将点（1，3），（3，15）代入解析式求解．
（2）分类讨论b的正负情况，根据mn＜0可得对称轴在x=3
2与直线x=
1
2之间，再根据
各点到对称轴的距离判断y值大小．
【解答】解：（1）∵m ＝3，n ＝15，
∴点（1，3），（3，15）在抛物线上，
将（1，3），（3，15）代入y ＝ax 2+bx 得：
{3=a +b 15=9a +3b
， 解得{a =1b =2
， ∴y ＝x 2+2x ＝（x +1）2﹣1，
∴抛物线对称轴为直线x ＝﹣1，
（2）∵y ＝ax 2+bx （a ＞0），
∴抛物线开口向上且经过原点，
当b ＝0时，抛物线顶点为原点，x ＞0时y 随x 增大而增大，n ＞m ＞0不满足题意， 当b ＞0时，抛物线对称轴在y 轴左侧，同理，n ＞m ＞0不满足题意，
∴b ＜0，抛物线对称轴在y 轴右侧，x ＝1时m ＜0，x ＝3时n ＞0，
∴抛物线对称轴在直线x =32与直线x =12之间，
即12＜−b 2a ＜32， ∴2﹣（−b 2a ）＜32，−b 2a −（﹣1）＞32
， ∴y 2＜y 1＜y 3．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据数形结合求解．
27．（7分）（2021•北京）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝α，M 为BC 的中点，点
D 在MC 上，以点A 为中心，将线段AD 顺时针旋转α得到线段A
E ，连接BE ，DE ．
（1）比较∠BAE 与∠CAD 的大小；用等式表示线段BE ，BM ，MD 之间的数量关系，并证明；
（2）过点M 作AB 的垂线，交DE 于点N ，用等式表示线段NE 与ND 的数量关系，并证明．。